七年级数学上册数学压轴题专题练习(解析版)

七年级数学上册数学压轴题专题练习(解析版)

七年级数学上册数学压轴题专题练习（解析版）一、压轴题1.点A、B在数轴上分别表示数a,b，A、B两点之间的距离记为AB，即AB=|a-b|。(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离为3，表示-2和-5两点之间的距离为3，表示1和a的两点之间的距离为|a-1|。(2)若点A、B在数轴上分别表示数-1和5，有一只电子蚂蚁在数轴上从左向右运动，设电子蚂蚁在数轴上的点C对应的数为c。①当电子蚂蚁在点A的左侧运动时，AC+BC的值为(5+c)-(-1-c)=6，即AC+BC=6。②求电子蚂蚁在运动的过程中恰好使得c1，即电子蚂蚁经过了点B，所以c=5。③在电子蚂蚁在运动的过程中，探索c<1或c>5的情况，发现AC+BC的值均大于6，因此c的取值范围为[1,5]，c表示的数是从1到5之间的所有实数。c5的最小值是1。2.如图，已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动。设旋转时间为t秒。(1)当t=2时，由于OP每秒转动2°，所以OP转动了4°，而OQ每秒转动6°，所以OQ转动了12°。因此，∠POQ=|120°-4°-12°|=104°。(2)当∠POQ=40°时，设OP转动了x度，则OQ转动了3x度，因为OQ的速度是OP的3倍。由于OQ返回并与OP重合时，两条射线同时停止运动，因此x+3x=120°，解得x=30°。所以OP转动了30°，OQ转动了90°，因此t=(120°-40°)/6°=13.33秒。(3)在旋转过程中，不存在t的值使得∠POQ=0°，因为当OP转动到60°时，OQ已经转动了180°，此时∠POQ=|120°-60°-180°|=60°。因此，∠POQ的度数不可能为0°。3.已知线段AB=m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ=2AQ，CP=2BP。(1)如图，若AB=6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ=3。(2)若点C为直线AB上任一点，则PQ长度不是常数，因为当C不在AB的中点时，CQ和CP的长度不相等，因此PQ的长度也不相等。(3)若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），则2AP+CQ-2PQ>1，因为2AP+CQ-2PQ=2BP+2CQ-2PQ=2(BP+CQ-PQ)>2(AB-PQ)>2，所以2AP+CQ-2PQ>1。4.点O在直线AD上，在直线AD的同侧，作射线OB、OC，OM平分∠AOC。(1)如图1，由于∠AOB=40°，∠COD=60°，所以∠BOC=∠AOC-∠AOB-∠COD=80°，∠BOM=∠AOM-∠AOB=20°。(2)如图2，由于∠BOM=1/2∠COD，所以∠COD=2∠BOM=2∠CON，因此∠BOC=∠AOC-∠COD=120°-2∠CON。(3)若∠AOC和∠AOB互为余角且∠AOC≠30°，45°，60°，则ON平分∠BOD，如图3所示。由于∠AOC和∠AOB互为余角，所以∠AOB=90°-∠AOC。又因为ON平分∠BOD，所以∠BON=∠DON，所以∠BOM=∠DON-∠DOM=∠DON-(1/2)∠AOC。又因为OM平分∠AOC，所以∠DON=(1/2)∠AOC，代入上式得∠BOM=(1/2)∠AOC-(1/2)∠AOC=0°。因此，∠BOM=0°，所以∠CON=∠COD/2=∠BOC/2，即∠BOM与∠CON相等。单位，再绕顶点C逆时针旋转60t度，记旋转后的角为∠DCE’，则∠DCE’=_________。（1）题目描述了一个三角形ABC，给出了三条边的长度。点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿ABCA的方向运动，点Q从点B沿BCA的方向与点P同时出发。当点P第一次回到A点时，点P，Q同时停止运动。求运动时间t。（2）求运动时间t，使得点P是线段AB的中点。（3）是否存在t的值，使得BP=2BQ。（4）当点P，Q是AC边上的三等分点时，求点Q的运动速度a。尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。尺规作图起源于古希腊的数学课题，它只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。初中阶段同学们首次接触的尺规作图是“作一条线段等于已知线段”。（1）如图1，在线段AB外有一点C，现在利用尺规作图验证“两点之间线段最短”，AB<AC+CB。首先以A为圆心，AC为半径作弧，交线段AB于点M，则AC=AM。然后以B为圆心，BC为半径作弧，交线段AB于点N，则BC=BN。因此，AC+BC=AM+BN=AB。故：AB<AC+CB。（2）如图2，在直线l上，从左往右依次有四个点O，E，O'，F，且OE=EO'=4，EF=10。现以O为圆心，半径长为r作圆，与直线l两个交点中右侧交点记为点P。再以O'为圆心，相同半径长r作圆，与直线l两个交点中左侧交点记为点Q。若P，Q，F三点中，有一点分另外两点所连线段之比为1:2，求半径r的长。题目描述了一个数轴上的点A和B，以及一个直角三角形DCE，其中C与O重合，D点在数轴的正半轴上。（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF=135°。（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0<t<3）个单位后，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF=α。①当t=1时，α=45°；②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴正半轴向右平移t（0<t<3）个单位，再绕顶点C逆时针旋转60t度，记旋转后的角为∠DCE’，则∠DCE’=150t°。8.在平面直角坐标系中，以点C为顶点逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，记∠DCF为α。同时，将点D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t个单位，再以点C1为顶点顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1为β。已知|α-β|=45°，求t的值。9.在平面直角坐标系中，点O在直线AB上。过点O作射线OC、OD，使得∠COD=90°。(1)如图1，过点O作射线OE，使得OE为∠AOC的角平分线。再作射线OF，使得OF平分∠BOD。求∠EOF的度数。(2)如图2，过点O作射线OE，使得OE为∠AOD的角平分线。求∠BOD与∠COE的数量关系。(3)过点O作射线OE，使得OC为∠AOE的角平分线。再作射线OF，使得OF平分∠COD。已知∠EOC=3∠EOF，求∠AOE的度数。8.在平面直角坐标系中，以点C为顶点逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，记∠DCF为α。同时，将点D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t个单位，再以点C1为顶点顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1为β。已知|α-β|=45°，求t的值。9.在平面直角坐标系中，点O在直线AB上。过点O作射线OC、OD，使得∠COD=90°。(1)如图1，过点O作射线OE，使得OE为∠AOC的角平分线。再作射线OF，使得OF平分∠BOD。求∠EOF的度数。(2)如图2，过点O作射线OE，使得OE为∠AOD的角平分线。求∠BOD与∠COE的数量关系。(3)过点O作射线OE，使得OC为∠AOE的角平分线。再作射线OF，使得OF平分∠COD。已知∠EOC=3∠EOF，求∠AOE的度数。3个单位长度向x轴正半轴运动，当点P到达点C时，点Q到达了哪个点？请在数轴上标出点P、Q、C的位置。10.在数学活动课上，老师摆放了一副三角尺并作出了∠AOC和∠BOD的平分线OM、ON，然后提出了求∠MON度数的问题。兴趣小组通过特例探究，分别按照图2和图3的方式摆放三角尺，并求出了∠MON的度数。接着，他们讨论了图1的情况，其中小明根据∠AOC和∠BOD的和为90°得出了∠MOC和∠NOD的和，从而求得了∠MON的度数；小华则设∠BOD为x°，并用含x的式子分别表示出∠NOD和∠MOC度数，最终也求出了∠MON的度数。智慧小组则尝试了另一种摆放方式，摆放后作出∠AOC和∠BOD的平分线OM、ON，并认为也能求出∠MON的度数。读者可以自行尝试并求解。11.已知点C在线段AB上，且AC=a，BC=b，且a<b。通过特值尝试，我们可以求出当a=10，b=6时，线段MC的长度为2。但是，我们不能因为这个特例就认为线段MC的长度一定为2，因为当a和b的取值不同时，线段MC的长度也会发生变化。因此，我们需要通过周密思考，用含a、b的代数式表示线段MC的长度。12.已知4a-b+(a-4)=0，对应着数轴上的点A(x1)和B(x2)。在数轴上标出点A和B后，我们可以通过计算得出a=2，b=10，然后求出点M的坐标为(x1+x2)/2=6。接着，我们可以按照题目要求，求出点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动时，到达点A的距离是到达点B距离的2倍，从而求出运动时间为4秒。最后，我们在数轴上标出点C的位置，并通过计算得出点Q到达了坐标为20的点。题目描述：P点和Q点同时向C点运动，速度为3个单位长度/秒，当P点到达C点后，立刻以同样的速度返回，运动到终点A。点Q到达点C后停止运动。求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4，并求此时点Q对应的数。解析：设P点运动到C点所用的时间为t1，Q点运动到C点所用的时间为t2。则P点从C点返回到A点所用的时间为t3=2(t1-t2)。根据题意，P、Q两点之间的距离为4，可以列出以下方程：3t1-3t2=43t2=4解得t1=2，t2=4/3。此时，Q点对应的数为C点到A点的距离，即5-3t2=3/3。详解：P、Q两点同时向C点运动，速度为3个单位长度/秒，可以列出以下方程：P点：S1=3t1Q点：S2=3t2其中，S1和S2分别表示P点和Q点到C点的距离，t1和t2分别表示P点和Q点运动所用的时间。当P点到达C点后，立刻以同样的速度返回，运动到终点A，可以列出以下方程：P点：S3=3t3其中，t3表示P点从C点返回到A点所用的时间，根据题意，可得出t3=2(t1-t2)。点Q到达点C后停止运动，即Q点到达点C时，t2所表示的时间即可确定。因为P、Q两点之间的距离为4，所以可以列出以下方程：S1-S2=4代入S1、S2的值，得到3t1-3t2=4。同时，由于Q点到达点C后停止运动，所以可以列出以下方程：S2=5-3t2代入S2的值，得到3t2=4，解得t2=4/3。代入t2的值，可得t1=2。此时，Q点对应的数为C点到A点的距离，即5-3t2=3/3。解：（1）如图所示，连接AC、BC，设AQ=x，则CQ=2x，BP=y，则CP=2y，由三角形中位线定理可知，AP=BP=CP/2=y，CQ=2AQ=2x，AC=2AP+2CQ=4y+4x，BC=2BP+2CQ=4y+4x，AB=6，故4y+4x=6，即y+x=1.5，又因为PQ是AB的中垂线，所以PQ=AB/2=3，故x+y+PQ=4.5，即答案为4．（2）如图所示，连接AC、BC，设AP=x，则BP=x，CQ=2x，CP=2x，由题意可得AB=m，故AC=2AP+2CQ=4x+4m，BC=2BP+2CQ=4x+4m，故4x+4m=m，即x=m/3，PQ=AB/2=m/2，故答案为m/3+m/3+m/2=5m/6．（3）如图所示，连接AP、PQ、QC，设AP=x，则BP=x，CQ=2x，由三角形APQ和CQP可得2AP+CQ-2PQ=2x+2x-2PQ=2(x-PQ)，故2AP+CQ-2PQ与1的大小关系为2AP+CQ-2PQ<1时，x<PQ/2；2AP+CQ-2PQ=1时，x=PQ/2；2AP+CQ-2PQ>1时，x>PQ/2．根据角平分线定理，设∠AOC的平分线为OM，则∠AOM=∠COM=x，由此可得∠COD=180-2x。又因为OM平分∠AOC，所以∠BOM=1/2∠AOC=90-x/2，代入∠COD=180-2x中，得到180-2x=2(90-x/2)，解得x=30。因此，∠BOM=45-15=30°，∠AOM=45-30/2=30°，∠DOA=∠DOB=90-x=60°，∠CON=∠DOC-∠DON=90+x-90+30=30°，∠BOM+∠CON=30+30=60°。【点睛】本题考查角的相关计算，难度适中，涉及角平分线的定义和邻补角相加等于180°的知识点；同时，里面的小题从易到难，体现了分类讨论的数学思想。5．（1）t=4；（2）存在，t=12/5。【解析】【分析】（1）根据AB的长度和点P的运动速度可以求得；（2）根据题意可得：当BP=2BQ时，点P在AB上，点Q在BC上，据此列出方程求解即可；（3）分两种情况：P为接近点A的三等分点，P为接近点C的三等分点，分别根据点的位置列出方程解得即可。【详解】（1）由题意可得，点P从A点出发，经过AB、BC两段路程，所以t=4秒。（2）设BP=x，则BQ=1/2x，由勾股定理得AB^2+BP^2=(8-x)^2，BC^2+BQ^2=x^2，联立两式解得x=8-4√3，代入BP=8-2t-x中，得到t=12/5秒。（3）当P为接近点A的三等分点时，设AP=a，则BP=2a，由勾股定理得AC^2=AB^2+BC^2-2AB·BC·cos∠ABC，代入已知数据解得cos∠ABC=1/8，又∠ABP=∠ABC/3，代入正弦定理解得a=8/5√3，代入BP=8-2t-2a中，得到t=32/5秒。当P为接近点C的三等分点时，设CP=a，则BP=BC-2a，由勾股定理得AC^2=AB^2+BC^2-2AB·BC·cos∠ABC，代入已知数据解得cos∠ABC=7/8，又∠CBQ=∠ABC/3，代入正弦定理解得a=8/5√3，代入BP=8-2t-BC+2a中，得到t=12/5秒。根据题意，已知BC+CQ=24，t=14，求a的值。由于a=BC/AC，可以得到a=24/AC。而AC可以通过勾股定理算出，即AC=sqrt(16^2+(8+14t)^2)。代入公式，可以得到a的值为512/47。这道题考查了一元一次方程在几何问题中的应用，需要一定的想象能力和计算能力，难度中等。(1)根据题目要求，进行尺规作图，以A为圆心，AC为半径作弧与AB相交于点M，以B为圆心，BC为半径作弧与AB相交于点N，可得AM=AC，BN=BC。根据三角形的边长关系，可以得到AM+BN=AB+MN，进而推出AB<MN+AC+BC。(2)根据P、Q、F的位置关系，分别进行讨论。当P在Q和F之间时，根据勾股定理和线段长度关系，可以得到r=6；当Q在P和F之间时，可以得到r=10；当QF=2PQ时，得到r=2/3；当QF=2FP时，得到r=34。注意理解题意和分类讨论是解决此题的关键。(1)已知角度为45度，可以直接得出答案。(2)分别证明∠BCE=2α。首先，由角度和的性质可得∠ACE=90-α，再根据角平分线的性质可得∠ECB=∠ACB=α，进而推出∠BCE=2α。(3)根据题意，可以列出α+β=90和β-α=30t的方程组，解得α=45-15t，β=45+15t。注意理解角度关系和方程的解法。根据∠BOD+∠AOC=90°，设∠EOF=x，则∠EOC=3x，∠COF=4x。根据角平分线的定义，有∠BOE=2∠COE，即∠BOE=2∠AOC，代入∠BOD+∠AOC=90°中，可得∠BOD=180°-2∠BOE。又因为OF平分∠BOD，所以∠BOF=∠DOF=0.5(180°-∠BOD)，代入可得∠BOF=90°-∠BOE。由此，可以列出方程：3x+4x+90°-∠BOE=180°-2∠BOE，解得x=67.5°。因此，答案为67.5°。本题考查了角平分线的性质，以及多个角度之间的关系，需要注意细节。11.题目要求求解线段MC的长度，根据线段之间的和差关系，可以得到MC=AC-AM。根据题目中给出的信息，可以得到AC=10，BC=6，AB=16，点M是AB的中点，因此AM=8/2=4。将这些信息代入公式，可以得到MC=10-4=6。但是题目中还提到B点的位置不确定，因此需要分情况讨论。当B点在线段AC的上时，可以得到AB=4，AM=2，因此MC=10-2=8。当B点在线段AC的延长线上时，可以得到MC=10-8=