2022-2023学年四川省成都市崇庆中学实验学校高二数学理测试题含解析

2022-2023学年四川省成都市崇庆中学实验学校高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若n边形有条对角线，则n+1边形的对角线条数等于（

）A．2

B．

C．

D．参考答案：C略2.正项等比数列满足，，，则数列的前10项和是A．65

B.

C.

D.参考答案：D3.设，则是的（

）A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A略4.不等式组所表示的平面区域的面积等于（

） A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.设实数满足约束条件：，则的最大值为（

）。

A.

B.68

C.

D.32参考答案：B略6.设变量x，y满足约束条件，则的最大值是（

）A．7 B．8 C．9

D．10参考答案：C7.已知集合,则A∩B=A.{0,1} B.{1} C.[0,1] D.(0,1]参考答案：A【分析】解不等式得集合A、B，根据交集的定义写出．【详解】解：集合,1,，，则,1．故选：A．8.如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A．4

B．

C．

D．参考答案：B9.椭圆上的两点关于直线对称，则弦的中点坐标为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（）A． B． C．﹣2 D．2参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．【解答】解：根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得a=﹣2，故选C．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则=

．参考答案：2略12.函数在区间上的最大值是

;最小值是

.参考答案：13,4.13.已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于

．参考答案：8【考点】等差数列的通项公式．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意易得a7，进而可得b7，由等比数列的性质可得．【解答】解：设各项不为0的等差数列{an}公差为d，∵a4﹣2a72+3a8=0，∴（a7﹣3d）﹣2a72+3（a7+d）=0，解得a7=2，∴b7=a7=2，∴b2b8b11=b6b8b7=b73=8，故答案为：8．【点评】本题考查等差数列和等差数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属基础题．14.已知直线：和：垂直，则实数的值为_________．参考答案：【分析】对a分类讨论，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．【详解】a=1时，两条直线不垂直，舍去．a≠1时，由﹣×=﹣1，解得a=．故答案为：．【点睛】本题考查了分类讨论、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题．15.设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，

.参考答案：16.在平面直角坐标系中，椭圆内接矩形面积的最大值为

.参考答案：略17.已知是虚数单位，则(1-i)i=

参考答案：1+i

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=?﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）如果△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A、B、C，且满足b2+c2=a2+bc，求f（A）的值．参考答案：19.（原创）（本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率是，分别是椭圆的左、右两个顶点，点是椭圆的右焦点。点是轴上位于右侧的一点，且满足。（1）求椭圆的方程以及点的坐标；（2）过点作轴的垂线，再作直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线交直线于点。求证：以线段为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标。参考答案：（1），设，由有，又，，于是，又，，又，，椭圆，且。（2），设，由，由于（*），而由韦达定理：，，，设以线段为直径的圆上任意一点，由有由对称性知定点在轴上，令，取时满足上式，故过定点。20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率一次为k1、k2，满足4k=k1+k2．（i）当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；（ii）求△OPQ面积的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题设条件，设c=k，a=2k，则b=k，利用待定系数法能求出椭圆方程．（Ⅱ）（i）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、斜率性质，结合已知条件推导出当k变化时，m2是定值．②利用椭圆弦长公式，结合已知条件能求出△OPQ面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设条件，设c=k，a=2k，则b=k，∴椭圆方程为+=1，把点（，）代入，得k2=1，∴椭圆方程为+y2=1．（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．证明如下：由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，∴4k=k1+k2==，∴2kx1x2=m（x1+x2），由此解得m2=，验证△＞0成立．∴当k变化时，m2是定值．②S△OPQ=|x1﹣x2|?|m|=，令=t＞1，得S△OPQ==＜1，∴△OPQ面积的取值范围S△OPQ∈（0，1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查实数值是否为实数的判断与证明，考查三角形面积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、斜率性质的合理运用．21.如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，点D是AB上的动点．（1）求证：；（2）若D是AB上的中点，求证：面；（3）求三棱锥的体积．参考答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）6【分析】（1）由余弦定理得，由勾股定理得，由面得到，从而得到面，故；（2）连接交于点，则为的中位线，，得到，从而得到面；（3）过作垂足为，面，面积法求，求出三角形的面积，代入体积公式进行运算．【详解】（1）在中，由，利用余弦定理得，则，∴为直角三角形，得．又∵面，∴，而，∴面，则；（2）设交于点，则为的中点，连接，则为的中位线，则，又面，则面；（3）在中，过作垂足为，由面⊥面，得面，∴.而，在中，由等面积法得，∴=．【点睛】本题考查证明线线垂直