湖南省邵阳市湘第四中学2021-2022学年高二数学文期末试题含解析

湖南省邵阳市湘第四中学2021-2022学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}，如果a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，an﹣an﹣1，…，是首项为1，公比为的等比数列，则an=（） A．（1﹣） B．（1﹣） C．（1﹣） D．（1﹣）参考答案：A【考点】等比数列的性质． 【专题】计算题；等差数列与等比数列． 【分析】因为数列a1，（a2﹣a1），（a3﹣a2），…，（an﹣an﹣1），…，此数列是首项为1，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可得数列{an}的通项． 【解答】解：由题意an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）= 故选：A． 【点评】考查学生对等比数列性质的掌握能力，属于基础题． 2.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为(

)A．9

B．18

C．27

D．36参考答案：B略3.过两点的直线的倾斜角为A．135° B．120°

C．60°

D．45°参考答案：A4.已知满足条件，，的△ABC的个数有两个，则x的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B5.方程表示的曲线为(

)A.一条直线和一个圆

B.一条射线与半圆C.一条射线与一段劣弧

D.一条线段与一段劣弧参考答案：D6.如果双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（

）A.

B.2

C.

D.参考答案：A7.若命题p：?x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（）A．?x∈R，2x2﹣1＜0 B．?x∈R，2x2﹣1≤0 C．?x∈R，2x2﹣1≤0 D．?x∈R，2x2﹣1＞0参考答案：C【考点】命题的否定．【专题】计算题．【分析】根据命题否定的定义进行求解，注意对关键词“任意”的否定；【解答】解：命题p：?x∈R，2x2﹣1＞0，则其否命题为：?x∈R，2x2﹣1≤0，故选C；【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；8.双曲线的渐近线方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3） B．（1，2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）参考答案：C【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据已知条件便知P点是直线y=2x﹣3和直线y=﹣3x+2的交点，所以解方程组即得点P坐标．【解答】解：若“p且q”为真命题，则：P既在直线y=2x﹣3上，又在y=﹣3x+2上；所以点P是直线y=2x﹣3和y=﹣3x+2的交点；∴解得x=1，y=﹣1；∴P（1，﹣1）．故选C．10.空间中有四点，，，，则两直线的夹角是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将一颗骰子先后抛掷2次，以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率为．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件总数为36，满足条件的事件可以通过列举得到事件数，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件总数为36，满足条件的事件有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共有4种结果，记点（x，y）在圆x2+y2=9的内部记为事件A，∴P（A）==，即点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率，故答案为【点评】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，是一个基础题．12.棱长为的正方体的外接球的表面积为

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．参考答案：13.朝露润物新苗壮，四中学子读书忙.天蒙蒙亮，值日老师站在边长为100米的正方形运动场正中间，环顾四周.但老师视力不好，只能看清周围10米内的同学.郑鲁力同学随机站在运动场上朗读.郑鲁力同学被该老师看清的概率为

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参考答案：14.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

．参考答案：108【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】先选一个偶数字排个位，再考虑1、3都不与5相邻，利用分类计数原理及分步计数原理，可得结论．【解答】解：先选一个偶数字排个位，又3种选法，再考虑1、3都不与5相邻（1）若5在十位或十万位，则1，3有三个位置可排，有2=24个；（2）若5排再百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，有个，故共有3×（24+12）=108个故答案为：108．15.已知条件；条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是__________.参考答案：略16.执行如图所示的程序框图，输出的值是

．参考答案：5略17.已知（x,y）在映射f下的象是(x-y,x+y)，则(3,5)在f下的象是_________，原象是_____________参考答案：（-2，8），（4，1）略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

在如图所示的几何体中，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，四边形BCDE为矩形，DC⊥平面ABC，AC=CD=1，BC=2．(I)求证：平面ACD⊥平面ADE；

(Ⅱ)求二面角D—AB—C的余弦值．参考答案：19.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线和直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求．参考答案：（Ⅰ）曲线的普通方程为，则的极坐标方程为，由于直线过原点，且倾斜角为，故其极坐标为．（Ⅱ）法一：由得：，故，，∴．法二：直线的参数方程为（为参数）将上述参数方程代入圆中并化简，得设两点处的参数分别为，则20.（本题满分12分）已知椭圆的焦点坐标是,过点F2垂直与长轴的直线交椭圆与P,Q两点,且|PQ|=3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,则△F1MN的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在,请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）设椭圆的方程是,由交点的坐标得:,由,可得，解得故椭圆的方程是（Ⅱ）设,设的内切圆半径是,则的周长是,,因此最大,就最大由题知,直线的斜率不为0,可设直线的方程为,由得,,

则令则则令当时,,在上单调递增,有f(t)≥f(1)＝4，≤＝3,即当t＝1，m＝0时,≤＝3，=4R，所以,此时所求内切圆面积的最大值是故直线,△F1MN内切圆的面积最大值是.(或用对勾函数的单调性做也给满分）

21.在梯形ABCD中AB∥CD，AD=CD=CB=2，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACFE．（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，推导出∠DGH是二面角B﹣EF﹣D的平面角，由此能求出二面角B﹣EF﹣D的平面角余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=a，∠ABC=60°，∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，∴∠ACB=∠DCB﹣∠DCA=90°，∴AC⊥BC，又∵平面ACEF⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．解：（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，由题意得DE=DF，∴DG⊥EF，∵BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，又∵GH∥FB，∴EF⊥GH，∴∠DGH是二面角B﹣EF﹣D的平面角．在△BDE中，DE=2，DB=2，BE==2，∴BE2=DE2+DB2，∴∠EDB=90°，∴DH=，又DG=，GH=，∴在△DGH中，由余弦定理得cos∠DGH==，即二面角B﹣EF﹣D的平面角余弦值为．22.某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x米，钢筋网的总长度为y米．（Ⅰ）列出y与x的函数关系式，并写出其定义域；（Ⅱ）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？（Ⅲ）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？参考答案：【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义；基本不等式．【分析】第一问较简单，别忘记写定义域；第二问用到基本不等式的性质注意能否取到“=”；第三问在求函数的单调区间时可以用导数求，也可以用函数单调性的定义求解，都能得到y在（0，25]上是单调递减函数；再求出函数最值．【解答】解：（Ⅰ）∵矩形的宽为：米，∴=定义域为{x|0＜x＜150}；（Ⅱ）y=当且仅当即x=30时取等号，此时宽为：米，∴长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小．

（Ⅲ）法一：y=（0＜x≤25），∵∴当0＜x≤25时，x+30＞0，x﹣30＜0，x2＞0∴y'＜0∴