2025年中考数学专题09 逆等线最值专题（原卷版）

逆等线最值模型大招逆等线最值模型大招模型介绍模型介绍两线段和的最值问题,大家首先想到的都是“将军饮马”问题，即要求的两条线段有公共端点,或者平移后有公共端点.除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中,两条动线段始终保持着相等,我们可以在等线段处构造全等,从而将要求的两条线段拼接到一起，这就是今天咱们要说的逆等线最值问题.讲逆等线模型之前我们先来一波回忆：下图大家应该很熟：D为动点！特殊化证明：DE+DF的和为定值.一般化证明：DE+DF的和为定值只要保证DE，DF与腰的夹角相等，总会有：DE+DF的和为定值的结论！证明思路：作AG∥FD，HD∥BC易得红蓝全等，黄色平四∴DE＋DF＝AH＋HG＝AG（定长）另证易得：△DEA∽△DFB∵AD＋BD为定值∴DE＋DF为定值引申：D在线段AB外时差为定值（证明同理）然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线！此图即产生了逆等线，所谓逆等线，逆向也相等！例题精讲例题精讲考点一:等腰三角形中的逆等线模型【例1】．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E分别是AB、AC上两动点，且AD＝CE，连接CD、BE，CD+BE最小值为．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE，则BE+CF的最小值是．【变式1-2】．如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（）A．（0，4） B．（0，5） C． D．考点二:等边三角形中的逆等线模型【例2】.如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝°．变式训练【变式2-1】．如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为．【变式2-2】．在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE＝CF，则AE+AF的最小值为．考点三：直角三角形中逆等线模型【例3】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分别是AC，AB上的动点，且AD＝BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值为．变式训练【变式3-1】．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为．【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB＝．当AM+BN的值最小时，CM的长为．考点四：一般三角形中的逆等线模型【例4】．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值．变式训练【问题背景】（1）如图（1），E为△ABC的边AB上的一点，AE＝BC，过点A作AD∥BC，且AD＝AB，连接DE，求证：△ADE≌△BAC；【变式迁移】（2）如图（2），在△ABC中，AC＝BC，BD平分∠ABC，点E在AB上，且AE＝CD，若点C分别到AB，BD的距离之比为m，求证：；【拓展创新】（3）如图（3），在△ABC中，∠ABC＝45°，，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且AE＝CD，直接写出CE+BD的最小值.考点五：正方形中的逆等线模型【例5】.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、BC上，且AE＝BF，CE与DF交于点P，连接BP，求BP的最小值．变式训练【5-1】已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为．考点六：矩形中的逆等线模型【例6】.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AB、CD上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为．变式训练【6-1】.如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值是．【6-2】.如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是．考点七：菱形中的逆等线模型【例7】．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为．变式训练【7-1】.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为．【7-2】．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．（1）求BD的长；（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝DF．①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．实战演练实战演练1．如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE＝AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△，BP的最小值为．3.如图，AD为等腰△ABC的高，AB＝AC＝5，BC＝3，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为．4．如图，ABCD是⊙O内接矩形，半径r＝2，AB＝2，E，F分别是AC，CD上的动点，且AE＝CF，则BE+BF的最小值是（）A． B．2 C．3 D．45.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为．6．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是．7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于点D，点E、F分别是线段AB、AD上的动点，且BE＝AF，则BF+CE的最小值为．8．如图，等边△ABC内部有一点D，DB＝3，DC＝4，∠BDC＝150°，在AB、AC上分别有一动点E、F，且AE＝AF，则DE+