结构力学（本）期末复习指导

土木工程力学（本）期末复习指导

一、超静定结构的概念和超静定结构次数的确定

1.超静定结构的概念

从儿何组成分析的角度来看，结构可以分为

静定结构：几何不变，无多余约束。

超静定结构：儿何不变，有多余约束。

例：如图所示，有一个多余约束：可去掉任-根支座链杆。

图1

支座反力和内力仅由静力平衡条件无法全部唯一确定的、几何不变但有多余约束的体系,

就是超静定结构

多余约束

多余约束的选取方案并不一定是唯•的，但是总数目是不变的。

多余未知力（多余力）

多余约束中产生的约束力是多余力，多余力的大小不能由静力平衡条件确定。

2.超静定次数的确定

多余约束的数目就是超静定次数

判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构的方法。

•去掉一根支座链杆或切断一根链杆：去掉一个约束。

•去掉一个较支座或联结两钢片的单钱：去掉两个约束。如图2所示。

图2

•将固定端改成钱支座或将连续杆件上的刚性联结改成单较联结：去掉一个约束。如

图3中的固定端改为图4中的较支座；图5中的刚性结点改为图6中的钱结点。

去掉一个固定端或将刚性联结切断：去掉三个约束。

图7

在确定超静定次数时，还应注意以下两点：

(1)不要把原结构拆成一个几何可变体系。所以要特别注意非多余约束不能去掉，比如

(a)中的水平链杆支座不能去掉。

(2)要把所有多余约束全部去掉。如(a)所示结构，如果只去掉一根水平链杆支座得到

如(b)所示结构，则其中的闭合框仍具有三个多余约束，必须把闭合框再切开一个截面，如

(c)所示才成为静定结构，所以故原结构共有四个多余约束，是四次超静定。

图8(a)图8(b)图8(a)(c)

这部分是后面力法的基础。大家要熟练掌握。如果给出一个超静定结构，要会判断结构的超

静定次数。

二、力法

1.力法原理和力法方程

力法是计算超静定结构最基本的方法。

基本原理的要点可用下列三个环节表示：基本未知量、基本体系和典型方程。

1）在力法中，选择多余约束力作为基本未知量。一旦求出这些未知量，其他的反力和

内力的计算就是静定问题了。多余约束力的个数称为超静定次数。计算时通常用解除约束法,

即解除结构的所有多余约束，使之成为静定结构，解除约束的个数即为超静定次数。

2）力法的基本体系是用力法计算超静定结构的基础。同一超静定结构可选择不同的力

法基本体系。其选择原则是几何不变、计算简便。几何可变或瞬变体系不能选作基本体系。

通常选静定结构作为基本体系。在力法的推广应用中，也选低次超静定结构作为基本体系。

为了使计算简便，选基本体系时，常保留结构的固定支座和保持对称性。

3）力法的典型方程。根据基本体系在沿多余未知力方向的位移应与原结构一致的条件,

建立与多余约束力数目相同的典型方程（线性代数方程）：

乐M+匹占+……+髭z+金=0-

……+%,X"+"=0,

+%占+……+%X.+A“,,=O

式中X,、%、A/P——分别为多余约束力（基本未知量）、系数和荷载引起的自由项。

求出式的系数和自由项后，就可联立求解出未知量。然后就不难作出内力图。

常用的力法方程：x向+A,=A]

4=X|4|+X2正2+4p=0

=X]]+X2]22+42/?=0

%：基本结构单独受5=1作用时，在看作用点处，沿Xj方向的位移

△①：基本结构单独受荷载作用时，在X,作用点处，沿匕方向的位移

如果是梁和刚架，计算时可以不考虑剪力和轴力对位移的影响，只考虑弯矩的影响。可

用图乘法

为=Z*%=Z5=工

Mi：3=1单独作用时的弯矩。

Mj：焉=1单独作用时的弯矩。

Mp：荷载单独作用时的弯矩。

由力法方程求出x,(i=l,2),再按静定结构的分析方法求出原结构的内力和支座反力。

可由叠加公式求M.

A/=X]Ml+%2+MP

力法典型方程的物理意义：基本结构在全部多余约束力作用下，在多余约束力的作用点

和方向的位移，等于原结构相应的位移。

2.力法的解题步骤：

去掉多余约束，将原结构变成静定结构，用多余力代替多余约束；

按位移条件建立力法方程(沿多余力方向的位移)；

作单位弯矩图和荷载弯矩图；

将%,%,代入力法方程，求七，

用弯矩叠加公式求控制截面弯矩；

绘弯矩图。

3.例题

例1.如图9所示两次超静定结构，绘弯矩图。

解：

2

。

二

二

二

lOkN/m

二

二

R一2/1

2

2mI

基本结构

图9

2112

R]=—(2x4x2+—x—x2x2xyx2)

=—(16+-)

EI3

104

3EI

212

4=£7(2X4X4X3X4)

_128

~~EI

苑=o

△IP=—(-x4x2x80)=

EI33EI

11,。八3“、320

AA,=—(Z-x4x80x—x4)=-----

2PpEI34EI

用占

1+Snx2+Alp=0

/^21xl+^22X2+怎0=。

求解上述方程得：

80

X]=--------

,13

15

Xj=-----

2

代入叠加公式得：

M=XjA/i+叼〃2+Mp

(QAA

M=2------=—\23kN.m12.3

cI39；

MD=—13.3kN.m

例2侑标组A绵勾+侬佛阁的，模力描蒯力。

y

(a)原结构(b)基本体系

组合结构中受弯杆既可承受弯矩、也可承受剪力、轴力，二力杆则只承受轴力。

解(1)这是一个一次超静定结构，选取(b)所示的基本体系。

(2)写出力法方程

6iiX]+Alp=0

(3)”事系数及自由项

画出必和〃p图。并易知FNI=1,FNP=0O

(a)Mf图(b)Mt图

系数和自由项分别为

FN//rMi11(12]1I3

=y—+y[—ds=—+--/x/x-x/=---4-----

11

EA-J£7E】AEI[23)EXA3EI

FN/F/MiM1(1q|2

△in=E-----N-P+Yl------ds=0+--x/x^—x

lpEAjEIEI[324)SEI

(4)解力法方程，求出基本未知量

将Su、A。代入第⑵步写出的力法方程，得

(/+尸+q,A-0

(£1第3EI)8E/

解方程，得

'//3

+

E]A3EI

(5)作弯矩图、轴力图

多余未知力求出后，可按叠加原理确定控制截面的弯矩值,再进一步作出弯矩图。

由式：M=M\Xx+Mp

N=瓦X、+Np

知储，=。

上2

仁一汉（上侧受拉）

肛+M)=/X/8E：+

21I12

~E^A^3EI

E[A3EI

轴力图也易作出。

-q1/8EI疗

gl/EiA+l2/3ElF

斗二三］---gB

-qP/^EI

1/E/+/2/3E/五

(a)M图(b)FN图

4.对称结构

（1）奇数跨对称结构

①对称荷载作用下的半边刚架选取

由于（a）所示的单跨对称刚架，在对称荷载作用下变形是对称的。因而在刚架对称轴上

的截面C处，不可能产生水平位移，也不可能产生转角，但可以产生竖向位移。同时我们

知道，在对称荷载作用下，对称轴截面C上只有对称内力——弯矩乂和轴力入2,而反对

称内力——剪力义等于零。因此，从对称轴位置切开取半边结构计算时，对称轴截面C处

的支座应取为滑动支座.计算简图如b）所示，原结构由三次超静定结构简化为两次超静定

结构。

q

（b）半边刚架

②反对称荷载作用下的半边刚架的选取

山于（a）所示的单跨对称刚架，在反对称荷载作用下变形是反对称的。因而在刚架对称

轴上的截面C处，不可能产生竖向位移，但可以产生水平位移和转角。同时我们知道，在

反对称荷载作用下，对称轴截面C上只有反对称内力——剪力工，而对称内力——弯矩Y

和轴力丫2等于零。因此，从对称轴位置切开取半边结构计算时，对称轴截面C处的支座应

取为竖向链杆支座。计算简图如（b）所示，原结构由三次超静定结构简化为一次超静定结构。

(a)原结构(b)半边刚架

(2)偶数跨对称结构——以两跨对称刚架为例

①对称荷载作用下的半边刚架的选取

由于对称结构在对称荷载作用下对称轴截面上，不可能产生水平位移，也不可能产生转

角，但可以产生竖向位移。而对于(a)所示的两跨对称刚架，对称轴上有与基础直接相连的

立柱CD限制了C点的竖向位移，当忽略柱CD的轴向变形(对受弯杆通常都忽略其轴向变

形)时，C点的竖向位移等于零。另外，由对称结构对称荷载作用下内力是对称的性质可知,

立柱CQ上没有弯矩和剪力，只有轴力。根据上述变形和受力分析、当忽略立柱CZ)的轴向

变形时.，沿对称轴切开取半边结构计算时:C端应取为固定支座。计算简图如(b)所示，原

结构由六次超静定结构简化为三次超静定结构。

(a)原结构(b)半边刚架

②反对称荷载作用下的半边刚架的选取

由于(a)所示对称结构在反对称荷载作用下对称轴截面匕不可能产生竖向位移，但可

以产生水平位移和转角，因而立柱8将会产生弯曲变形。另外，由对称结构反对称荷载作

用下内力是反对称的性质可知，立柱8上有弯矩和剪力，但无轴力。如果将立柱沿对

称轴切开，即将立柱CD分成两根位于对称轴两侧而抗弯刚度各为原立柱的•半的分柱，则

一个偶数跨(两跨)对称刚架的问题，触^奇数掰三跑对楸I㈱礴:c),即在两根分柱之间增加

一跨(但跨度为零)，根据奇数跨对称刚架的知识，选取的半边结构如(d)所示。由于通常都忽

略受弯杆的轴向变形，因此，半边结构通常按(b)选取。原结构由六次超静定结构简化为三

次超静定结构(但应注意分柱的抗弯刚度为原立柱的一半)。

(c)(d)

注意：立柱CQ为两根分柱内力之和，山于两根分柱的弯矩、剪力完全相同，因此立柱

8的最终实际的弯矩、剪力分别等于分柱弯矩、剪力的两倍。又由于两根分柱的轴力虽然

绝对值相等但符号相反，因此立柱CD的最终实际的轴力等于零。

另外，半边结构取出之后，可以用任何适宜的方法对其进行计算。当得出半边结构的内力图

后。就可根据内力图图形的对称关系画出另一侧半边结构的内力图，从而得到原结构的内力

图。

力法复习重点

1.熟练掌握超静定次数的判断方法。

2.理解力法的基本思路，基本未知量的确定，力法方程的建立，以及力法典型方程中

系数和自由项的意义。

3.熟练掌握用力法计算一次或两次超静定结构(梁、刚架、桁架、组合结构)

步骤：

(1)确定超静定次数和基本未知量；

(2)根据基本未知量处的变形与原结构相等的条件建立力法方程；

A,=3］内++、\p=0

A,=^21x,+822X2+A2P=0

(3)分别作出基本体系在单位力作用下的内力图和荷载作用下的内力图，计算系数和自

由项；

(4)解方程，求出多余未知力XI、X2；

(5)利用叠加原理作弯矩图。

4.理解对称结构在对称荷载和反对称荷载作用F变形和内力的特点。掌握对称结构简化计

算的两种方法：

(1)选取对称的基本体系，将基本未知量分解为对称和反对称；

⑵采用半结构计算。

例题与练习：教材例题：例2.2例2.3例2.4

教材习题2.1(a)(b)(c)(d)2.6；2.10；2.19;2.23

三、位移法

1.位移法基本理论

•位移法前提假设：受弯的杆件变形后两端的距离不变。

•位移法基本未知量刚结点角位移和独立的结点线位移。角位移确定的方法般是：结

构的刚结点个数即为角位移个数：线位移确定的方法一般是：把结构所有刚结点和固定

支座均换成较，为使该校结体系儿何不变所需附加的最少连杆数即为原结构的独立的结

点线位移个数。两者之和即为总的结点位移个数。

图1所示结构里只有一个结点位移，即结点A的角位移，因此用位移法解题时只有一

个未知量。

图2所示结构里刚性杆本身不变形，刚性杆两端的刚结点位移可以不作为基本未知量。

结点A、B、C的水平线位移相等，因此用位移法解题时只有一个未知量。

p

10KNA曰i=8BEIi=8C

6m

•位移法基本体系

常用附加约束法来建立。在选定结点角位移的刚结点处附加一个仅能控制转动而不能控制移

动的刚臂，在选定独立的结点线位移处附加一个仅能控制移动而不能控制转动的连杆，如此

所得的使原结构成为单跨超静定梁系的附加约束结构，即为位移法的基本体系。

在原结构中加入附加约束使它变成若干根超静定梁的组合体。

在图10中加入附加刚臂，使它变成两根两端固支超静定梁的组合体•如图12所示。

在图11中加入附加链杆,使它变成五根两端固支超静定梁的组合体。如图13所示。

P

图12%=U，兴中K]犯组K、A九:TJP1'〃川削'苜K'J瑁尺A口'J列木.刀矩。

图13

图13中的平衡条件是：为=0,其中凡是结点C处的附加链杆对结点A的约束力。

•位移法方程

根据力的平衡条件建立位移法方程：

+R[p—/?j—0

2.用位移法求解具有一个结点位移的超静定梁的解题步骤：

•确定基本未知量

基本未知量是结点角位移或线位移可。

•确定基本体系

在原结构的基本未知量处加相应的附加约束，约束结点角位移或线位移，使原结构变成若干

根单跨超静定梁的组合体。

•建立位移法方程

根据附加约束处的力平衡条件，由叠加原理得出位移法方程。

HR]+H[p=7?1=0

•计算位移法方程的系数和自由项。

•求解方程，得基本未知量

•绘弯矩图

采用弯矩叠加公式：

M=AfiZ|MP

3.用位移法计算具有两个结点位移的结构

用位移法计算具有两个结点位移的结构时，需要加两个附加约束。相应的力平衡条件也有两

个，可建立两个位移法方程。计算步骤如下：

•确定基本未知量

基本未知量是结点角位移或线位移Z1、Z2o

•确定基本体系

在原结构的基本未知量处加相应的附加约束，约束结点角位移或线位移，使原结构变成若干

根单跨超静定梁的组合体。

•建立位移法方程

根据附加约束处的力平衡条件，由叠加原理得出位移法方程。因为有两个结点位移，所以相

应的位移法方程也有两个。

+rnZ2+R\p=&

+?22^2+R2P=R?

•计算位移法方程的系数n।,八2，如，/22和自由项%R2P。

•求解方程，得基本未知量Z]、Z2»

•绘弯矩图

采用弯矩叠加公式：

M=M\zx+M2Z2+

4.位移法和力法的比较

力法位移法

未知量多余力结点位移

基本结构静定结构加入约束，变成若干个单跨超静定梁的组合体

条件变形协调条件力平衡条件

方程力法方程位移法方程

5举例

例1.如图14所示，绘弯矩图。（具有一个结点位移结构的计算）

解：结点A、B、C有相同的线位移，因此只有一个未知量.

1）建立基本结构如图15所示。

2）列出力法方程

r\\z\+R\p=0

3）由力的平衡方程求系数和自由项

10KNAEI1=8BEI1=8c

（图16、17）

6n

〃"/77777~/////--

I8nI8m1

、EIEI

r=3x——=——图11

H186

R、p=-10

4）求解位移法方程得:

60

1EI

5）用弯矩叠加公式得:

M=M\zy+Mp

EI

M=MB=M

Ac~6

10KN-

EL/18EL/18EL/18

图16

图17

EI/6

--18-

2）位移法方程:

r\\z\+&p=°

3）画出图，如图22,23,

根据节点力矩平衡（图24）,求得

R4=-10KN.m

图20

将不和为?代入位移法方程得:

20

Z]=---

13EI

4）弯矩叠加方程:

M=「[Z]+MP

得：

固端弯矩

、“E120。

M=------------+8

423EI

=——+8=4.67KN•〃?

3

刚结点处弯矩

Mn='EI----F8

3EI

=14.67KN•加

5）画出弯矩图如图25所示。

图24

14.67

图25M

例3用位移法计算图26示结构，并做弯矩图。EI为常数。（具有两个结点位移结构的计算）

解：1）此结构有两个结点位移，即结点B的角位移及结点E的水平线位移。在结点B及结

点E处加两个附加约束，如图27所示。此时原结构变成四根超静定杆的组合体。

2）利用结点处的力平衡条件建立位移法方程：，

(1Z[+r]2Z2+Hip=R]~0

7<2]Z]+-22Z2+R)p=R]~0

3）做应I图、应2图及荷载弯矩图Mp图，求各系数及自由项。

图26

图27基本体系

令，=亍

N6i-Mz

」6i

1

3i6i

图29

rH=3i+4/+3/=10/

6/R】P

r!2=r2\=--

0-----------------------------------------------

12z+3z15z\77^7

々-/2-/2

90月

&p=°Q////77/7

R,产=_型=_21=_四

888

图31Mp

将求得的各系数及自由项代入位移法方程

5.33

一自

53_3____厂.66

司IIS5/ir^-/^

「ZL

20.13/)〃〜////

图3014.21

图32M

JZj=533/EI

[Z2=26.64/£7

4）弯矩叠加公式为：

M=M\ZX+M2Z2^Mp

利用弯矩叠加公式求得各控制截面弯矩为：

=

MA=y^Z220.13kN.m

A/。=(-2，忆+3-Z,=14.21kN-m

MCD=4iZ|--Z2=-\0.66kNm

MCB=(-3i)Z]=-5.33AM〃？

MCE=3%=533kN-m

位移复习重点：

1.掌握位移法基本未知量^一一结点角位移和独立结点线位移数目的确定方法。理解在

选取基本未知量时满足了结构变形连续条件。掌握位移法基本体系的形成，它与原结构的区

别。

2.理解位移法方程就是平衡方程的道理。对应于结点角位移的是结点力矩平衡方程，

对应于结点线位移是截面力的平衡方程。

3.熟练掌握用位移法计算在荷载作用下一个或两个基本未知量的超静定梁和刚架的内

力，并绘制M图。其基本步骤为：

(1)确定基本未知量，即定结构的结点角位移和独立结点线位移；

(2)确定基本体系，即在原结构上有基本未知量处，施加相应的抵抗转动的约束或支杆

等附加约束；

(3)建立位移法方程，即根据基本体系在荷载和结点位移共同作用下在附加约束处的约

束力为零的条件建立位移法方程；

(4)计算位移法方程的系数和自由项；(作基本体系在单位结点位移单独作用下的双j

图，由平衡条件计算方程的系数；作基本体系在荷载单独作用下的Mp图，由平衡条件计

算方程的自由项。)

(5)解方程，计算基本未知量；

(6)作内力图。

4.掌握位移法计算对称性结构的简化计算。

5.熟记常用的形常数和载常数。

例题与练习：教材习题3.11；3.16

教材例题：例3.2

四、力矩分配法

力矩分配法是以为基础的。力矩分配法适用于计算无结点线位移的超静定梁和刚架。

(-)力矩分配法的基本运算

1.三个基本概念

（1）转动刚度：Mlk=Slkzl

：1k杆的1端产生单位转角时，在该端所

需作用的弯矩。

（2）分配系数：MXk翁-"=即〃

(I)

心:当结点1处作用有单位力偶时，分配给1k

杆的1端的力矩。

（3）传递系数：Mk]=CikMlk

Cik：当杆件近端发生转角时，远端弯矩与近端弯

矩的比值。基本运算

当单位力偶作用在结点1时，按分配系数分

配给各杆的近端为近端弯矩；远端弯矩等于近端

弯矩乘以传递系数。

2.一个基本运算：如图所示，

（1）各杆的转动刚度为：

S12=2/|2，5,3=4/13,S14=’14

（2）各杆的力矩分配系数为：

(1)(1)(1)

（3）分配给各杆的分配力矩即近端弯矩为：

VVS

M"n=12M=/zAf,='3M,==^M

Z九12Zs,

（1）（1）(I)

（4）各杆的传递系数为：

C[2=。，C|3=—,Ci4=—1

（5）各杆的传递弯矩即远端弯矩为：

cC

M2\-C\2M\2=0,“,31=C]3m13=3川13，A/41=—A/14

（-）具有一个结点角位移结构的计算

步骤：

（1）加约束：在刚结点i处加一附加刚臂，求出固端弯矩，再求出附加刚臂给结点的约

束力矩。

（2）放松约束：为消掉约束力矩力口-M/,求出各杆端弯矩。

（3）合并：将上两种情况相加。

固端弯矩+分配弯矩=近端弯矩

固端弯矩+传递弯矩=远端弯矩

（三）用力矩分配法解连续梁和刚架

1.掌握力矩分配法中正负号规定。理解转动刚度、分配系数、传递系数概念的物理意

义；掌握它们的取值。能够根据远端的不同支承条件熟练地写出各种情形的杆端转动刚度、

向远端的传递系数，并计算分配系数。

2.通过单结点的力矩分配法，理解力矩分配法的物理意义，掌握力矩分配法的主要环

节：

(1)固定刚结点。对刚结点施加阻止转动的约束，根据荷载，计算各杆的固端弯矩和结

点的约束力矩；

(2)放松刚结点。根据各杆的转动刚度，计算分配系数，将结点的约束力矩相反值乘以

分配系数，得各杆的分配弯矩；

(3)将各杆端的分配弯矩乘以传递系数，得各杆远端的传递弯矩。

3.熟练掌握多结点力矩分配计算连续梁和无结点线位移的超静定刚架，其计算步骤为:

(1)计算结点上各杆的转动刚度和各结点的分配系数；

(2)锁住各结点，计算各杆的固端弯矩；

(3)进行力矩分配与传递，二至三轮后，分配、传递结束；

(4)叠加杆端所有弯矩(固端弯矩，历次的分配弯矩和传递弯矩)，得到最后的杆端弯矩;

(5)画内力图。

力矩分配法计算超静定结构的要求是：能够熟练地用力矩分配法计算荷载作用卜，一至

三个结点的连续梁和无结点线位移的刚架，并绘制内力图。对于有悬臂端的情况，应掌握其

计算特点。

(四)例题

用力矩分配法计算无结点线位移的刚架

例1.用力矩分配法计算所示刚架，并绘制弯矩图。

解⑴计算转动刚度、分配系数和固端弯矩。

PJEI

SRA=占加=4x——4i

DA=2EI,SD=BD=4x—=2£/

DA2B

2EI-2E1

=-----=El，从=0.4

BC2BA£S2EI+2EI4-EI

B

二$BD2EIEI

=0.4»NBC=0.2

BD―»2EI+2EI+EI2EI+2EI+EI

B

1/Fq/230x22.......F二q"二30x22

MRA---=-------=10kN-m,M—=-10kNm

BA1212力8一W12

AAE

/F/FA<3Fpl3x40x2xr

MBD=MDB=Q，MBC=----=--------二-30kN-m

oo

Fpi40x2.....

MCR=--------=-------=—lOkNm

s88

26

（a）刚架（b）弯矩图（kN-m）

⑵计算各杆的杆端弯矩

结点ABCD

杆端ABBABDBCCBDB

分配系数0.40.40.2

固端弯矩-10100-30-100

分配弯矩8____84

传递弯矩4-44

最后杆端弯矩-6188・26-144

（单位：kN-m）

⑶绘制弯矩图

例2用力矩分配法计算所示刚架的力矩分配系数。

解计算转动刚度、分配系数和固端弯矩。

EJE1

SDRA=4zD„A.=4x—4=EI,SoC=4ioBLC=4x——4=EI

AFIFI

SBE=4iBE=4x—=3EI,SCB=4iCB=4x—=EI

3/7/pi

SCF=4iCF=4x^-=3EIfSCD=3iCD=3x—=EI

NBA==----------------=0.2，RBC==0・2

"gsEI+EI+3EIBCzs

BB

〃BE~0,6，"CB=0.2，卜I，CF=0-6，〃cz>=0.2

在力矩分配法计算过程中，不论结构有多少结点，都是重复一个基本运算一单结点的力矩分

配。

（五）例题与练习：教材习题4.10

教材例题：例4.5

五、影响线

一、影响线的做法

影响线的概念：单位力移动时，某量值的变化规律。

二、影响线的作法

直接荷载作用下的影响线：

静力法：把单位荷载方在结构的任意位置，以X标记单位力的位置，由静力平衡条件求出所

研究的量值与荷载作用位置之间的关系方程，也就是影响线方程，然后绘出影响线。

机动法：以刚体的虚功原理为基础。首先撤去相应的约束，用X来代替约束作用，然后使

得机构沿X正方向发生位移，作出荷载作用点的竖向位移图，由此可定出X的影响线轮廓,

然后令合=1,得影响线。

三、例题

例1作图（a）所示伸臂梁的心、FRB.FQC、Me、尸8的影响线。（静力法）

（C）/R8的影响线

（d）的影响线

（f）广0°的影响线

解：（1）作儿、尸R8的影响线

取点力为坐标原点，横坐标X以向右为正。当荷载瓦=1移动到梁上任一点X时;山平

衡方程求得

"手（0<x</+/,）

X

FRB=]（0<X</+/,）

影响线如图（b）,（c）所示，支座反力在48段内的影响线与简支梁相同，只是将其向伸

臂端部分延长即可。

（2）作剪力与°的影响线

当尸°=1在点C以左移动（尸户=1在AC段）时，得

FQC=-FRB

当Fp=l在点C以右移动（3=1在CE段）时，得

FQC=^RA

影响线如图（d）所示

（3）作弯矩A/,的影响线

当用,=1在点C以左移动（尸0=1在AC段）时，得

=FRB'b

当4=1在点C以右移动（0=1在CE段）时，得

影响线如图（e）所示

（4）作剪力F3的影响线

当a=1在。点以左移动时，取。的右边为隔离体，得

FQD=0

当后=1在。点以右移动时，仍取。的右边为隔离体，得

FQD=1

影响线如图⑴所示。可以看出用,=1在“。段移动时.，对尸少无影响，只有在OE段移

动时，才对尸⑺有影响。

例2试用机动法作图（a）所示伸臂梁截面。的弯矩影响线和剪力影响线。

（e）F©的影响线

解：（1）弯矩的影响线

撤去与相应的约束，即在截面。处加一个较，用一对等值反向使梁下侧受拉的力

偶MD来代替，使饺D的左、右两截面沿MD的正方向产生一单位的相对转角与=a+6=1，

如图（b）所示。由于6z是微小的转角，可以近似认为44'=6zX〃=a,由几何关系可以得到

MD影响线的竖坐标。MD的影响线如图（c）所示。

（2）剪力尸口的影响线

撤去与尸”相应的约束，即在截面。处加一定向滑动支座，用一对等值反向的正剪力

心。来代替。使。的左、右两截面发生单位的相对竖向位移“=1，如图（⑴所示。由于切

UD处只能发生竖向位移，不能发生相对水平向位移和相对转动角位移，切口两边在梁发

生位移后必须保持平行。故山儿何关系可得到心。影响线的竖坐标。尸”的影响线如图（e）

所示。

例3试用机动法作图（a）所示静定多跨梁的尸&B、放、M。、味、",的影响线。

(k)A/0的影响线

3

解：(1)求耳8影响线

如图(b)所示，撤去与七B相应的约束，沿相g正方向产生一单位位移得到相应的虚位

移图，由此可以得到七B的影响线如图9)所示。

(2)求尸潟影响线

如图（d）所示，撤去与放相应的约束，由于8为•钱，允许转动，只需在8的左侧改

为一水平链杆，即解除了除相应的约束，沿球的正方向给一单位位移，得到相应的虚位

移图。3以右部分仍为不变体系，故不能移动。由此可得到球的影响线如图（e）所示。

图⑴、（h）、（j）、分别为MD、晨.、网的虚位移图。图值）、⑴、也）分别是其相应

的影响线。

四、影响线的学习要求

1.理解影响线的基本概念。搞清影响线与内力图的区别。

2.掌握用静力法做直接荷载作用卜一单跨静定梁的弯矩及剪力影响线。

3.掌握用机动法做静定梁的弯矩及剪力影响线。

六、动力学

1、弹性体系的振动自由度

确定体系中全部质量的位置所需的独立几何参数的个数，称为弹性体系的振动自由度。

确定弹性体系振动自由度用“附加支杆法”。为固定体系中全部质量的位置所需附加支杆的

最低数，即是体系的振动自由度。

体系的动力自由度数不一定等于质点个数,也与该体系是否超静定、或超静定次数无关。

动力自由度的概念与体系几何组成分析中自由度的概念，既有共同点，又有不同之处。共同

点是他们都是表示体系运动形式的独立参数的个数。不同之处是，几何组成分析中的自由度

是指刚体体系的运动自由度，即将杆件看成体系刚性杆，不考虑杆件本生的微小变形，也不

涉及杆件的质量。而结构动力计算中的自由度是指变形体系中质量的运动自由度，不能把所

有的杆件看成刚性杆，要考虑杆件的弹性变形。

例1判断所示体系的动力自由度。

动力自由度为2。动力自由度为1

2.单自由度体系的无阻尼自由振动

1).振动方程：

my+ky-0

或y=-my8

左为刚度系数，3为柔度系数。

2).位移解答：

X0=为cosax+—sinca-Asin（次+a）

co

圆频率:

y0——初始位移，v0——初始速度。

振幅：A=

计算单自由度体系的自振周期(或频率)时，首先根据结构的特点求出相应的柔度系数6或

刚度系数女，然后用公式计算T或。。

例2.设横梁的拉伸刚度无穷大，跨长为1,柱子的高度为h,忽略柱子的质量，横梁的质量

为m,求此体系的自振频率。

EI

，，，，，

解:横梁只能沿水平方向运动，此体系为单自由度体系.用位移法求刚度系数kH.

,6EI

k、

CO=

3、两个自由度体系的自由振动

1.柔度法求自振频率：______________________

1_（%3“+加2b22）±驷晶+%五）2-4g加2伉名2—况）

1

co2W]W20]]灰2-<J|2）

2.刚度法求自振频率:

(02=-

2

计算两个自由度体系的自振频率与主振型时，须先求出与质体振动方向相应的结构柔度（或

刚度），再按公式求出自振频率和主振型。最小频率为基本频率，相应振型为第一主振型。

可利用主振型正交性原理进行校核。

例3.如图所示一两层刚架，柱高h,各柱EI为常数，设横梁E/=8,刚架的质量集中在横梁上,

m}-m2-m,求刚架水平振动时的自振频率。

解：ma

•计算结构的刚度系数

结构的刚度系数由位移法求得，即：EI=8

EIEI

,48E/,,24E/24EI

自1=，%21=&2=尸-,

3

h7二V/77/V/77"^/7.r

•求自振频率EI=8

频率方程为：EIEI

//77/

^iikl2

2

k2\k22—（Dm2

将刚度系数代入频率方程得:

例4.如图所示简支梁，质量集中在两个质点上,且啊=%=机，EI=常数，求此体系的自

振频率。

解：此题用柔度法计算比较简单。

•计算柔度系数

做单位弯矩图，如图及图，求得各柔度系数

必I=%=T7777

25657

7八

用2=21=-----

122768E/

•计算自振频率

两个自由度体系的频率方程为：

（如坛一司2%4-（加面+”72b22）/+1=0

将各柔度系数代