数学归纳法证明整除

数学归纳法证明整除当n=1的时候

上面的式子=3^4-8-9=64

成立

假设当n=k的时候

3^(2k+2)-8k-9能够被64整除

当n=k+1

式子=3^(2k+4)-8k-17

=9[3^(2k+2)-8k-9]+64k+64

由于3^(2k+2)-8k-9能够被64整除

∴9[3^(2k+2)-8k-9]+64k+64能够被64整除

n=k+1时，成立

依据上面的由数学归纳法

3的2n+2次方-8n-9(n属于N*)能被64整除。

2

当n=1时3^4-8-9=81-17=64能被4整除·····(特别性)

设当n=k时，仍旧成立。

当n=k+1时，·····················(一般性)

3^(2(k+1)+2)-8(k+1)-9=3^(2K+2+2)-8K-17=9*3^(2K+2)-72K+64K-81+64=9(3^(2k+2)-8k-9)+64k+64

由于3^(2k+2)-8k-9能被64整除

不用写了吧··

正确请接受

数学归纳法

当n=1的时候

上面的'式子=3^4-8-9=64

成立

假设当n=k(k=1)

3^(2k+2)-8k-9能够被64整除

当n=k+1(k=1)

式子=3^(2k+4)-8k-17

=9[3^(2k+2)-8k-9]+64k+64

由9[3^(2k+2)-8k-9]+64k+64-(3^(2k+2)-8k-9)可以被64整出

n=k+1时，成立

依据上面的由数学归纳法

3的2n+2次方-8n-9(n属于N*)能被64整

3.证明:对于任意自然数n(3n+1)*7^n-1能被9整除

数学归纳法

(1)当n=1时(3*1+1)*7-1=27能被9整除

(2)假设当n=k时(3k+1)*7^k-1能被9整除

则当n=k+1时[3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1

=(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k

=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k

括号中的代数式能被9整除9(2k+3)*7^k能被9整除

所以当n=k+1时[3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除

综合(1)(2)可知对于任意自然数n有(3n+1)*7^n-1能被9整除

4证明：

(1)n=1时，3^(6n)-2^(6n)=3^6-2^6=665=19*35，命题成立

(2)假设n=k时命题成立，即

35能整除3^(6k)-2^(6k)

即3^(6k)-2^(6k)=35m(m∈Z+)

则n=k+1时

3^(6n)-2^(6n)

=3^(6k+6)-2^(6k+6)

=(3^6)*3^(6k)-(2^6)*2^(6k)

=64*[3^(6k)-2^(6k)]+(729-64)*3^(6k)

=64*[3^(6k)-2^(6k)]+665*3^(6k)

=64*35m+19*35*3^(6k)

=35*[64m+19*3^(6k)]

即n=k+1时，35能整除3^(6n)-2^(6n)

综合(1)(2)由数学归纳法知：

对于一切正整数n，35能整除3^(6n)-2^(6n)

===============

给定任意正整数n，设d(n)为n的约数个数，证明d(n)2√n

证明：

若n存在一个约数a√n

则n/a=b是n的另一个约数，且b√n

明显a,b是一一对应的

∵a√n

∴a的个数√n

∴b的个数√n

∴d(n)=a的个数+b的个数2√n5假设n=k时成立得3^(6k)-2^(6k)能被35整除

3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)

=(3^6-1)3^(6k)-(2^6-1)*2^(6k)

=728*3^(6k)-63*2^(6k)

=63*(3^(6k)-2^(6k))+665*3^(6k)

由于665/35=19所以3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)可以被35整除

那么由3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)+3^(6k)-2^(6k)