2021-2022学年云南省大理市禾甸中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年云南省大理市禾甸中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，则函数F（x）=f（x）﹣x零点个数为（）A．4 B．3 C．1 D．0参考答案：B考点： 根的存在性及根的个数判断．

专题： 函数的性质及应用．分析： 利用奇偶性求解f（x）解析式构造f（x）=，g（x）=x，画出图象，利用交点个数即可判断F（x）零点个数．解答： 解：∵在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣（﹣x）2+2（﹣x）]=x2+2x，∴f（x）=，g（x）=x，根据图形可判断：f（x）=，与g（x）=x，有3个交点，即可得出函数F（x）=f（x）﹣x零点个数为3，故选：B．点评： 本题考查了复杂函数的零点的判断问题，构函数转化为交点的问题求解，数形结合的思想的运用，关键是画出图象．2.若直线与圆相交于P、Q两点，且（其中Q为原点），则K的值为（）A．

B．

C．，-1

D．1，-1参考答案：A3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5参考答案：C【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣1，i=2；当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=1，i=3；当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣2，i=4；当i=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=2，i=5；当i=5时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣3，i=6；当i=6时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=3，i=7；当i=7时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣4，i=8；当i=8时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=4，i=9；当i=9时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣5，i=10；当i=10时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=5，i=11；当i=11时，不满足进行循环的条件，故输出S值为5，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4.(2009湖北卷理)将甲．乙．丙．丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲．乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为

参考答案：C解析：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是5.已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.将函数的图像向左平移个单位，若所得图像与原图像重合，则的值不可能等于（

）A．4

B．6

C．8

D．12参考答案：B试题分析：因为将函数的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即（），解得（），A，C，D正确．故选B．考点：函数的图象变换.7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（

）（已知：)A．12

B．20

C.24

D．48参考答案：C8.函数f(x)＝－(cosx)|lg|x||的部分图象是()参考答案：B9.在中，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B由题知，，设，由余弦定理，由双曲线的定义有，，，故选B10.函数图象交点的横坐标所在区间是（

）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则这它们面积的比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体（各棱长均相等的四面体）的棱长的比为1：2，则他们的体积的比为________________参考答案：1:812.已知函数，则函数的零点个数为

．参考答案：613.已知函数的图象为C，关于函数f（x）及其图象的判断如下：①图象C关于直线x=对称；②图象C关于点对称；③由y=3sin2x得图象向左平移个单位长度可以得到图象C；④函数f（x）在区间（﹣）内是增函数；⑤函数|f（x）+1|的最小正周期为π．其中正确的结论序号是

．（把你认为正确的结论序号都填上）参考答案：②⑤【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象与性质，对题目中的命题进行分析、判断，即可得出正确的命题序号．【解答】解：函数，对于①，f（）=3sin（2×+）=﹣不是最值，∴f（x）的图象C不关于直线x=对称，①错误；对于②，f（）=3sin（2×+）=0，∴f（x）的图象C关于点对称，②正确；对于③，由y=3sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=3sin[2（x+）]=3sin（2x+）的图象，不是图象C，③错误；对于④，x∈（﹣，）时，2x+∈（，），∴函数f（x）=3sin（2x+）在区间（﹣）内不是增函数，④错误；对于⑤，|f（x+π）+1|=|3sin（2x+2π+）+1|=|3sin（2x+）+1|=|f（x）+1|，∴|f（x）+1|的最小正周期为π，⑤正确．综上，正确的结论序号是②⑤．故答案为：②⑤．【点评】本题考查了三角函数的图象和性质及其变换的应用问题，是综合性题目．14.已知集合M={(x，y)|x＋y=2}，N={(x，y)|x－y=4}，那么集合M∩N＝

．参考答案：略15.若，满足约束条件则当取最小值时，的值为

．参考答案：116.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为_____________参考答案：1试题分析：由得函数的周期，，由于为偶函数，，所以考点：1、偶函数的应用；2、函数的周期性．17.若，则___________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求续驶里程在[200，300]的车辆数；（Ⅲ）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（I）利用小矩形的面积和为1，求得x值；（II）求得续驶里程在[200，300]的车辆的频率，再利用频数=频率×样本容量求车辆数；（III）利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可得：（0.002+0.005+0.008+x+0.002）×50=1，∴x=0.003；（Ⅱ）由题意可知，续驶里程在[200，300]的车辆数为：20×（0.003×50+0.002×50）=5；（Ⅲ）由（Ⅱ）及题意可知，续驶里程在[200，250）的车辆数为3，续驶里程在[250，300]的车辆数为2，从这5辆中随机抽取2辆车，共有=10种抽法；其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法有?=6种，∴恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率为=．【点评】本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．19.设函数，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点.（I）若P点的坐标为，求的值；（II）若点为平面区域上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数的值域.参考答案：略20.设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x2≤．参考答案：考点：其他不等式的解法；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于，要证的不等式得证．解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1可得①，或②．解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为．（Ⅱ）证明：由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=，∴M∩N=．∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，∴x2f（x）+x2=xf（x）=﹣≤，故要证的不等式成立．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．21.某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：

第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩8287868090乙的成绩7590917495（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．参考答案：【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）解法一：求出，答案一：从稳定性角度选甲合适．（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．答案二：通过乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．）解法二：求出甲摸底考试成绩不低于90的概率，乙摸底考试成绩不低于90的概率，然后决定选谁合适．（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．列出这5次摸底考试中任意选取2次所有情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”的情况个数然后求出概率．【解答】解：（Ⅰ）解法一：依题意有，答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为．所以选乙合适．（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．22.如图甲：⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）若点G是的中点，证明：FG∥平面ACD；（Ⅱ）求平面ACD与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法表示出E的坐标，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：连接OF，FG，OG，∵F，O是BC，AB的中点，∴FO∥AC，∵FO?平面ACD，AC?平面ACD，∴FO∥平面ACD，∵∠DAB=，且G是BD弧的中点，∴∠BOG=，则AD∥OG，∵OG?平面ACD，AD?平面ACD，∴OG∥平面ACD，∵FO∩OG=O，FO，OG?平面FOG，∴面FOG∥面ACD，又FG?平面FOG，∴FG∥