自动控制原理自控

第五章

频率分析法一、本章重点开环幅相特性曲线及奈氏稳定判据；开环对数频率特性曲线（Bode图）及对数频率稳定判据;稳定裕度（h

和γ）；开环传递函数的实验确定方法；二、本章难点频率特性曲线的绘制；稳定裕度、频域指标的计算;三、本章考点幅相曲线、Bode图的绘制；利用Bode图确定传递函数;判定系统稳定性、求其稳定裕度。频率分析法的特点明确的物理意义：稳定系统频率特性可以用实验方法测定；可方便有效地分析噪声的控制问题。§5.1

频率特性1、频率特性的基本概念(1)

频率特性的定义如：设有RC网络，在输入端加入信号：r（t）=UrSinωt

时，有

c（t）=UcSin（ωt+φ）c（t）为一个与r（t）同频率的正弦输出响应，只是幅值和相角发生了变化。c（t）r（t）CR（

T=RC）其中-----c（t）与r（t）的幅值之比1R(s)

Ts

+1由于该网络的传递函数为：G(s)=C(s)=111如果c（t）与r（t）用复向量表示，则有：1=jw

+1jwRC

+1

TjwCR

+=

jwC

=R(

jw

)

Zr

+

ZcC(

jw

)

=

Zce

jj

(w

)=

A(w

)

e

jj

(w

)

=

G(

jw

)1

+

w

2T

2=j(w

)

=

-arctgwT11

+w

2T

2A(w

)

=-----c（t）与r（t）的相位之差定义:

φ（ω）为系统的相频特性；A（ω）为系统的幅频特性；系统频率特性A（ω）e

j

φ（ω）因为： 则完整地描述了系统在正弦输入下系统输出之间随频率ω的变化规律------定义G（jω）为系统的频率特性。比较网络的传递函数和复向量表达式，可见它们之间可以通过下式进行转换：（证明见教材P189）G（s）︱s=jω

=G（jω）实际上，稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅氏变换的比。即：对于一个线性定常系统，若已知其传递函数G（s），只要将G（s）中的s

以jω来代替，便可以得到系统的频率特性表达式。2、频率特性的几何表示法常用的几何表示法有：Bode图（对数坐标图）：即系统对数频率特性曲线。用以在对数坐标系中描述系统频率特性；尼柯尔斯图（对数幅相图）：用以描述闭环系统的频率特性。（1）幅相曲线绘制幅相曲线时，以ω为参变量（ω：0→+∞），将幅频特性和相频特性同时表示在复平面上。例如：RC网络的频率特性，根据其A（ω）和φ（ω）的表达式，在参变量

ω∈[0→∞）时，可绘制

RC网络的幅相曲线如右图

所示。0φ∣G（jω）∣jω=∞，φ=-90°1（ω=0，φ=0）极坐标图： 即系统幅相频率特性曲线（幅相曲线）。用以在复平面上描述系统频率特性（2）对数频率特性曲线(Bode图)对数频率特性的定义：L（ω）=20

lg

∣G（jω）∣--------对数幅频特性φ（ω）=∠G（jω）

-------------对数相频特性对数频率特性曲线：由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。横坐标：表示频率ω（rad/s），对数分度lgω（对ω不均匀）；纵坐标：表示对数幅频特性时，为对数幅频特性的函数值（dB）；表示对数相频特性时，为对数相频特性的函数值（弧度或度）；纵坐标为均匀分度。对数分度方法：ω110100100010000…lgω01234…十倍频程十倍频程12030 40

50

60 80

100ω一倍频程2

3

4

5

6 7

8

910一倍频程二倍频程ω12345678910lgω00.301(0.3)0.477(0.5)0.602(0.6)0.699(0.7)0.778(0.8)0.845(0.85)0.903(0.9)0.954(0.95)1结论:一个十倍频程=3.32×一倍频程(lg10÷lg2=3.32)；频率每变化一倍(一倍频程),其间隔距离为0.301个单位长度。3、几种确定频率特性的方法实验法：改变ω→频率特性曲线→频率特性→G（s）；解析法：G（s）→G（jω）→频率特性；零极点图法：§5.2

典型环节的频率特性1.

比例环节jK0(a)比例环节的幅相曲线20lg

K0φ（ω）ωωL（ω）0(b)比例环节的Bode图传递函数:频率特性:G(s)=

KG(jω)=

K幅相曲线:幅频特性A（ω）=K

(与ω大小无关)相频特性φ（ω）

=0°∴比例环节的幅相曲线为复平面实轴上的一个点(K

,0)；见图(a)所示。对数频率特性曲线(Bode图):对数幅频特性L(ω)=20lg∣G（jω）∣=20lg

K

(与ω大小无关)对数相频特性φ（ω）

=0°故：比例环节的Bode图如图(b)所示。2.

积分环节G(s)=

1

/sG(jω)=1

/

jω=

A(ω)e

jφ（ω）=1/ω·e-j90°传递函数频率特性(1)

幅相曲线:(a)积分环节的幅相曲线ω→0ω→∞j0－20dB/dec101-90°L（ω）

20φ（ω）

00ωω(b)积分环节的Bode图幅频特性

A（ω）=1/ω相频特性

φ（ω）=

-90°积分环节的幅相曲线为复平面负虚轴部分；见下图(a)所示。(2)

对数频率特性曲线(Bode图):对数幅频特性

L(ω)=20lg∣G（jω）∣=

－20lgω对数相频特性

φ（ω）

=

－90°积分环节的Bode图如图(b)所示。3.

微分环节(a)微分环节的幅相曲线ω→∞jω→0020dB/dec101L（ω）200φ（ω）90°0ωω(b)微分环节的Bode图传递函数频率特性G(s)=

sG（jω）=

jω

=ω·e

j

90°(1)

幅相曲线:∵幅频特性A（ω）=ω相频特性φ（ω）

=90°∴微分环节的幅相曲线为复平面正虚轴部分；如图(a)所示。(2)

对数频率特性曲线(Bode图):∵对数幅频特性L(ω)=20lg∣G（jω）∣=20lgω对数相频特性φ（ω）

=90°∴微分环节的Bode图如图(b)所示。(1)

幅相曲线幅频特性0(ω=∞，φ=90°)1（ω=0，φ=0）0φA（ω）j(a)

惯性环节的幅相曲线4.

惯性环节传递函数1Ts

+1G(s)

=1=

A(w

)

e

jj

(w

)jwT

+1G(

jw

)

=频率特性1+1w

2T

2A(w

)

=j(w

)

=

-arctgwT相频特性惯性环节的幅相曲线如图(a)所示。(RC网络的幅相特性)此时,

斜率为

–20dB/dec,与零分贝线的交点为ω=1/T,

该频率称为交接频率。（2）对数频率特性曲线(Bode图):1）对数幅频特性：1=

-20

lg

w

2T

2

+1w

2T

2

+1L(w

)

=

20

lg

A(w

)

=

20

lgT时，L(w

)»0当

w

T

<<1

，即

w

<<

1T当

w

T

>>1

，即

w

>>

1

时，

L(w

)

=

-20

lgw

T即惯性环节的交接频率为Tw

=

1故惯性环节的对数幅频特性曲线可以用两条直线来近似地描绘，如下图（a）所示。如要精确绘制时需要对其进行修正。L（ω）－20dB/dec1/T0ωωφ（ω）0-45°-90°20（a）惯性环节对数幅频曲线→（b）惯性环节对数相频曲线→(c)

惯性环节的Bode图2）对数相频特性：φ（ω）

=-arctgωTω=0时，φ（0）=0°…ω=1/T时，φ（1/T）=-45°…ω=∞时，φ（∞）=

-90°惯性环节的对数相频特性如图(b)所示。所以，惯性环节的Bode图如图(c)所示。一阶微分环节传递函数G(s)=1+Ts频率特性G（jω）=1+jωT

=A（ω）e

jφ（ω）幅相曲线:∵幅频特性A(w

)

=

1

+

w

2T

2j(a)一阶微分环节的幅相曲线1

ω

=

00ω

=

∞相频特性

φ（ω）

=arctgωT∴一阶微分环节的幅相曲线如图(a)所示。（2）对数频率特性曲线(Bode图):1）对数幅频特性TL(w

)

=

20

lg

A(w

)

=

20

lg 1

+

w

2T

2时，L(w

)»0w

T

<<1

，即

w

<<

1当T时，L(w

)»-20

lgw

T当

w

T

>>1

，即

w

>>

1此时,斜率为20dB/dec,与零分贝线的交点为ω=1/T,即,一阶微分环节的交接频率为故:

一阶微分环节的渐近对数幅频特性曲线可以用两条直线来近似地描绘,

如图（b）所示。要精确绘制时，需要对其进行修正。Tw

=

120dB/dec1/TL（ω）200ω(b)一阶微分环节的对数幅频特性曲线2）对数相频特性

φ（ω）

=

arctgωTω=0时，φ（0）=0°…ω=1/T时，φ（1/T）=45°…ω=∞时，φ（∞）=90°φ（ω）90°20dB/decL（ω）1/T0°200ωω(d)

一阶微分环节的对数频率特性曲线（Bode）图90°一阶微分环节的对数相频特性曲线如图(c)所示。φ（ω）0°ω(c)一阶微分环节的对数相频特性曲线综上所述，一阶微分环节的对数频率特性曲线如下图(d)所示。6.

振荡环节传递函数(1)

幅相曲线)212n2nww

2ww

2+

4z

2(1-A(w

)

=112s

+1s

+s2n2n2nn

G(s)=

n

=w2zw+

2zw

s

+

ww

2112www

2+

2z

(

jw

)

+1(

jw

)(

jw

)2

+

2zw

(

jw

)

+

wn2n2nn

频率特性

G(

jw

)=

n

=∵幅频特性2nww

2wn2z

w1

-j(w

)

=

-arctg相频特性(0<ζ<1)2nww

2wn2z

w1

--12nww

2wnw2zn当：w

>

w

时，

j

(w

)

=

-180

+

arctgn当：w

£

w

时，j

(w

)=-arctg其中，对于相频特性在0<ζ<1上取定两个ζ值(大小各一)，然后将ω/ωn在0→∞上取值，分别计算出A（ω）和φ（ω）。其中，几个特征点为：ω=0时，A（0）=1，φ（0）=0°ω=ωn时，A（ωn）=1/2ζ，φ（ωn）=

-90°ω=∞时，A（∞）=0，φ（∞）=-180°∴

振荡环节的幅相曲线见下图(a)所示。ω=∞1（ω=0）ζ大ζ小-1/2

ζ0jω(a)

振荡环节的幅相曲线（2）对数频率特性曲线(Bode图):1）对数幅频特性2n2nww

2ww

2)2

+

4z

2L(w

)

=

20

lg

A(w

)

=

-20

lg

(1

-wnn，即

w

<<

w

时，

L(w

)

»

0当

w

<<1nnw，即

w

>>

w

时，

有当

w

>>1由此可见，ω<<ωn时,对数幅频特性为零分贝线;ω>>ωn时,对数幅频特性为斜率-40dB/dec的直线。故：振荡环节的渐近对数幅频特性也可以用两条直线来近似地描绘，如图（b）。要精确绘制时，亦需要对其进行修正。2n2nww

2w

+

4z

22w

2

L(w

)

»

-20

lg

1

-22

»

-20

lg

2

w

2

w

2

+

4z

2w

w2

w

2

2

n

n

n

nw

ww»

-20

lg

»

-40

lg振荡环节的交接频率为ω=ωn－40dB/decL（ω）ωn200ω(b)

振荡环节的对数幅频特性2）对数相频特性：2nww

2wn2z

w1

-j

(w

)

=

-arctg-12nww

2wn2z

wj

(w

)

=

-180

+

arctg或(b)振荡环节的对数相频特性曲线0°-180°（可参见前面“幅相曲线”方法分析）几个特征点为：ω=0时，A（0）=1，φ（0）=0°ω=ωn时，A（ωn）=1/2ζ，φ（ωn）=-90°ω=∞时，A（∞）=0，φ（∞）=-180°振荡环节的对数相频特性如下图(b)所示。φ（ω）ωωn－40dB/decL（ω）ωn0°-180°0φ（ω）ωω(c)

振荡环节的Bode图综上所述，振荡环节的对数频率特性曲线如下图(c)所示。(3)振荡环节的谐振频率ωr与谐振峰值Mr一个系统的激励频率等于其固有频率时，系统的电磁振荡幅值达到最大，即产生谐振。此时的频率称作系统的谐振频率ωr，此时的幅值为系统谐振峰值Mr

。对振荡环节的谐振峰值Mr，谐振频率ωr，可利用求极值的方法求得:w=

w

1

-

2z

2nr12z

1

-z

2rrM

=

A(w

)

=显然220

<

z

£对于不同的系统阻尼,振荡环节的谐振峰值Mr，谐振频率ωr不同，参见教材P195-196分析。7.

二阶微分环节传递函数2n

nwG(s)

=

1

s2

+

2z

s

+1wwwG(

jw

)

=

1

(

jw

)2

+

2z

(

jw

)

+1n2n频率特性2n2nwww

2

w

2)2

+

4z

2A(w

)

=

(1

-（1）幅频特性（2）相频特性仿照“振荡环节”频率特性的分析方法，可分别得到其幅相曲线及Bode图如下图(a)、(b)所示：ωωnω=∞ω=010j（a）ωn0180°0φ（ω）ωω(b)[40]L（ω）20二阶微分环节的频率特性曲线图2nww

2wn2z

w1

-j(w

)

=

arctg8.

延迟环节（教材P204）幅相曲线:（教材P204图5-25）幅频特性A（ω）=1相频特性φ（ω）

=-ωτ（rad）=-57.3ωτ

(°)对数频率特性曲线(Bode图):对数幅频特性L(ω)=20lgA(ω)=0对数相频特性：φ（ω）

=-ωτ（rad）=-57.3ωτ(°)延迟环节的幅相特性曲线00τ小τ大ωω0j1

(ω=0)传递函数G(s)

=

e-t

sG(

jw

)

=

e-t

jw

=

A(w

)

e

jj

(w

)频率特性延迟环节的对数频率特性曲线(T1

s

+1)(T2

s

+1)K§5.3

系统开环频率特性1.开环幅相特性例题1：设某0型系统开环传递函数为G(s)H

(s)=（K、T1

、T2>0），试绘制系统的开环幅相曲线。（P198

例题1）1

1T

s

+1

T

s

+11

2、解

G（s）可以认为是由

K

、三个典型环节串联组成。即G（s）=G1（s）·

G2（s）·

G3（s）由于环节G1（s）、G2（s）、G3（s）的频率特性分别为:11jj

(w

)G

(

jw

)

=

K

=

A

(w

)

e22121211

1ejj(w

)-

j

arctgwT

)(wT

)

+1=

A

(w

)

e

=jwT

+1G

(

jw

)

=2232323111ejj

(w

)-

j

arctgwT

)(wT

)

+1=

A(w

)

e

=jwT

+1G

(

jw

)

=所以，开环频率特性为：开环幅频特性开环相频特性当K、T1、T2确定时，计算出ω：0→∞所对应的A(ω)和φ(ω)的值，并绘制于[s]平面上即得到系统的开环幅相曲线。曲线的起点曲线的终点1

2

3G(

jw

)

=

A(w

)

e

jj

(w

)

=

G

(

jw

)

G

(

jw

)

G

(

jw

)11

2(wT

)2

+1(wT)2

+1A(w

)

=

Kj(w

)

=

—

G(

jw

)

=

0

+

(-arctgwT1

)

+

(-arctgwT2

)311

21

2

3j

[j

(w

)+j

(w

)+j

(w

)

]=

A

(w

)

A

(w

)

A

(w

)

elim

G(

jw

)

=

K—

0w

fi

0w

fi

0lim

G(

jw

)

=

0—

-180曲线与坐标轴的交点可由G（jω）=0分别求得曲线与实轴或虚轴的交点:（也可能不存在交点，而有渐近线的情形，如本例和P201例5的情况）再令

Im[G（jω）]=0，即（T1+

T2）ω=0

有

ω=0此时

Re[G（jω）]=

K

………………与实轴的交点（起点）22

212

2+1)(

+1)K(w

T

w

T=

K

(1

-

jwT1

)(1-

jwT2

)(

jwT1

+1)(

jwT2

+1)G(

jw

)

=2

21

22

2=

1

2

1

2

w

T

+1)(w

T

+1)(K

[1

-TT

w

2

-

jw

(T

+

T

)]1

2令

Re[G（jω）]=0，即

1－T T

ω2=0

→1

21TTw

=K

TTT

+T1

2此时

Im[G(

jw

)]

=

-

1

2

故

0型系统开环幅相曲线为：ω=∞K（ω=0）0j………………与虚轴的交点结论：对0型系统，当ω=0时，有︱G（j0）︱=K（开环增益）且总有

lim G（jω）=

K∠0°ω→0即:0型系统开环幅相曲线的起点在实轴正向的K

处。若开环传递函数中除有比例环节K以外，还有n个惯性环节，则有：lim G（jω）=

0∠（－90°）×nω→∞若还有m个微分环节，则有：lim G（jω）=

0∠（－90°）×（n－m）ω→∞但此时的幅相曲线有凹凸情形发生。若还有l个积分环节，则有：lim G（jω）=

A(ω)∠（－90°）×（n+l）ω→∞……各种情形，依此类推。（规律及特点：P201-202、198）Ks(T1

s

+1)(T2

s

+1)补充题1：设某I

型系统开环传递函数为G(s)H

(s)=（K、T1

、T2>0），试绘制系统的开环幅相曲线。（P198

例题2）212T

s

+1)T

s

+1s

(

)(K补充题2：设某II

型系统开环传递函数为G(s)H

(s)=（K、T1

、T2>0），试绘制系统的开环幅相曲线。课后练习题Ks(T1s

+1)(T2

s

+1)(T3s

+1)补充题3：设某系统开环传递函数为G(s)H

(s)=（K、T1

、T2、T3

>0），试绘制系统的开环幅相曲线。另外，参看教材P

200~201：例题5-3、5-4、5-5等。2、开环幅相特性曲线的绘制方法直接绘制法计算出ω∈[0,∞)所对应的A(ω)和φ（ω）的值，并绘制于[s]平面上即得到系统的开环幅相曲线。（如上例）复数法计算出ω∈[0,∞)所对应的Re[G(jω)]和Im[G(jω)]的值，并绘制于[s]平面上即得到系统的开环幅相曲线。零极点图法:开环零极点→[s]→分别计算ω对应的零极点矢量长度和角度→幅相曲线。计算机方法3、其它各类型系统开环幅相特性曲线根据零型系统的分析方法，可以得到其它类型系统开环幅相特性曲线大致如右图所示：III型II型I型0型0j各类型系统的幅相曲线Ks(T1

s

+1)(T2

s

+1)4、系统开环对数频率特性例题2：设系统的开环传递函数G(s)H

(s)=（T1

＞T2

＞0，K

＞0），试绘制系统开环对数频率特性曲线。Kjw

(

jwT1

+1)(

jwT2

+1)解：因为系统的开环频率特性为：G(jw

)=Kjw

(

jwT1

+1)(

jwT2

+1)1）对数幅频特性L(w

)

=

20

lg

G(

jw

)

=

20

lg2221wT

)

+1=

20

lg

K

-

20

lgw

-

20

lg

(wT

)

+1

-

20

lg

(=

L1

(w

)

+

L2

(w

)

+

L3

(w

)

+

L4

(w

)L

(w

)

=

-20lgw221wT

)

+1214wT

)

+1L

(w

)

=

-20

lg

(因此

L1

(w

)

=

20

lg

KL3

(w

)

=

-20

lg

(据此，分别绘制各典型环节的对数幅频特性曲线如下：L1(ω)=

20lgKL2(ω)=

-20lgωL3(ω)=

-20lg√ω2T12+1L4(ω)=

-20lg√ω2T22+1L4(ω)L3(ω)L2(ω)L1(ω)1 1/

T11/

T2L(ω)40200-20-40ωL

(ω)然后，对各典型环节的对数幅频特性曲线进行叠加，得到系统的对数幅频特性曲线。2）对数相频特性j(w

)

=

—

G(

jw

)

=

j1(w

)

+j

2(w

)

+j

3(w

)

+j

4(w

)1

2arctgwT

)

+

(-arctgwT

)90

)

+

(-=

0

+

(-即

φ1（ω）=

0°；φ3（ω）=

－arctgωT1；φ2（ω）=

－90°φ4（ω）=

－arctgωT2同样地，可分别绘制φ1（ω）、φ2（ω）、φ3（ω）以及φ4（ω），然后对其进行叠加，即可得到系统的对数相频特性曲线如下：在对数坐标系中，分别绘制系统对数幅频特性及相频特性曲线，则可得到系统的对数频率特性曲线（Bode图）如下。φ（ω）ω900-90-180-2701

1/T11/T2结论:上述方法可以推广应用至n个典型环节的情形.即n个典型环节的对数频率特性都可以采用叠加法或解析法直接计算绘制。L4(ω)L3(ω)L2(ω)L1(ω)L

(ω)1 1/

T11/

T2L(ω)40200-20-40ωφ（ω）ω900-90-180-2701

1/T11/T25、Bode图的绘制步骤（G（s）→曲线）确定各环节的交接频率：ω1、ω2、…、ωn，并表示在ω轴上；其中（Ts+1）及1/（Ts+1）的交接频率为1/T；振荡环节及二阶微分环节的交接频率为ωn在ω=1处量出幅值为20lgK（A点）。其中K为开环放大系数。绘制低频段对数渐近线。过A点，作一条斜率为－20·ν（dB/dec）的直线，直到第一个交接频率ω1处（B点）。其中ν为G（s）中积分环节的个数。若ω＜1，则低频段对数渐近线止于ω1处（B点），但其延长线经过A点。从低频段渐近线开始，沿ω轴的正方向，每遇到一个交接频率时，渐近线的斜率就要改变一次。并依次由低频段→高频段画出各个频段

的渐近线，即得到系统的开环对数频率特性曲线（Bode图）。s(s

+1)(s

+

20)G(s)=

100(s

+

2)

例题3：教材

P203

例题6例题4：已知单位反馈系统的开环传递函数为试绘制系统开环对数幅频特性曲线。解（1）将G(s)化为尾1型形式s(s

+1)(0.05s

+1)G(s)=

10(0.5s

+1)

依次列出各典型环节的交接频率，分别为ω1=1、ω2=2、ω3=20画出低频段直线（最左端）。k

=

L(w

2

)

-

L(w1

)lgw

2

-

lgw1斜率的改变规律：遇到惯性环节的交接频率时，斜率增加-20

dB/dec；遇到一阶微分环节的交接频率时，斜率增加＋20

dB/dec；遇到振荡环节的交接频率时，斜率增加-40

dB/dec；遇到二阶微分环节的交接频率时，斜率增加＋40

dB/dec；特别提示：对数幅频特性每段直线的斜率满足（P198

（5-47）式）：(dB)1

210

20100

ω40200-20[-20][-20][-40][-40]最左端直线的斜率：-20dB/dec直线位置:ω=1时，20lgK=20dB（4）由底频及高频,依次画出各频段直线。但要注意：每经过一个交接频率时，斜率作相应改变。完成各个环节的对数幅频特性的绘制以后，则可得到系统的对数幅频特性渐近曲线。6、最小相角系统与非最小相角系统特点定义：开环稳定的系统称之为“最小相角系统”；否则为“非最小相角系统”。特点：①、在具有相同的开环幅频特性的系统中，最小相位系统的相角变化范围最小；②、最小相位系统L（ω）曲线变化趋势与φ（ω）一致；④、当ω→∞时，最小相角系统的φ（∞）=-90°×（n-m），其中：n为开环极点数，m为开环零点数。③、最小相位系统L（ω）曲线与φ（ω）具有一一对应关系，

因此，有时分析最小相位系统时只分析L（ω）即可，并可以根据

L（ω）确定相应的开环传递函数。因此，只包含七个典型环节（不包括延迟环节）的系统一定是最小相角系统；含有不稳定环节或延迟环节的系统，则属非最小相角系统。7、延迟环节与延迟系统（P204）含有延迟环节系统称为延迟系统。由于延迟环节输出具有在恒定延时后能够不失真地复现输入信号的变化的特点，因此，延迟系统在时域中表现出的是时间滞后性；在复域中则体现在对系统开环频率特性的影响上（相位滞后性）。例题5：单位反馈系统的开环传递函数为试绘制系统开环对数频率特性曲线。s(s2

+

s

+1)(s2

+

4s

+

25)G(s)=

8(s

+

0.1)

（2）依次列出各环节的交接频率，分别为ω1=0.1、ω2=1、ω3=5（3）画出低频段直线（最左端）25252+

s

+1)s

4s(s2

+

s

+1)(G(s)=

0.032(10s

+1)

最左端直线的斜率：-20dB/decω=1时，20lgK=-29.9dB（4）由底频及高频,依次画出各频段直线。但要注意：每经过一个交接频率时，斜率作相应改变。(dB)ω-8015

100-20-29.9-40完成各个环节的对数幅频特性的绘制以后，则可得到系统的对数幅频特性渐近曲线。0.01

0.1[-20][0][-40][-80]解（1）将G(s)化为尾1型形式(K=

0.032)例题6．已知系统开环传递函数为250s(s

+

5)(s

+15)G(s)H

(s)

=故，当ω=1时，20

log

K

=

20

log

3.33

=

10.5试在对数坐标上绘制系统的开环对数幅频特性曲线。解：开环由比例环节、积分环节及两个惯性环节组成。对应与两个惯性环节时的转角频率分别为：w1

=

5,

w

2

=

15由于系统为I型，故对数幅频特性曲线最左端直线的斜率为－20

dB/dec；在ω1~ω2之间直线的斜率为 －40

dB/dec；在ω2之后直线的斜率为 －60

dB/dec；因为系统的开环增益

K=3.33当ω=15时，25025020

log=

0.4615 152

+

52=

20

logw

w

2

+

52－20dB/dec515－60dB/decω010.5－40dB/dec1绘制对数幅频特性曲线如下图所示L(ω)/dB§5.4传递函数的实验确定方法正弦信号G(S)变换器变换器记录仪图1

频率特性实验原理1.

最小相角系统(不含有延迟环节)传递函数的确定1)

实验原理通过改变正弦输入信号sinωt的频率ω，测出系统的Bode图。2)

传递函数的确定①、根据实际测得的Bode图，确定对数幅频特性渐近曲线。进而可以确定最小相位情况下的开环传递函数。②、根据实际测得的Bode图中的对数相频特性曲线，判定系统是否含有延迟环节，并确定延迟环节的参数τ及其传递函数。3)

实例分析例题1:设某最小相角系统的对数幅频特性曲线如下图所示,试确定系统的传递函数。(dB)402000.2

2

20

200

ω-20解：（1）低频段斜率为-20dB/dec，应有环节

1/s

；（2）在ω1=2和ω2=20处，斜率分别由-20变为0，由0变为-20，说明系统含有环节K，s+2，故系统开环传递函数具有的形式为20s(

s

+1)sK

(

+1)G(s)H

(s)=

2

1s

+

2（3）在ω=2处的分贝值为20dB，显然：此处的分贝值是由K与1/s共同决定的，即:20lg（K/ω）=20当ω=2时，计算出K=20[-60][-40][-20](dB)40

200-12-20ω1ω2ω5应有环节

1/s

；(2)

有两个交接频率：ω1，ω2，且经过ω1，ω2处时斜率分别由-20变为-40，由-40变为-60，说明系统开环传递函数中除K以外还应有环节:20例题2:

设某最小相角系统的对数幅频特性曲线如下图所示,试确定系统的传递函数。解：(1)

低频段斜率为-20dB/dec，20(

+1)s(

s

+1)s因此，有:

G(s)H

(s)=

2

（和1

1+1）（

+1）w

2w1ss(4)

根据已知条件确定K

，ω1和ω2

：由于ω1处的分贝值为40dB，根据定义有因ω1处的分贝值是由K

/s

决定的，故有：20lg（K/ω1）=

40………………

(1)当ω=5时,分贝值为零,此时由K/s

和1/（s/ω1+1）共同决定的，故有：w1

w

2Ks(

s

+1)(

s

+1)(3)系统开环传递函数形式为：G(s)H

(s)=2

2

1

2

w

w

w

+1

+1w

wKL(w

)

=

20

lg2

1

5

5

+1wKL(5)

=

20

lg

=

0…………………

(2)同样,ω2处的分贝值为-12

dB，由K/s

和1/（s/ω1+1）共同决定，联立求解(1)--(5)得:故系统开环传递函数为2500.5

10K=50ω1=0.5ω2=1050=s(S

+

0.5)(s

+10)s(

s

+1)(

s

+1)G(s)

=lgK

=1.7lgω1=

-0.3lgω2=112212212w

www+1

»

lgw

>>

w时有lg121552ww+1

»

lgw1

<<5

时有lg212=

-12 2

+1ww

2wKL(w

)

=

20lg故有：…………………

(3)…………………

(4)…………………

(5)而补充习题：系统开环对数频率特性如下，试确定该系统的开环传递函数。参考答案2.含有延迟环节系统传递函数的确定例题3:已知测得某系统的实验频率特性响应曲线如下图所示,试确定系统的传递函数。（ξ=0.5）解：将实验幅频曲线分别用-20×n去逼近，如图所示，斜率分为-20，-40，-20，-40等四段，故可得各交接频率分别为1，2

和8。又:因相频曲线有迟后，所以,系统应包含下列各环节: 1/s，

1/（s+1），s/2+1，及1/[(s/82)+s/8+1],e-τs因此系统传递函数应具有以下形式:0-100-315

-47240200-201

2ωL(ω)φ(ω)ω8

10

20由于ω=1时，20lgK=20dB，故

K=10

;又因为

ω=10时，

φ

（10）=

-e315°,φ（10）=-200°;所以φe（10）-φ（10）=-115°而

φe（ω）－φ（ω）=

-57.3τω(°)故

-57.3τω=

-115°因此

τ≈

0.2验证：

ω=20时，φe（20）=-472°；φ（20）=-235°φe（20）－φ（20）=-237°=-57.3τω

得τ≈0.2因而τ≈0.2可确定为延迟环节的延迟时间参数。故有：

s

s

2s(s

+1)

8

+

8

+1G(s)=

2

K

(

s

+1)e-ts

s

s

2s(s

+1)

8

+

8

+110(

+1)e2sG(s)

=-0.2

s=s(s

+1)(s2

+

8s

+

64)320(s

+

2)e-0.2

s3.小结由已知实验曲线(或实验数据)确定系统开环传递函数的步骤:以斜率为0,±20,

±40,

±60等直线段去近似代替实验曲线;由近似曲线最左端的直线来确定系统的积分环节个数;根据ω=1时的分贝值大小等于20lgK来计算出K值;确定交接频率,并由交接频率及其相应的斜率改变情况,依次确定各环节;在1)—4)之基础上,确定不含延迟环节时系统传递函数;若相频曲线存在迟后现象,则还应绘制出系统不含延迟环节时的相频曲线;比较实验曲线与不含延迟环节时系统的相频曲线,根据相角的变化,计算出延迟环节的延迟时间参数τ

。补充练习:已知测得某控制系统的频率特性实验数据如下表所列,试根据测得的实验数据确定该系统的传递函数。ω(rad/s)0.10.20.4124102030L(ω)(db)342821135-5-20-31-34Φ(ω)(

°)-93-97-105-123-145-180-225-285-345例题4、最小相位系统对数幅频特性如图所示，求传递函数G(s)解：通过对已知对数幅频特性的分析可知开环传递函数形式为在内有或者采用斜率法（教材P198式5-（47））因此例题5、已知最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线如图所示，试确定系统的开环传递函数。（习题P238、5-12(b)）解：经过分析可得系统的开环传递函数为其中由图列写斜率方程即故系统的开环传递函数为例题6、某最小相角系统的开环对数幅频持性如图所示，写出系统开环传递函数。解 (1)由系统开环对数幅频特性曲线可知而当ω=10时的分贝值为0，所以得因此系统开环传递函数为系统的交接频率有ω1=0.1，

ω2=20根据第一段直线的斜率及其后各段直线斜率的变化，则有0.01100ω0例题7．已知某最小相位系统的对数幅频特性曲线如图所示。试根据图中已知条件，求出系统的开环传递函数G（s）H（s）。L(ω)/dB－20dB/dec－40dB/dec－60dB/dec解：据对数幅频特性可设传递函数为*1

1G

(s)H

(s)

=

K

*0.0111s

T1

s

+1

T2

s

+1=

100T

=10012T

= =

0.01*1

1s

100s

+1

0.01s

+1所以G

(s)H

(s)=K

*w

=

10020

log(K

/

w

)

=

0所以得：K=100100s(100s

+1)(0.01s

+1)G

(s)H

(s)

=时故例题8、单位负反馈最小相位系统的对数幅频特性如图所示，求系统开环传递函数。8解：

(1)

根据已知对数副频特性，有(2)

求K值因为当ω=10时的分贝值为20，即所以(3)

求ω3因为所以即或者由下列公式求ω33

-12

-8

=

-20lgw

-

lg

20（因为ω=20、ω=ω3时的分贝值分别为8和-12）因此系统开环传递函数为例题9：系统结构图及开环对数幅频特性如下，试确定该系统的各个参数K1、K2、T1、T2的取值。

2

T

s

+111

+

K2KsG(s)

=

K1解：先确定解题思路——通过比较由结构图和对数幅频特性分别求得的开环出传递函数，即可确定各参数。（1）先由结构图确定系统开环传递函数因为外（主）环是单位反馈，系统开环传递函数就是前向通道的传递函数：K

(T

s

+1)2

2s

(s

+1)(T2

s

+1)

+

K2

(T1

s

+1) s

+1

=

K1s

+1

T2

s

+1T

s

+12s T

s2

+

(T

K

+

T

+1)s

+

K

+12

1

2

2

2=

K1

K2+1

s

+1)K

+12+

T1

K2

+

T2s2K

+12T2T

s

+12K

+1

s

(2=

K1

K2………

(1)（2）再由频率特性确定系统开环传递函数110

200s

+1s

1

s

+1K

(

1

s

+1)20021

20001G(s)=

20

=

20

2s

+

s

+1sK

(

1

s

+1)所以K

值为10K=10020

lg

K

=

20因为

2000

2001

212s

+

s

+1sG(s)=

20

因此，由频率特性确定的系统开环传递函数为100(

1

s

+1)…………………

(2)通过比较(1)

、(2)

两式

1 2

=100K

+12K

K202T

=

11

2

=K

+1

20002TT

K

+T

+1

211

2

2

=K2

+1

200T1=0.0952T

=0.05K1=101K2=99K2

+1K2

+1T2

s

+1T2

s2

+

T1K2

+T2

+1

s

+1)K2

+1

s

(G(s)

=

K1K2200

20001

212s

+

s

+1s100(

1

s

+1)G(s)=

20

比较两式，得…………………

(2)…………………

(1)§5.4

频率稳定判据1.

频率稳定判据包括奈奎斯特（奈氏）判据：用于幅相曲线；对数频率稳定判据：

用于Bode图。2.

频率稳定判据的特点：、应用开环频率特性曲线可以判断闭环稳定性、便于研究系统参数和结构改变对系统稳定性的影响、很容易研究包含延迟环节系统的稳定性、奈氏判据还可以用于分析某些非线性系统的稳定性。3.

辅助函数F（s）的引入（证明略）根据奈氏判据的前提，特引入辅助函数F（s）=1＋G（s）H（s），该辅助函数F（s）的特点：F（S）的极点是G（s）H（s）的开环极点；

F（S）的零点是1＋G（s）H（s）=0的特征根。F（s）的零点与极点个数相同；（分子分母同阶）3）F（s）与G（s）H（s）之间相差一个常数1。即F（s）曲线可由G（s）H（s）曲线右移一个单位得到。引出奈氏判据的两种方法数学基础：复变函数幅角原理（映射定理）：如果[s]上封闭曲线Гs内有Z个F（s）的零点,P个F（s）的极点，那么，复变量s沿着Гs

顺时针旋转一圈时，在[F（s）]上的ГF曲线则绕其原点逆时针转过P-Z=R圈。其中：P-----F（s）在Гs内的极点数；

Z-----F（s）在Гs内的零点数；R-----ГF曲线绕其原点逆时针转过的圈数；R=0时，说明ГF不包含[F（s）]原点；OГsss-p1s-p3s-z1s-p2×0××[s]s-ziOR＜0时，表示ГF曲线绕其原点转过的圈数为顺时针方向。[证明]：设F（s）的零点、极点在[s]上的分布如图示，并有一条封闭曲线

Гs包含F（s）的第i个零点zi，在曲线Гs上选取一点s，当s沿着Гs顺时针旋转一圈时，总有:jГF∠F（s）[F（s）]△∠（s-pj）

=

0

（j=1，2，…，n）△∠（s-zj）

=0

（j=1，2，…，m，j≠i）当zi、pi

---为曲线Гs之内的零、极点时△∠（s-zi）

=

-2π△∠（s-pi）

=

-2π若有

Z个零点被曲线Гs包围，则有

∑△∠（s-zi）

=

Z·（-2π）

同理：若有P个极点被曲线Гs包围，则有∑△∠（s-pi）

=P·(-2π)又

因为:

∠F（s）=∑∠（s-zj）-

∑∠（s-pj）故有:

△∠F（s）=∑△∠（s-zj）-∑△∠（s-pj）所以，若有Z个零点、P个极点被曲线Гs包围，则有：△∠F（s）=

∑△∠（s-zj）-

∑△∠（s-pj）=

Z·（-2π）-

P·(-2π)=（P-Z）·2π=R·2π即有:R

=

P

-

Z当zj、pj

---为曲线Гs之外的零、极点时5.

奈氏判据：反馈系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点（-1，j

0）的圈数R等于G（s）H（s）在右半s平面上的开环极点数P，即:Z

=

P

–

R

=

0若P≠R，则Z≠0，那么，系统不稳定。而且，此时闭环正实部特征根的个数为Z个。其中，R——奈氏曲线绕（-1，j

0）逆时针（R＞0）转过的圈数；P——F（s）在右半s平面上的极点数；

Z——F（s）在右半s平面上的零点数；奈氏曲线---指ω∈（-∞，+∞）时，G（jω）的整个幅相曲线。例题1：已知下图各系统中开环都是稳定的（即P=0），试根据各图奈氏曲线分析系统稳定性。0-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）0-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）解：因开环都是稳定的，即P

=0,根据奈氏判据：图（a）:

奈氏曲线不包围（-1，j0）点，即R=0，故

Z=P-R=0，所以，系统稳定。图（b）:

奈氏曲线恰好穿过（-1，j0）点，系统处于临界稳定。图（c）:

奈氏曲线顺时针包围（-1，j

0）点两圈，即R

=

-2，故Z

=P-R

=2≠0，所以，系统不稳定。6.

根据幅相曲线判定系统稳定性若已知ω∈[0，+∞）时系统的开环幅相曲线和G（s）H（s）在右半s平面上的开环极点数P，根据该幅相曲线包围临界点（-1，j

0）的圈数N（逆时针为正）是否满足：Z

=

P

-

2

N来确定系统的稳定性。（R=2N）当Z=0

时，闭环系统稳定；当Z≠0

时，闭环系统不稳定，且闭环特征方程有Z个正实部根；例题2：教材

P210

图5-32如果G（s）H（s）含有v个积分环节，则应在原有的开环幅相曲线基础上从ω=0+开始，逆时针方向补足v/4个圆，以形成封闭曲线，再进行分析。例题3：下述各图所示系统开环都是稳定的，试根据其开环幅相曲线分析各系统的稳定性。av=1cv=2dv=3bv=1解：因为系统开环都是稳定的，即P=0根据各系统的所含积分环节的个数，故将其开环幅相曲线分别补足1/4，1/4，1/2，3/4个半圆，如图中兰色虚线部分所示。a，c，d

图开环幅相曲线均不包围（-1，j

0），故N=0，所以，

Z

=P-2N

=0即,它们对应的闭环系统是稳定的。b

图开环幅相曲线顺时针方向包围（-1，j

0）一圈，故N=-1，所以，

Z

=P-2N

=2≠0即对应的闭环系统是不稳定的。例题4：已知系统的开环传递函数为G(s)

=

K

(0.1s

+1)s(s

-1)由奈氏判据判断闭环系统稳定性。解：因为P

=1K

0.01w

2

+1A(w

)

=w

w

2

+1j

(w

)

=

-90

+

arctg

0.1w

+

(180

+

arctgw

)所以，开环幅相曲线的起点和终点分别为：且G（j0）=∞∠90°；

G（j∞）=0∠270°；与实轴的交点：当

w

=

10

时，有

Re（

w

）=

-0.1K与虚轴没有交点绘制开环幅相曲线如下图所示。因此，当K

>10时，曲线不包围临界点

(-1，j

0)，闭环不稳定;(因为P=1,N=0,Z=1)当K

<10时，曲线顺时针包围临界点

(-1,

j

0)

一圈，即：N=-1，由Z=P-2N=3可知,闭环不稳定;0j-0.1k7.对数频率稳定判据由于奈氏判据表明：若系统开环稳定（P=0），则ω在[0，+∞）变化时，开环幅相曲线不包围（-1，j0）点，即曲线绕（-1，j0）点的转角为零时，系统闭环稳定。幅相曲线不包围（-1，j0）点有两种情况：

1）相曲线不穿越实轴上（-∞，-1）区间；2）幅相曲线穿越实轴上（-∞，-1）区间，但正穿越次数N+与负穿越N－次数相等。即在∣G（jω）∣＞1（即20lg∣G（jω）∣＞0）内如：-1P=0-1P=0正负

∠G（jω）对-π线的正、负穿越次数相等。N+=

N－=1

即

N

=

N+－N－=0

，相当于没有穿越。正穿越：φ（ω）↑的方向，即（-∞，-1）区间由上向下方向；负穿越：φ（ω）↓的方向，即（-∞，-1）区间由下向上方向。第一种情况

第二种情况第一种情况：不穿越（-∞，-1），故闭环稳定。第二种情况：穿越（-∞，-1）两次，但正、负各一次，故闭环稳定。若开环不稳定（P≠0），则ω在（0，+∞）变化时，要满足：Z

=

P－2N

=

0系统才能稳定；否则闭环不稳定。注意：G（jω）曲线的起点或终点如果在实轴（-∞，-1）上的穿越则为半次穿越。对数频率稳定判据：P=0时：开环对数频率特性中，在20

lg∣G（jω）∣＞0的范围内，∠G（jω）对－π线的正穿越与负穿越次数相等，则系统稳定；P≠0时：在20

lg∣G（jω）∣＞0的范围内，∠G（jω）对－π线的正、负穿越次数之差等于P/2，则系统稳定；对应于下述两个幅相曲线的Bode图为：-πφdB+—-πφdB-1P=0第一种情况-1P=0正负

第二种情况情形一：P=0，在20

lg∣G（jω）∣＞0内不穿越，系统稳定；情形二：P=0，在20lg∣G（jω）∣＞0内穿越（-∞，-1）两次，但正、负各一次，故系统稳定注意：在20lg∣G（jω）∣＞0的范围内，G（jω）