2021-2022学年北京长辛店第一中学高三数学理月考试卷含解析

2021-2022学年北京长辛店第一中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|x＜0}，那么A∩?UB=（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜0} D．{x|x＜2}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意，由集合B以及补集的定义可得?UB={x|x≥0}，又由集合A，结合交集的定义计算可得A∩?UB，即可得答案．【解答】解：根据题意，全集U=R，B={x|x＜0}，则?UB={x|x≥0}，又由A={x|x＜2}，则A∩?UB={x|0≤x＜2}；故选：A．【点评】本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、补集的意义．2.圆心在直线上，经过原点，且在轴上截得弦长为2的圆的方程为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C略3.已知是的共轭复数，若（是虚数单位），则（

）A．

B．

C．

D．[来参考答案：D略4.要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移单位 B．向右平移单位C．向左平移单位 D．向右平移单位参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律得出结论．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象，故选C．5.已知函数的图象关于对称，则函数的图象的一条对称轴是

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A6.下列选项中，是的必要不充分条件的是（

）A.

B.?U?UC.

D.参考答案：A:是的充分不必要条件；B:是的充要条件；C:是的充分不必要条件；∴答案D7.若为第一象限角，且，则的值为（

）A． B． C． D．参考答案：B∵，为第一象限角∴∴故选B

8.已知集合A={－1,0,1}，，则A∩B=（

）A．{－1}

B．{0} C．{1}

D．{0,1}参考答案：D根据题意可知，根据交集中元素的特征，可以求得，故选D.

9.已知z=i（1+i），则在复平面内，复数z所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，则在复平面内，复数z所对应的点（﹣1，1）在第二象限，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方．若，则cosα的值为（）A．

B． C．

D．参考答案：A【分析】由题意可知：∠BAC等于直线AB的倾斜角α，根据抛物线的定义，分别求得丨AC丨及丨AB丨，即可求得cosα的值．【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l：x=﹣．如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足为M，N．在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角α，由，|AF|=m|BF|，丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨=（m+1）丨BF丨，根据抛物线的定义得：|AM|=丨AF丨=m|BF|，丨BN丨=丨BF丨，∴|AC|=丨AM丨﹣丨MC丨=m|BF|﹣丨BF丨=（m﹣1）丨BF丨，在直角三角形ABC中，cosα=cosα∠BAC===；故选A．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的性质，考查数形结合思想，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列的前项和为，，则数列的前50项和为______________

参考答案：4912.某单位有老年人人，中年人人，青年人人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法应分别从老年人、中年人、青年人中各抽取

_________人、

人、

人。参考答案：

解析：总人数为13.不等式组表示的平面区域内的整点（横坐标、纵坐标均为整数）坐标是

.参考答案：答案：

14.关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且x2﹣x1=15，则a=

．参考答案：考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax﹣8a2=0（a＞0）的实数根，利用根与系数的关系即可得出．解答： 解：∵关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax﹣8a2=0（a＞0）的实数根，∴△=4a2+32a2＞0．∴x1+x2=2a，x1x2=﹣8a2．∵x2﹣x1=15，∴152==4a2+32a2，又a＞0．解得a=．故答案为：．点评：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．15.记不等式所表示的平面区域为D，直线与D有公共点，则的取值范围是________参考答案：16.已知U={1，3，x3+3x2+2x}，A={1，|2x﹣1|}，若?UA={0}，则x的取值为

．参考答案：﹣1【考点】补集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算和关系进行求解即可．【解答】解：∵A={1，|2x﹣1|}，?UA={0}，∴|2x﹣1|=3且x3+3x2+2x=0，即x=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的推导，考查学生的推理能力．17.曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是___________.参考答案：答案：解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．19.（本题满分12分）如图,在三棱锥中,侧面与底面垂直,分别是的中点,,,.(1)若点在线段上,问:无论在的何处,是否都有?请证明你的结论;(2)求二面角的平面角的余弦．参考答案：（1）在△SAB中，

∵OE∥AS，∠ASC=90°∴OE⊥SC

∵平面SAC⊥平面ABC，∠BCA=90°

∴BC⊥平面ASC，OE?平面ASC

∴BC⊥OE∴OE⊥平面BSC

∵SF?平面BSC

∴OE⊥SF所以无论F在BC的何处，都有OE⊥SF

…（6分）

（2）由（1）BC⊥平面ASC∴BC⊥AS

又∵∠ASC=90°∴AS⊥SC

∴AS⊥平面BCS

∴AS⊥SB

∴∠BSC是二面角B-AS-C的平面角

在Rt△BCS中，，所以二面角B-AS-C的平面角的余弦值为………（12分）20.如图1，是全国最大的瓷碗造型建筑，座落于江西景德镇，整体造型概念来自“宋代影青斗笠碗”，造型庄重典雅，象征“万瓷之母”．小敏为了计算该建筑物横断面(瓷碗橫断面ABCD为等腰梯形)的高度，如图2，她站在与瓷碗底部AB位于同一水平面的点P处测得瓷碗顶部点D的仰角为45°，而后沿着一段坡度为0.44(坡面与水平线夹角的正切值)的小坡PQ步行到点Q(此过程中AD，AP，PQ始终处于同一平面)后测得点D的仰角减少了5°.已知坡面PQ的水平距离为20米，小敏身高忽略不计，试计算该瓷碗建筑物的高度．(参考数据：sin40°≈0.64，tan

40°≈0.84)参考答案：该瓷碗建筑物的高度约为50米．【分析】根据∠DPA=45°得到DH=PH，根据正切的定义求出PM，求出a；【详解】分别过点D，P向水平线作垂线，与过点Q水平线分别交于点N，M，DN与PA交于点H，如解图所示，则四边形PMNH是矩形.∴PM＝HN，PH＝MN.由题意可知∠DPA＝45°，∠DQN＝45°－5°＝40°.在Rt△DHP中，∵∠DPA＝45°，∴DH＝PH.设该瓷碗建筑物的高度DH为x，则PH＝DH＝MN＝x.在Rt△PQM中，∵tan∠PQM＝＝0.44，QM＝20，∴PM＝0.44QM＝0.44×20＝8.8，∴DN＝DH＋HN＝x＋8.8，QN＝QM＋MN＝x＋20.在Rt△DQN中，tan∠DQN＝，∴≈0.84，解得x≈50.答：该瓷碗建筑物的高度约为50米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，点是点关于轴的对称点，过点的直线交抛物线于两点。（1）试问在轴上是否存在不同于点的一点，使得与轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点的坐标，若不存在说明理由。（2）若的面积为，求向量的夹角；参考答案：（1）由题意知：抛物线方程为：且

-------1分设设直线代入得

--------2分假设存在满足题意，则

-----

------5分

存在T（1,0）----------------6分（2）（法一）

----------------7分设直线OA,OB的倾斜角分别为，--------9分设------11分

----------------------12分法二：

-----------------------7分---------9分-------11分

--------------------12分略22.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程并指出其形状；（2）设是曲线上的动点，求的取值范围．参考答案：（1）；（2）.试题解析：(1)由ρ2－4ρcos＋7＝0可得ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，化为直角坐标方程得x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝1，它表示以(2,2)为圆心，以1为半径的圆．(2)由题意可设x＝2＋cosθ，y＝2＋sinθ，则t＝(x＋1)(y＋1)＝(3＋cosθ)(3＋sinθ)＝9＋3(sinθ＋cosθ)＋sinθco