2021年天津宝坻区第八中学高二数学理测试题含解析

2021年天津宝坻区第八中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象如图所示，则的解析式可能是（

）A．

B.C．

D．参考答案：B略2.设M＝a＋(2＜a＜3)，N＝log0.5(x2＋)(x∈R)那么M、N的大小关系是()A．M＞N

B．M＝N

C．M＜N

D．不能确定参考答案：A3.已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）=f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）=x2，②f（x）=e﹣x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，其中有“巧值点”的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，依次分析四个函数，分别求函数的导数，根据条件f（x0）=f′（x0），确实是否有解即可．【解答】解：根据题意，依次分析所给的函数：①、若f（x）=x2；则f′（x）=2x，由x2=2x，得x=0或x=2，这个方程显然有解，故①符合要求；②、若f（x）=e﹣x；则f′（x）=﹣e﹣x，即e﹣x=﹣e﹣x，此方程无解，②不符合要求；③、f（x）=lnx，则f′（x）=，若lnx=，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；④、f（x）=tanx，则f′（x）=﹣，即sinxcosx=﹣1，变形可sin2x=﹣2，无解，④不符合要求；故选：B．4.复数1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为()A．2cos

B．－2cos

C．2sin D．－2sin参考答案：A略5.已知命题，；命题恒成立，则，那么()A．“p”是假命题

B．“q”是真命题C．“p∧q”为真命题

D．“p∨q”为真命题参考答案：D6.已知两圆和，那么这两个圆的位置关系是（

）A.相离 B.相交 C.外切 D.内切参考答案：C7.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象,若的一个对称中心是，则的一个可能取值是（

）[A．

B．

C．

D．参考答案：D8.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.某学校高一、高二、高三年级分别有720、720、800人，现从全校随机抽取56人参加防火防灾问卷调查．先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为001，002，…，800，则高三年级抽取的同学的编号不可能为（）A．001，041，…761 B．031，071，…791 C．027，067，…787 D．055，095，…795参考答案：D【考点】系统抽样方法．【分析】由系统抽样得到的数据特征应成等差数列，经计算答案中的数据795﹣055=740不是40的整数倍，即可得出结论．【解答】解：由系统抽样得到的数据特征应成等差数列，经计算答案中的数据795﹣055=740不是40的整数倍，因此这组数据不合系统抽样得到的，故选D．【点评】本题主要考查系统抽样方法．根据系统抽样的定义确定抽取间距，利用等差数列的通项公式进行求解是解决本题的关键．10.直线和圆的位置关系是（

）A．相离

B．相切 C．相交不过圆心 D．相交过圆心参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知成等差数列，成等比数列，则的值为

参考答案：90

12.已知真命题：过抛物线的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于另外两点M、N，则直线MN过定点.类比此命题，写出关于椭圆的一个真命题：

参考答案：13.若O（0，0，0），P（x，y，z），且，则表示的图形是

_

_．参考答案：以原点O为球心，以1为半径的球面；14.已知A（2，），B（5，），直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则直线l的斜率为

▲

.

参考答案：略15.曲线y=x3－2x2－4x+2在点（1，－3）处的切线方程是

。参考答案：略16.已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为．参考答案：6【考点】椭圆的简单性质．【分析】确定椭圆中a，b，c，由题意可知△PF1F2周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c，进而计算可得△PF1F2的周长．【解答】解：由题意知：椭圆+=1中a=2，b=，c=1∴△PF1F2周长=2a+2c=4+2=6．故答案为：6．【点评】本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，属于基础题．17.已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°． （Ⅰ）证明AB⊥A1C； （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 参考答案：【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C； （Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值． 【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B， 因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°， 所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB， 又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C， 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C； （Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直． 以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系， 可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0）， 则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，）， 设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即， 可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==， 又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值， 故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：． 【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题． 19.设是函数的一个极值点.（1）求a与b的关系式（用a表示b）（2）求的单调区间；(3)设，若存在，使得成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）；（2）①当时，单调递增区间为：；单调递减区间为：，；②当时，单调递增区间为：；单调递减区间为：，；（3）.试题分析：（1）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（2）第二问关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题.（3）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.试题解析：（1）∵∴由题意得：，即，∴且令得，∵是函数的一个极值点.∴，即故与的关系式（2）①当时，，由得单调递增区间为：；由得单调递减区间：，；②当时，，由得单调递增区间为：；由得单调递减区间为：，；（3）由（2）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减，，在上的值域为易知在上是增函数在上的值域为由于，又因为要存在，使得成立，所以必须且只须，解得：所以：的取值范围为考点：（1）利用导数求函数的最值；（2）利用导数研究函数的单调性.（3）函数的恒成立问题.20.已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）经过定点的两直线与椭圆分别交于、、、，且，求四边形的面积的最小值和最大值．

参考答案：（1）椭圆的焦点在y轴上，

椭圆方程为

4分（2）ⅰ.若与中一条斜率不存在，另一条斜率为，则

ⅱ.若与得斜率均存在，设

Ks5u

同理可得

由，得

由ⅰ.ⅱ.知，

21.某工厂要制造A种电子装置42台，B种电子装置55台，为了给每台装置配上一个外壳，需要从甲乙两种不同的钢板上截取．已知甲种钢板每张面积为2m2，可作A外壳3个B外壳5个；乙种钢板每张面积为3m，可作A外壳和B外壳各6个．用这两种钢板各多少张，才能使总的用料面积最小？参考答案：【考点】简单线性规划的应用．【专题】综合题；转化思想；演绎法；不等式．【分析】根据已知条件中解：设用甲种薄金属板x张，乙种薄金属板y张，则可做A种的外壳分别为3x+6y个，B种的外壳分别为5x+6y个，由题意得出约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．【解答】解：设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，总的用料面积为zm2由题意得：z=2x+3y且作出可行域如图：…（4分）解方程组，得A点坐标为（，），z=2x+3y=24非整数．调整，可得最优整数解是（5，5）和（8，3）），此时zmin=25．答：用甲种钢板5张，乙种钢板5张或用甲种钢板8张，乙种钢板3张才能使总的用料面积最少．…（10分）【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数Z与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中．22.已知M是由所有满足下述条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）﹣x=0有实数根；②设函数f（x）的导函数f′（x），且对f（x）定义域内任意的x，都有f′（x）＞1．（Ⅰ）判断函数f（x）=2x+sinx是否是集合M中的元素，并说明理由；（Ⅱ）若函数g（x）=lnx+ax是集合M中的元素，求实数a的取值范围．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到当cosx=﹣1时，f′（x）=1，不符合条件②，从而得出结论；（Ⅱ）先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，结合新定义从而求出a的范围．解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2+cosx，当cosx=﹣1时，f′（x）=1，不符合条件②，∴函数f（x）不是集合M中的元素；（Ⅱ）∵g（x）是集合M中的元素，∴g′（x）=+a＞1对于任意x＞0均成立，即a＞1﹣（x＞0）恒