湖南省长沙市大成桥乡联校2021年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省长沙市大成桥乡联校2021年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】函数的奇偶性，单调性B4B3C和是偶函数，在上单调递减，为奇函数，故选C.【思路点拨】根据函数的性质之奇偶和增减的定义可求.2.已知椭圆，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（

）A.

B.

C.

D．参考答案：C3.在等差数列中，若，则等于（

）

A.

96

B.

48

C.

24

D.12参考答案：B略4.函数是指数函数，则的值是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是（

）(A)．3

(B)．4

(C)．5

(D)．6参考答案：A略6.下列选项中，可以作为的必要不充分条件的是A.

B.C.

D.参考答案：D，，选项均等价于（其中选项，假设，则不会存在，使得成立，即，），等价于，而是的必要不充分条件.故选D

7.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象（）A.关于直线对称 B.关于直线对称C.关于点对称 D.关于点对称参考答案：D【分析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】解：∵函数f（x）＝asinx+cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝对称，∴f（0）＝f（），即，∴a＝，所以函数g（x）＝sinx+acosx＝sinx+cosx＝sin（x+），当x＝﹣时，g（x）＝-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，故A错误，当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝对称，故B错误，当x＝时，g（x）＝≠0，故C错误，当x＝时，g（x）＝0，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．8.若实数满足，则的最小值为

（

）A．

B．2

C．

D．8参考答案：D9.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d<0，则数列{Sn}有最大项；B．若数列{}有最大项，则d＞0；C．若数列{}是递增数列，则对任意n∈N*，均有＞0；D．若对任意n∈N*，均有＞0，则数列{}是递增数列；参考答案：C本题考查等差数列的通项、前n项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度．法一：特值验证排除．选项C显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{Sn}是递增数列，但是＞0不恒成立．法二：由于＝na1＋d＝n2＋n，根据二次函数的图象与性质知当d＜0时，数列{}有最大项，即选项A正确；同理选项B也是正确的；而若数列{}是递增数列，那么d＞0，但对任意的n∈N*，＞0不成立，即选项C错误；反之，选项D是正确的；故应选C.10.若函数在区间内为减函数,在区间为增函数,则实数a的取值范围是（

）A.

B.

C.

D..参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若满足约束条件则的最小值为

．参考答案：12.函数f（x）=x3﹣3x2+1的单调减区间为．参考答案：（0，2）略13.已知向量，向量在向量方向上的投影为，且，则

．参考答案：5设向量与间的夹角为.∵∴∵∴∵向量在向量方向上的投影为∴，即∴∴故答案为.

14.若函数f（x）=2sin（x+）（2<x<10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）·=_____________．参考答案：32略15.已知数列：具有性质P：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则；④若数列具有性质P，则.其中真命题的序号是.（填上所有正确命题的序号）参考答案：①③④略16.设当时，函数取得最大值，则．参考答案：解：；当时，函数取得最大值；，；．故答案为：．17.已知函数是奇函数，则

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19、在△中，角所对的边分别为，满足．（1）求角；（2）求的取值范围．参考答案：（Ⅰ），化简得， …4分所以，． …6分

（Ⅱ）． …8分因为，，所以．

10分故的取值范围是．

…12分19.如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，过N点的切线交CA的延长线于P。（1）求证：；（2）若圆O的半径为，OA=OM，求MN的长。参考答案：（1）证明：连结ON，∵ON=OB，∴∠ONB=∠OBN，

∵PN切圆O于N，∴∠ONP=90°。∴∠MNP=∠ONP－∠ONB=90°－∠ONB，∵半径OB垂直于直径AC，∴∠NMP=∠OMB=90°－∠OBN，∴∠MNP=∠NMP，∴PN=PM。因为PN与圆O切于点N，所以，因此。（2）∵OA=OM，OA=，∴OM=2。在Rt△OMB中，∠MOB=90°，∴，

，。

根据相交弦定理，得，∴。20.如图，在平面直坐标系中，已知椭圆，经过点，其中e为椭圆的离心率．且椭圆与直线有且只有一个交点。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不经过原点的直线与椭圆相交与A，B两点，第一象限内的点在椭圆上，直线平分线段，求：当的面积取得最大值时直线的方程。参考答案：解：（Ⅰ）∵椭圆经过点，∴又，∴，∴

∴椭圆的方程为又∵椭圆与直线有且只有一个交点∴方程即有相等实根∴

∴

∴椭圆的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆的方程为

故设不经过原点的直线的方程交椭圆于由得

∴

直线方程为且平分线段∴=解得∴又∵点到直线的距离∴设

由直线与椭圆相交于A，B两点可得求导可得，此时取得最大值此时直线的方程略21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=2，sinC=sinA．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若cosC=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知的式子，由条件求出c的值；（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程，化简后求出b的值，由平方关系求出sinC的值，代入三角形的面积公式求出答案．【解答】解：（Ⅰ）因为a=，，所以由正弦定理得c=a=4…（Ⅱ）因为c=4，，所以由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，则化简，b2﹣2b﹣8=0，解得b=4或b=﹣2（舍去），由得，