教育硕士学位论文-高中数学活动课程的认识与实践

中文摘要现代活动教育是为匡正传统学校教育忽视学生自我活动的弊端而发展起来的。活动教育将学生的活动与学生的发展紧密连接起来，认为活动是人存在与发展的基础，学生的发展不是外在强加的。它试图通过组织、引导学生自己主动、多样而全面地活动，以达到提升学生主体意识与能力，促进学生个性全面和谐发展的目的。现代活动教育的基本任务在于设计、组织起符合学生发展需要的各类活动，在学生主动参与的主体性活动中，达到教育教学的各项目标，进而实现学生的全面发展。因此，现代活动教育从本质上说是一种以活动促发展的教育，这与今天社会对人的要求是一致的。进入20世纪90年代，我国基础教育改革中的活动教育研究是沿着两条非常明晰的线索展开的：一是以学习内容的综合性、学习过程的自主性、学习方式的实践性与探索性，以及以“活动主题串联”为主要的课程编制方式等为基本特征的活动课程的研究与实践，是一种可归属为新的课程开发的研究；二是在学科教学领域内，以活动教育思想为指导，以活动教学法为主要教学方式等为基本特征的教学改革实践，是一种可归属学科教学范畴的活动教学改革研究。我国的新课程改革正处在关键时期，仅局限于数学课堂教学已不能满足高中数学教学的需要，如何搞好数学活动课教学，更好地为高中数学教学服务，是摆在数学理论工作者和实践工作者面前的一道难题。找准数学学科课程与活动课程的最佳综合点（我们称为数学活动课程），拓展和规范高中数学活动课程的内容是我国基础教育课程改革的发展趋势。本文结构可分成三大部分，第一部分是对高中数学活动课程的认识，第二部分是通过查阅文献及教学实践，构建出实施高中数学活动课程的理论框架及几种典型的课例，第三部分是对高中数学活动课程如何进行管理及评价作了一些理论及实践上的探讨，以期能为我国的数学课程改革尽点微薄之力。关键词：活动课程活动教学典型课例管理及评价ABSTRACTModernactivity-centerededucationisdevelopedofcorrectingabusescausedbytraditionalschooleducationwhichneglectingstudent’sactivities.Itisthisactivity-centerededucationthatlinksstudents’activityandtheirdevelopmenttogether,holdingthatactivityisthefoundationforpeople’sexistenceanddevelopment,believingthatstudents’developmentisnotsomethingimposing,butsomethingimmanent.Itattemptstoorganize,guidestudenttoactivateactively,diverselyandcomprehensively,thusaccomplishthepurposeofenhancingstudents’individualnessandability,promotingstudents’charactertodevelopcomprehensivelyandharmoniously.Thebasictaskofmodernactivity-centerededucationistodesign,organizevariousactivities,whichcorrespondwithstudents’actualdevelopmentneeds,inwhichstudentscanparticipateactively,thusachievethevariousaimssetbyeducationandlearning,thereby,activity-centerededucation,bynature,isakindofeducationwhichdevelopsthroughactivities,whichisinaccordancewiththedemandsocietyasksfortheindividual.Theactivity-centerededucationinourcountry’sbasiceducationreformdevelopsaroundtwoclearclues:First,Theresearchandpracticebasedonthecomprehensivenessoflearningmaterials,theautonomyinlearningprocess,thepracticalnessandexploratoinessinthelearningmethondandthe“activity-linkage”centeredcurriculumpresentationform,whichbelongstoanewcurriculumresearch,Second.Theteachingandreformpracticeinthefieldofsubjectteachingwhichwereguidedbyactivity-centeredteachingmethod,whichcanbeattributedtoakindofacitivity-centeredteachingreformresearchinthefieldofsubjectteaching.Ourcurriculumreformhasarrivedatitscriticalperiod,classroom-orientedmathsteachingcannotmeet\theseniorhigh-school’smathsteachingmeeds,sohowtomakemathsactivity-centerededucationtheorybetterhelpsourseniorhighschool’smathsteachingisadifficultprobbemfacingthemathstheoreticiansandteachers.Findingthebondingpointbetweenmathscurriculaandtheactivity-centeredcurriculaandexpandingandstandardisingseniorhighschool’smathsactivity-centeredcurriculaarethetrendsoftheourbasiceducation.Thispaperconsistsofthreeparts.First,understandingaboutthescniorhighschool’smathsacitivity-centeredcurriculum.Secondly,throughploughingdocumentsandteachingpractice,constructingthetheoryoutlinedandsevirsltypicalclassexamplesaboutimplementingseniorhighschoolmathsactivitycurriculum.Thefinalpartprobesintothemathsactivity-centeredcurriculum’smanagementandevaluationtheoreticallyandpracticallyandtheauthorhopestogivehishelptoourcountry’scurriculumreform.Keyword:Theactivity-centeredcurricula,Theactivity-centeredteaching,Thetypicalclassexamples,Managementandevaluation.目录前言……………1高中数学活动课程的认识………………4数学活动课程概述…………………4数学活动课程的本质特征…………7数学活动课程与数学学科课程的关系……………9数学活动课与数学课外活动的关系………………11高中数学活动课程的心理依据……………………12《普通高中数学课程标准》（以下简称《高中标准》和数学活动课程……14高中数学活动课程的设计与实施……16高中数学活动课程的设计思路……………………16数学活动课程内容选择……………19高中数学活动课程的教学原则……………………21高中数学活动课程的几种主要课型及案例分析………………23数学建模……………23数学实验……………29数学探究课…………32研究性学习…………37数学阅读课…………41数学创伤……………44高中数学活动课程的管理………………48高中数学活动课程的管理…………48高中数学活动课程的评价…………50参考文献……………………54高中数学活动课程的认识与实践前言一、问题的提出众所周知，课程的改革历来是教育改革的一个核心问题，同时也是最为复杂的一个系统工程。科学技术的迅猛发展，特别是计算机技术的飞速发展，冲击着原来的数学课程及教学模式，数学教育目的、教学内容和教学手段等都出现了新的变化。20世纪中叶后，数学本身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学的应用范围得到了空前的拓展。数学已经渗透到人类生活的方方面面，并成为公民必需的基本文化素养，这一切构成了当前国际数学课程改革的基础。现在，世界各国纷纷对数学课程进行了改革。我国的数学课程，尤其是中小学数学课程的改革已进入了一个非常关键的时期。其中关于学科课程之外的课程领域也有了新的规定，但其内容主要限于四大指定领域（研究性学习，社区服务与社会实践，劳动与技术教育，信息技术教育）介于数学学科课程与综合实践活动课程指定领域之间的活动并没有明确说明。理论和实践研究较少，这方面的论著更为鲜见。找准数学学科课程与活动课程的最佳综合点（本文称之为数学活动课程）是我国基础教育课程改革的发展趋势。本文以高中数学内容为基础，从数学活动课程提出的背景，数学活动课程的本质及特征，数学活动课程的理论基础，数学活动课程的价值、数学活动课程的内容设计、教学组织形式、数学活动课程的管理与评价等几个方面作一些理论和实践上的探讨，以期能为我国的数学课程改革尽点微薄之力。二、研究数学活动课程意义1、数学活动课程以获得直接经验、培养数学综合能力，发展个性为主要目标，重在培养学生的主体意识、合作意识及数学学习能力、动手能力、交往能力、创造能力等，发展学生的个性特长。这一规定体现了数学活动课程独特的育人功能，它比数学学科课程更容易确立学生主体地位，发挥学生的个体性。这在学生知识领域的拓展、数学能力的培养,、广泛兴趣的培养、丰富情感的陶冶等方面有巨大的教育价值。2、从我国长期以来课程设置传统来看，数学活动课的开设是十分必要的。长期以来，我国的课程设置和结构，一贯以单一的学科课程为主，并且基本是为升学和应试服务的。近年来，随着基础教育改革的不断深入，人们对单一的学科课程所暴露出来的弊端的认识日趋深化：①难以满足同龄学生身心发展的不同需求，不利于学生个性的充分发展；②只能提供学生极少的实际活动机会，难使学生获得必需的实践经验；③只能传递事先编好的具有现成结论与答案的各科教材，很难提供给学生学科以外的信息；④要求学生主要采取接受式的学习方式,难以充分发挥学习的自主性和创造性.随着教育改革的发展和深入，要求我们必须打破僵化的单一课程模式，突出课程模式的个性化和多样化性，以适应不同地区的经济科学技术和文化的民展和学学生的个性的形成，这不仅要求各级各类学校课程应有所不同，而且要求即使同级同类学校的课程也应该有多种选择。3、强化和确立多元活动方式观，为教与学的方式的变革奠定基础。在新一轮基础教育课程改革的过程中，我们可以通过对数学活动课程的研究和实施，将数活动学课程中所倡导的许多活动方式，同样运用于数学学科课程的教学之中。以改变数学学科课程教与学中过于强调接受学习，死记硬背、机械训练的现状，引导学生主动参与，乐于探究；勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力。获取新知识的能力。分析和解决问题的能力。以及交流和合作的能力。改变原有单纯传授式教学方式和接受式学习方式；建立充分调动和发挥学生主体性的教与学的方式是本课题研究的目标之一。4、大力加强数学活动课程的教学，也是符合历史发展趋势的。教育是未来的事业，要为未来培养人才，为学生的将来负责。在未来的信息社会和知识经济时代，随着知识总量的迅速增长和知识更新速度的加快，单靠青少年阶段在学校里学习的数学知识将难于应付一生，人必须学会不断地通过学习更新自己的知识，可见提高学生学习知识的能力比学习知识本身更重要；未来的知识经济社会还要求人们具有更强的知识综合能力，创造能力、而在培养这些能力方面，以知识灌输为中心的传统教学模式越来越难以适应，而数学活动课程无论从其课程目标还是其教学内容和方式上讲，将会越来越占有优势。素质教育是我国迎接21世纪综合国力竞争的必然要求也是基础教育改革的即定方向。然而，在许多中小学，素质教育中喊得惊天动地，“应试教育”却抓得扎扎实实，学生在活动课中朝气蓬勃，到学科课程上却死气沉沉。基础教育如何真正实现从“应试教育”向素质教育转轨？这是许多人都在思考的问题。我认为素质教育不能只有一名口号性要求，必须找到切实有效的载体。在现实的教育环境下，只有把它落到学科课程，落实到教材改革，落实到课堂教学，落实到学业评价中去和能得到真正实施。最近颁布的《基础教育课程改革纲要（试行）》就选准了这一切入点，拉开了新一轮课程改革的帷幕。课程融合是其最显著的特征，具体表现在：一是学科课程融合，它将一些原来的单科性课程整合为综合性课程。二是活动类课程融合，它将以前的活动类课程整合为综合实践活动，从小学到高中作为必须课开设，这种融合无疑与世界课程改革的大趋势是吻合的。但是，我认为仅仅抓住课程内的融合是不够的，也是不彻底的。学科课程往往重书本轻实践，重教法轻法学，重课堂轻外堂；而活动课程又存在知识传授难系统，活动条件难保证，教师素质难适应，组织管理难严谨，教材编写难规范，教学质量难测量的弊端，两大课程只有扬长避短，优势互补，才能将课程改革推向深入。因此，构建学科活动课程，对促进两类课程的融合渗透、资源共享和功能互补，对促进学生综合素质的全面提高具有重大的现实意义，它必将成为新一轮课程改革的最终发展趋势。三、研究方法本课题采用了文献整理法和实验法。以实验的方法对现行的各项数学活动课程中积累的资料进行研究，去伪存真，去粗取精，形成有关高考中数学活动课程的理论框架和操作体系。第一章高中数学活动课程的认识第一节数学活动课程概述一、定义数学活动课程，是指以学生的主体活动为教学的主要形式，以数学学科内容为教学的基本依据，以鼓励学生主动参与、主动实践、主动探究为基本特征，以实现学生多方面能力综合发展为核心，以促进学生整体素质全面提高为目的课程形态。数学活动课程是一种融合课程，它既可以以学科课程为基础融入大量活动，也可以以综合实践活动为依托融入学科内容。以教材为平台和依据，对教材内容进行补充、延伸、拓宽、重组，并注重教材与社会生活和学生经验的联系和融合。同时鼓励学生对教材的质疑和超越。学生学习的空间不再只局限于教材，而是拓宽到生活和社会的各个领域，让学生到大自然去，到社会实践中去学习。二、课程目标数学活动课程应该有自己明确的目标。我们可以借鉴布卢姆目标分类方法研究数学活动课程的目标。根据数学活动课程的精神实质，数学活动课程不是将知识目标放在首位，而是比较强调情感（包括态度、意志、动机）和能力目标。（一）情意目标。数学活动课程注重4方面情意目标的发展。第一，关心。关心他人，关心社会，关心生态环境、关心地球、关心可持续发展。第二，参与。主动介入，积极承担责任。第三，合作。共同解决问题，共同进步。第四，发展。发展意识改变目前生活状况的意识，自我发展的意识，牺牲局部利益，顾全长远利益的意识，无论对民族、国家，还是对个体，都是十分重要的，发展意识在活动中容易形成。（二）能力目标当前学校数学课程建设所关注的种种能力取向都应该是数学活动课程能力目标所应该关注的对象，诸如，收集信息和利用信息的能力；清晰的思维能力、分析解决问题的能力以及对未来的预测能力；社会交际活动的能力；理解人类和社会的能力。我们应该尤其强调以下5方面能力。1、研究能力、创新能力。研究能力应从小培养。没有研究意识，缺乏研究能力，就不可能自觉地发现问题，探究变革措施，改变生存的处境。有研究能力，才会自觉地在研究的状态下从事学习和工作，不囿于惟一结论，不断创新。数学活动课程的实施常常需要学生围绕某一问题，广泛收集资料，分析资料，提出假设，验证假设，积极发表个人见解。在这种活动过程中，学生的研究能力和创新能力渐进增长。2、独立思考能力和解决问题的能力。很多活动围绕主题进行，其中问题的选择、资料的收集、假设的形成与验证等，均有助于思考和解决问题能力的养成。3、人际交往能力。数学活动课程强调灵活多样的活动方式，师生、生生、师生与其他社会成员之间交流机会比较多，交际能力易于养成。4、动手操作能力。操作是活动的构成要素，操作能力在操作活动中容易养成。5、管理能力。活动的完成，并非一人之功，凡两人以上都会涉及组织和管理问题，怎样协调工作关系、人际关系、人事关系，怎样调动每个人活动的积极性，需要一定的经验积累。活动机会愈多，活动水平愈高，活动内容愈丰富，此种经验愈丰富，管理能力终会得以形成和发展。（三）知识目标数学活动课程并非不注重知识目标，但它尤其强调知识的创新性和广博性。学科课程重在专门性知识，按一定逻辑顺序将知识分门别类，数学活动课程淡化知识分割，以活动为中心，将知识学习融于活动的过程之中。数学活动课程主张尽可能拓展学生的知识视野，尽可能综合学习并运用数学知识。数学课程所体现的知识一般是相对稳定的，经过实践检验过的真理性知识，学生不掌握这些知识，对学生来说是一大损失，但是这些知识中有的可以说是相当陈旧的。数学活动课程所呈现的知识常常是看似“不成熟”的新知，但未必是没有价值的，尤其是与学生学会生存、学会学习、学会和谐、学会沟通、学会合作、学会创造等相关的知识，往往具有强烈的时代意义。三、数学活动课程功能相对于单一的学科课程或活动课程，数学活动课程具有更显著的素质教育功能。更加有助于学生的数学文化素质的提升。数学课程对提高学生数学文化知识的作用勿庸置疑。数学活动课程不但能保持数学课程的固有优点，还能运用活动课程的长处有效地弥补不足，促进学习效率的提高。（1）教学形式活动化可以调节大脑，减轻疲劳，增强兴趣，提高学习效率。（2）数学活动课程能让学生从书外获得大量的直接经验和即时信息。（3）数学活动课程的实践性既可让学生在活动中验证和拓展数学知识，又可以更广泛地应用数学知识，使学生的数学知识更易理解和更加巩固。更加有助于学生综合能力的锻炼。（1）实践能力的锻炼。数学活动课程创设丰富多彩的校内外活动，为学生提供了大量动手机会，有利于解决知行脱节的问题，有利于实践能力的提高，有利于学生提高分析问题、处理问题和解决问题的能力。（2）思维能力的锻炼。数学活动课程为学生积极思维创设了丰富的问题情境，很多现实的问题情境更能激发学生的积极思维和大胆想象，复杂多变的问题情境有助于训练学生思维的广阔性、灵活性，有助于训练学生的创新精神和创造思维，也有助于分析、综合、比较、分类、抽象、具体化等心智操作的训练。（3）组织管理能力的锻炼。在数学活动课程中，活动的组织、管理甚至设计都可以由学生负责，学生有充分的参与活动、组织活动和管理活动的机会。（4）交际能力的锻炼。数学活动课程可以为学生的社会交往提供大量机会和丰富的环境。在活动中，学生不仅与老师、同学交流更多了，而且还有充分的机会与学校和社会上的人接触、相处。在活动中形成的兴趣、爱好的特点，对培养其现代公民素质，对他将来的择业、就业和人生也将大有好处。更加有助于学生非智力因素的培养。数学活动课程通过辩论、竞赛等活动培养学生的学习需要、学习理想，激发学生的内驱力，使之形成形成求知动机，培养学习兴趣；通过创设各种情境，陶冶和深化学生情感；通过不断克服困难，体验成功愉悦，磨砺意志和培养良好性格、健康心理。数学活动课程对现代教学理论和教学实践的突出贡献，就是将“活动”和“实践”大面积地引入教学领域，将教学过程建立在学生自主活动基础上，鲜明地提出”活动促教学、的主张，用活动教学的基本思想和基本原理，去丰富、改造和完善数学教学，并关注学生的精神生活和情感发展，拓展学生的活动时空，减少教学的强制性、统一性和封闭性，增强教学的自主性、开放性和实践性，实施以学习者为中心的教学策略，建立平等、民主的新型师生关系，建立以促进素质全面提高为目的的教学评价体系，建立能适应素质教育需要的课程载体，从而为沉闷的中小学数学教育打开改革的闸门，注入改革的清风。它不仅丰富和扩展了教学论的认识基础，更重要的是在实践中将引起从教学观念到教学操作的一系列变革，为数学教学素质化找到了突破口和落脚点。第二节数学活动课程的本质特征一、课程目标和内容的综合性在课程目标和编制原理上，数学课程是以传授分化的知识体系，即数学学科的系统知识为目标，它主要依据数学学科知识体系的内在逻辑关系设计内容，强调知识的系统性和连续性，关注本学科课程与其它学科课程之间的区别和界限。将学生的思维和认识活动纳入系统学科的轨道。而数学活动课程的目标则在于使学生获得主体意识、行为能力、情感态度的综合发展。因此，在编制原现上，数学活动课程不以单一的数学学科知识为中心，而是以学生的心理水平、学习兴趣、社会生活以及数学学科知识的拓展延伸为基础设计学习内容；强调知识之间联系、知识的综合运用以及能力的培养。二、学习过程的实践性在教学过程及活动的设计上，数学课程以课堂讲授型为主，所关注的更多地是教师如何才能使学生多快好省地掌握大量的数学知识，而数学活动课程则以体验性学习为主，所关注的是生如何在实践中学习和运用知识、发现和解决问题，强调理论与实际、知识与社会生活和生产实际之间的联系。体验性学习的依据在于儿童的亲身体验易于实现其认识的内化，有利于人的认知、情感、行为的统一和协调发展。学习活动的主要目的并非追求某种统一的答案，而在于培养学生知行合一的行为习惯和积极参与社会，勇于实践的态度。在数学活动课中，大部分时间用于学生的各种自主性活动，如数学建模、小组讨论及设计制作等。三、学生地位的主体性数学课程中教师占主导地位，而数学活动课中学生的主体性得到充分的尊重。学生的主体地位体现在他们不是被动地接受知识，而是主动地学习和运用知识，数学活动课注重学生的自我组织和互相启发，充分发挥学生自身的探索和创造精神。数学活动课中，学生可以参与从活动设计到评价的全过程，既是学习者也是活动的组织者；教师的作用主要是向学生提供必要的指导和建议，师生间指导与被指导的纵向的、单向的交流，为学生与学生之间的互相促进的多向交流关系所取代。四、开放性表现为学生可以广泛地选择活动内容，灵活地选择活动形式，充分满足个性全面发展的需要。五、创造性表现为学生在实际活动中充分地发挥主观能动性，积极地开动脑筋，进行大胆地创造和想象，求新、创新。六、趣味性青年学生有强烈的表现欲等特点，使学生在情趣盎然的活动课中感受到欢乐。七、差异性承认学生个体的差异，顾及学生个性特点，在活动中因材施教，因势利导，使每个学生都能在原有的基础上进步，逐步形成对某项活动稳定的兴趣。八、实效性在数学活动课管理中，既要反对对活动课的效果采取急功近利式的要求，又要反对对活动课追求表面上的热热闹闹，讲究实效，就是要在认真分析、研究、总结的基础上，增强数学活动课的实际教学效果。九、教学评价的过程性和全面性学科教学评价是以教师为主体，学生为客体的，其评价目标和内容主要是学科知识点，评价的标准是统一的，主要方式是教师实施的书面考试或测验，其性质是静态和终结性的。与之相比，在活动课中，学生既是评价的客体，也是评价的主体。活动课的评价应体现出过程性和全面性。所谓教学评价的过程性，即强调评价的主要着眼点应在学习过程而非结果上，也就是说评价的主要依据是看学生在整个学习活动中表现和态度的变化。所谓全面性，即评价应从个体认知、情感、能力等多方面着眼，而评价的标准是非统一的。评价多采用观察记录的方法，以学生自评、相互评价与教师评价相结合的方式进行，其性质是动态和形成性的。第三节，数学活动课程与数学学科课程的关系数学学科课程与活动课程同是学校的正式课程，两者之间是相辅相承的辩证统一关系。数学学科课程主要是让学生借助概念和推理来掌握前人留下的间接经验，学习过程中理性认识占优势；数学活动课程通过学生亲身参与各类实践活动，获得大量对自然和社会事物的感性认识。数学活动课程与数学学科课程相辅相承，才能给学生提供一个完整的认识过程。1、两类课程在内容上的互补性。这主要表现在两个方面：一是不同内容的知识的互补。众所周知，数学学科课程的知识内容是根据数学知识逻辑顺序和学生身心发展的顺序系统组织的，具有较强的稳定性，不宜随时推陈出新。数学活动课程则不同，具有开放性和灵活性。可以根据需要因时因地地迅速调整，纳入一些有价值的“即时信息”，这样，数学活动课程在较大程度上弥补了数学学科课程内容滞后的不足，保证了学生所学数学知识在时间上的完整性。一是不同形式知识的互补。数学学科课程的组织形式决定了其内容侧重于呈链状排列的分科系统知识，理论性知识，这些内容从知行结合的角度讲，更注重知的方面，对于操作技能的具体实践则相对不足。数学活动课程多是围绕一个个数学问题或数学活动主题来组织的，呈立体状的结构，侧重于综上所述合性知识、应用性知识。数学学科课程与数学活动课程中不同形式的知识内容相互补充，有机渗透透，才能形成完整的知识结构，使学生既可以系统的学“深”，又能联系实际学“活”。2、两类课程在功能上的整体优化性。数学学科课程只能给学生提供很少的实践机会，内容难以密切对联系社会生活，不易发挥学生学习的自主性、也不利于学生创造性和个性特长的培养。数学活动课程内容具有可以弥补数学学科课程不足的功能：（1）培养学生的主体意识和自我教育能力；（2）使学学生开阔视野、丰富经验，并培养创造才能；（3）培养学生的学习兴趣爱好，发展学生的特长：（4）加强数学课程的社会适应性。这是数学学科课程和数学活动课程在功能上的相互补，同时二者还相互促进。两类课程的这种整体优化的特点，使学校课程的整体功能远远大于两类课程各自的功能之和，从而收到最佳的教育效果。二、虽然它们都是“课程”且具有课程的一般属性，但数学学科课程与数学活动课程还是有着明显的不同，主要表现在：1、教学目标不同。数学学科课程侧重于学生基础知识的掌握和智力的发展，数学活动课程主要侧重于训练学生思维能力、解决实际问题的能力及创新意识与创造能力的培养、个性特长的发展等；学科教学目标比较明确，单一，任务要求比较具体、统一；活动课的教学目标相对比较灵活、广泛，教学要求强调因人而异，允许差异，并不要求人人达到同一目标。2、教学内容有别。数学学科知识系统、严谨、理论性、层次性、基础性都比较强，而且教材相对稳定；而数学活动课则强调实践性、自主性、创造性，活动内容可随形势的发展和学生兴趣而变化，因而不大受系统性限制，比学科课程具有更多的灵活性、综合性和超前性3、活动方法有别。数学学科教学由于受教材体系和每堂教学目标的约束，教师的讲授始终是学科教学的最基本的方法。而数学活动课的主要目的，是要让学生在活动中去自主地探求知识，发展创新能力。故数学活动课教学方法应以教师创设情境、激励学生自主活动，引导点拔、帮助学生总结提高为主。4、教学的组织形式有别。学科课程的教学的组织形式主要以班级上课，有固定的课时，以课堂为中心。而数学活动课的教学既可以班级教学，又可以是年级、校活动或小组教学。可以把几个课时合在一起，使时间相对集中便于活动开展。学生的主动活动往往多于教师。5、教师所处的地位有别。在数学活动课教学中，学生为主体体现得更为充分些，教师的主导作用是激励、引导、点拔和帮助学生总结提高。由于不受单一教学目标的限制，学生可以充分自主发展，使学生真正成为课堂的主人。根据上文分析，可以把数学课程与数学活动课程的关系概括为：两类课程是相辅相承的、辩证统一的关系，二者所占有的课时比例有多少之分，但在功能上无轻重之别。也就是说，两类课既相互独立，各有自已独特的育人功能，又有机结合，为共同培养目标服务，都是为了使学生的数学素质得到全面发展。第四节数学活动课与数学课外活动的关系数学活动课是“课”，它与数学课外活动既有联系，也有区别。数学活动课是由课外活动发展而成的。活动课程的部分来源于课外活动。但课外活动并不等同于是活动课程。它们是一种继承和发展的关系，因而在数学活动课程中不应是必修课内容的机械重复，而是课堂教学的延伸，是具有创造性的学习活动，因此教师应精选那些对学生数学能力的发展具有重要价值的活动，抛弃那些对学生没有系统教育作用的课外活动。数学活动课的组织和安排应具有系统性、长期性、广泛性。数学活动课程是由课外活动发展而成的。活动课程的部分内容来源于课外活动。但课外活动并不等同于是活动课程。它们是一种继承和发展的关系，因而在数学活动课程中不应是必修课内容的机械重复，而是课堂教学的延伸，是具有创造性的学习活动，因此教师应精选那些对学生数学能力的发展具有重要的价值的活动，抛弃那些对学生没有系统教育作用的课外活动。数学活动课程与课外活动的区别和联系，具体表现为四个方面。第一，数学活动课程与课外活动都是由学生学习数学的活动构成，但是数学活动课程是课程，它所涉及的活动是课程意义上的活动，而是课外活动则是数学课程以外的活动。第二，数学活动课程与课外活动都不安排，甚至有组织，但是数学活动课程的组织和安排是系统的，长时间的，数学课外渗透压以的组织和安排则是临时的，短时间的。第三，数学活动课程和课外活动都与数学学科课程有一定的关系，但是数学活动课程与数学学科课程既相辅相成，又保持相对的独立而自成体系；数学课外活动则是依附于学科课程而存在，最大限度上也只是数学学科课程的补充和延伸。第四，数学活动课程与数学课外活动都有一定的目标，数学活动课程的目标与总的课程目标保持一致，在于促进学生数学素质的提高，而数学课处活动在很大程度上只是满足学生的爱好和培养学生的特长以及帮助学生度过课余的闲暇时间。第五节高中数学活动课程的心理依据一、建构主义理论数学建构主义的学习观认为：第一，数学知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个学生根据自身已有的知识和经验主动地加以建构，数学学习的过程是双向性的。一方面，对新信息的理解是借助已有经验，超越所提供的新信息而建构的。另一方面，已有认知结构中提取的相关信息也要按具体情况进行建构，而不是单纯的提取。第三，学习者的建构是多元化的。由于事物存在复杂多样性，学习情感存在一定的特殊性，以及个人的先前经验存在独特性，每个学生对事物意义的建构将是不同的，学生已有的发展水平是学习的因素。第四，数学学习活动的一个主要特点是，学习活动主要是一个顺应的过程同时又是一种文化继承的行为，是“学习共同体”的共同行为。可见，数学建构主义认为，数学学习不是一个被动的吸收过程，而是一个已有知识和经验为基础的主动建构过程。由此得到结论：学习数学就是做数学，只有在做数学的过程中才可能理解数学、学会数学。因为任何数学知识的获得都必须经历"建构"这样一个由外向内的转化过程。学生的数学学习只有通过自身的操作活动和再现创造性的“做”，才可能是有效的学习。二、多元智能理论传统的智力理论认为，智力是以语言能力和数理逻辑能力为核心的、以整合的方式存在的一种能力。实际表现为解答问题、寻求特定问题的答案以及迅速有效的学习的能力，这种能力是否成功地解答问题的关键，能够比较准确地预测学生在学校里的表现。而霍华德·加德纳的多元智能理论中的智能概念不是指解答问题的能力，而是指解决问题和生产产品的能力。根据加德纳的多元智能理论，在教学中应该把学生置于一个动态的、开放的学习环境中，为学生提供多元的、综合的学习机会，让学生通过认识、体验、发现、探究、操作等多种学习和活动方式来开发自身的多元智能，并养成良好的个性品质。数学活动课学习是将促进每一个学生多元智能的发展作为主要目标，其所具有的开放性、实践性和探究性是在数学教学中培养学生多元智能的保证。同时，通过改造硬件，凭借书籍、教学软件或其他媒体等多种载体展示教学内容，促使学生用适合自己的方法学习，从而更好地运用并发展自己的各种智能。从这个意义上说，多元智能理论为数学活动课提供了理论支撑，而数学课题学习又是多元智能理论在实践中应用的一种很好的途径。三、认知迁移理论美国学者罗耶（J.M.Royer）提出的认知迁移理论，假设人类的记忆是一种高度结构的贮存系统，人类以一种系统方式贮存和提取信息。他又假设，知识结构的"丰富性"并不始终是一致的，即知识结构内"单元（如交节点、命题等）"之间交互联结的数量并不是始终一致的。其中的某些部分可能是与单元之间的大量交互联结的数量直接有关。因此，任何增加交互联结网络的“丰富性”的教育方法都会有助于增加迁移的可能性。注意把各自独立的教学内容整合起来，加强知识的横向联系，引导并鼓励学生把在某一门学科中学到的知识和技能运用到生活中去，必然有力地促进学生的学习迁移，特别是横向迁移。上述研究，无疑为我们设置和构建学科活动课程提供了坚实的心理学的基础。些研究揭示并证明了分化与泛化、部分与整体、发散与聚合、神经传导的特殊通路与非特殊通路、分化与整合等等，都是生理和心理结构与机制上的对立统一的存在，是人的生理、心理的发展与人的学习的发生发展的基础，也是分科课程活动课程活动课程与综合课程共存的基础。第六节《普通高中数学课程标准》（以下简称《高中标准》）和数学活动课程一、《高中标准》的一些基本理念倡导积极主动、勇于探索的学习方式。新的高中数学课程强调学生的数学活动不能只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的"再创造"过程。同时，高中数学课程设立口“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。高中数学课程标准力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。二、数学活动课程与《高中标准》。可以看出，《高中标准》对改善学生的学习方式同样给予了极大的重视。与义务阶段相比，随着年龄的增长和知识的增加，数学活动课程这种以活动为特征的方式在高中更容易被接受，而且探究的水平也有所提高，数学活动如何改变学生学习方式将在下章有所说明，这里不再赘述。《高中标准》中关注数学文化的理念也可以通过数学活动课程来实现，数学活动课程有着丰富的学习内容和形式，主题阅读是其中一个重要部分，学生可以通过网络利用计算机或者在图书馆阅读有关知识，了解蕴含在数学中的文化。数学活动课程的其他形式的学习过程中，也非常注重对数学文化的渗透。数学建模、数学探究和数学文化作为贯穿于整个高中数学课程的重要内容，目的是培养学生的数学应用能力和探究能力。数学建模和探究学习又是数学活动课程的一个重要的内容组成部分，前者侧重于从现实中的数学问题出发，每种课型所涉及问题都必须由学生自己分析、讨论，在实践中得出结论，后者侧重于课堂上数学知识的探索，这些无疑都表明数学活动课程也是在教学中实施《高中标准》的有效方式。第二章高中数学活动课程的设计与实施第一节高中数学活动课程的设计思路一、数学活动课程设置的基本原则国内已开展了不少数学活动试验，如数学竞赛、电脑学习、速算训练等等，还有综合的应用性问题的有关数学活动也在各地有所开展，它们不同程度地增强了学生的的数学应用知识。供学生选择参加（每个学生选学其中两门活动课），以使学生成为各具特色的“标准件”，让人人都有个性健康发展的天地。数学活动的课程门类和内容编排在整体上还要符合以下四点：1、具有系统的应用体系，即与一定的特长目标相关联，有助于学生增长才干并习得一技之长，进而使学生顺利走向社会生活或进一步学习发展，切不可为了活动而活动。2、紧扣数学课程标准。数学课程标准的内容编排本身蕴涵了学生认知发展的心理顺序，我们可以依照数学的知识单元（适当调整或拓），配以相关素材设计，安排数学活动，以充分利用学科课程的知识技能及其业已获得的成熟性，降低活动课师资培训的难度。可以明确，活动特长与学科内容的相关性越强，它们的整体功能会越大。3、合乎有效学习的基本原理。要有利于激发学生的学习兴趣，体现认识规律（显现认识的三个层次：是什么、为什么、怎么用）；展示探究过程（理性地再现知识生成过程，通过循序渐进的思维阶梯使知识、情感、意志相互结合，帮助学生形成自学能力）；实施活动方法（使经验、思维、方法融为一体，让学生获取终身受益的精神文化力量和实践能力）；内化教学功能（要易于反馈、迁移，实现知之-好之-乐之的转变，便于学生自学）。4、体现“五育”整合的功能。特长性数学活动遵循“外因通过内因而起作用”的哲学基本理论，其教学应该使数学教育培养的认识能力得以升华，不断发展学生的创造性实践能力，这是具有深层意义的智育；学生的主动活动，应是实现由道德认识向道德行为习惯转化的实践活动，也是学生理解规则、体验美感、领略自由的实践过程，成为德育和美育的现实途径；活动课无疑要有助于学生身心的和谐发展，它本身就是体力、意志力的锻炼与运用，有利于人脑两半球机能的平衡协调发展，从而促进学生智慧潜力的开发；活动实践中每一个物化的劳动成果，都将有力地完善着学生的个性和人格。二、数学活动课程设计思路性质与功能：陶冶情操、拓宽视野、增长才干、发展特长。总目标：使学生提高认识、学会实践、获取才干、习得特长。教学要求用语：对知识分为理解、掌握、应用（运用）三个层次；对技能分为会、熟练、善于（擅长）三个层次。活动方式：按学生选学的课程内容编班组织活动或作为兴趣小组组织活动；以游戏、故事、谜语、趣味数学、操作、制作、参观、实验、探索、应用实践或提供有关的阅读资料等为活动形式。课程安排：数学活动课按每两周一课时的教学容量进行设计安排。课程设置：根据学生发展，知识体系、社会需要等因素和数学活动的总目标，笔者认为高中阶段设置以下几类数学活动课程。1、数学建模：使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增强对数学的理解和应用的信心；使学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索，勇于创新的科学精神；使学生学会以数学建模为手段，激发学生学习数学的积极性，团结合作，建立良好的人际关系，相互合作的工作能力。以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来的，社会生活和进一步发展的必需的重要数学事实，（包括数学知识，数学活动经验），以及基本思想方法和必要的应用技能。2、数学实验：是指为了获得某些数学知识，形成或检验某个数学猜想，解决某些数学问题，学生运用有关工具（如纸张、智力、模型、测量工具、解图工具，以及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的一种以学生人人参与的实际操作为特点的数学验证或探索活动。培养学生的动手动脑、观察归纳、分析演算、猜想推证等基本数学能力。3、数学探究：高中数学探究活动，是在教师指导下，紧扣教学内容，以学生的自主性、探索性、学习为基础的一种研究性学习活动。探究性学习，使学生由被动消极学习转变为积极探索，主动学习，在解决问题的过程中，不断发现新问题，这对培养学生的科学研究和探索精神十分必要。更是培养学生的创新意识和创造能力的重要途径。4、数学阅读：数学阅读是指选择那些对于有效猜测，或指向问题解决必要的而且是最少的最有效的线索的技能。数学阅读的本质是要求学生主动获得知识，通过自己的努力去发现知识从而掌握知识。5、数学创作：数学创作包括数学小创作和数学小论文，在数学活动中，让学生通过自己手动脑制作一些数学模型，能使学生掌握一些基本工具的使用方法，并懂得一定的应用数学原理解应用题的方法，培养学生的动手能力，想能力和创造力。数学小论文是指高中生对数学中某个问题的探讨，发现或证明文章。它的篇幅一般较短，文章内容的科学价值一般，并不引人注目，甚至是前人已经发现或已经证明的东西，但它是中学生，自己开动脑筋想出来的。它的真正价值正是来源于此。即是问题解决模式，并注重数学思想方法的应用。要使学生理解数学尝试、解决实际课题的过程，初步掌握问题解决的策略和方法，培养学生善于运用数学创造性地解决问题的意识和能力。力求内化学科知识，反映"双基"结构，渗透思想方法，强化表达能力，促进学生联系事物，澄清思维和加深理解，培养学生善于表述、解释、讨论、评价的数学交流特长。数学交流课程，既要使学生认识到数学提供了人类交流信息的手段，又要切实提高学生对数学的听、说、读、写能力和认识、应用能力。一名数学教育工作者就应具有数学交流特长。6、数学研究性学习。广义地讲，研究性学习泛指学生主动探究的学习活动。这是一种学习的理念，策略、方法，适用于学生的所有学科的学习，狭义地讲，它作为一门独立的课程，研究性学习指在教学过程中，以问题为载体，创设一种似科学研究的情况和途径。让学生通过自己收集，分析和处理信息来实际感受和体验知识的生产过程，进而了解社会，学会学习。培养分析问题，解决问题的能力和创造能力。这种课程形态的核心是要改变学生的学习方式，强调一种主动探究的学习方式，是培养学生创新精神和实践能力，推行素质教育的一种新的尝试和实践，本文仅探讨源于课本的研究性课题在教学活动课中的实施形式。第二节数学活动课内容选择由于目前尚未出版发行与新课程计划配套使用的数学活动类课程教材，这就给广大教师有计划地正常开展数学活动课造成了一定的困难。因此合理选择、确定既适合青年学生的生理、心理特点，认识规律和和接收能力，又能科学地体现数学学科特点的数学活动课内容，便成为为数学活动课得以正常开展扫除障碍，提供基本素材和保证的刻不容缓的当务之急。根据国家教委制定的《高中数学课程标准》，我们认为选择高中数学活动课程内容应当遵循如下原则：一、长期性与阶段性相结合的原则首先应当认识到，数学活动课程的设置既有别于数学课外兴趣小组活动的开展，也不能等同于通常意义下的课外活动，又不能是数学课堂教学内容的简单重复，它有着自身鲜明的学科特点和课堂教学不可替代的教育功能。因此，高中数学活动课程计划的拟定和内容的选择有要三年一贯的长期规划，充分考虑活动内容和培养目标的协调性和延续性，应分门别类地合理构建系统的数学活动课程计划，选择适宜的教学内容。同时还要根据不同年级、不同教材内容甚至不同季节时令，拟定切实可行的阶段性课程计划，并据此确定每次活动的具体内容，使课程计划落到实处。只有这样，才能使整个高中阶段的数学活动课程计划、教学内容既自成体系，又便于在教学实际中具体操作运行，才能充分发挥数学活动课程这一系统自身整体的教育功能，收到良好的教育效果。二、思想性、科学性和趣味性相结合的原则数学学科具有高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性等特点，决定了“数学是锻炼思维的体操”这一特殊地位。而数学教育在全面提高人的思维素质、知识素质、思想意识素质和行为品质素质的教育过程中所发挥的巨大作用，数学教育有明显的德育教育功能这一观点，早已为广大教育工作者所共识。因此，在选择数学活动课内容时，既要精心选编能充分体现数学学科特点，有利于向学生渗透科学思维方法，培养学生良好的科学意识和思维习惯的教学内容，使数学活动课程真正成为课堂教学的补充、延伸和发展，同时，还要充分考虑数学教育的德育功能，兼顾学生的生理、心理特征，考虑青年学生的心理需求，注意所选内容的思想性和趣味性的有机渗透，使学生在数学活动课所营造的轻松和谐的氛围中，在富情趣的问题情境中，通过有计划、有意识的长期科学训练熏陶，在数学基本素质得到提高的同时，受到潜移默化的思想教育，使身心各方面都得到全面、协调、健康的发展。三、主观愿望与客观实际相结合的可行性原则可行性原则是在确定数学活动课内容时值得慎重对待的原则之一，否则，有悖于客观实际的良好主观愿望，可能导致事与愿违的不良后果。所谓可行性原则应当综合考虑如下几点：一是不要违背学生的认识规律，不要超越学生的知识水平。所选内容应尽可能与课堂教学同步；二要充分考虑学校的环境、设备、师资、时间等客观条件的限制，活动所需器材、场地等应尽可能符合学校实际，尽量做到因陋就简、因地制宜；三要考虑所选内容的可操作性，要便于教师组织开展教学活动时调动学生的各种感官的积极性，使学生能真正在活动课中“动”起来。根据个人的实践，下面列出本校高二年级数学活动课的内容安排表，仅供参考。高二数学活动课程安排表课题1陈苏数学学派（讲座）2柯西不等式（讨论）3柯西平均值定理的应用（小竞赛）4充要条件（对抗赛）5凸凹函数极其应用（读书讨论）6含绝对值不等式（一题多解）7欧拉公式与三角恒等式（读议练）8数学归纳法（读议练）9求动点轨迹方程应注意的问题（讨论）10平面解析几何的一题多解（竞赛）11数学怪论（分析抢答）121+1＝1.1*1=1,1=0(实验)13把圆压成椭圆(创作)第三节高中数学活动课程的教学原则根据以上对活动课程特点的认识，指导教学实践我们确定了以下三条主要的教学原则。一、全面发展与培养相结合的原则要求在教学过程中，充分发挥活动课程在教学内容上的综合性、教学形式上的实践性等特点，及其在促进学生全面素质提高上的优势，与学科课程形成整体，互相配合、互相补充，充分挖掘活动课程学生具有较大自主性的特点便于因材施都优势，的重视形成学生的特长，促进学生的个性发展。二、规定性与选择性相结合原则根据活动课程的实践性特点，数学活动课程的教学应引导学生从书本走向生活，从课堂走向社会，实行开放式的教学。根据活动课程的自主特点，教师应更多地在体现学生学习的自主性、独立性、创造性上下功夫。为达到这一目标，教师要多层次、多渠道、多形式地设计和组织活动，让学生根据自身的兴趣、爱好和特长，在活动的内容与方式上有较大的选择权。同时，我们也根据活动课程的特点，提倡开放式教学，允许并鼓励学生充分运用选择权。这并不意味着否定教师的作用，否定课堂教学的作用。还是要根据学校教育特点和校情对各年级的活动内容和形式作出必要的规定。特别是在当前活动课程教学的起始阶段，限于师资、教学场地、操作技术都比较薄弱的客观条件，强调一定的规定性还是非常必要的。因而，教师不应放松教学的规划和指导等环节，要在教学时间、内容、形式等方面对学生的选择权有一定的规定性，做到同步与异步教学相结合，使活动课程的组织与教学工作得以顺利进行，并保证活动课程教学目标的实现。三、认识活动与实践活动相结合的原则学生的所有活动可分为内部活动或外部活动两大类。内部活动主要是指主体的心理反映或映象的"无形活动"，外部活动主要指实物性的操作，感性的实践性的"有形活动"。同时，任何一种学习活动，都没有"纯"的内部活动和外部活动，它们是不可分割地联系在一起的。现代学习理论研究成果表明，内部的学习活动侧重于认识价值，而外部的学习活动则侧重于实践价值，并且两类活动是不可分割地联系在一起的，虽有侧重但必须作为一个整体加以考虑。为此，根据活动课程的教学目标和特点，要求在教学中充分发挥进行大量"有形"的实践活动优势，促使学生完成从认识到实践的第一次飞跃。同时，要运用认识活动与实践活动相互联系与影响的规律，通过实践性活动促使外部活动的内化，使学生经历从实践到认识的第二次飞跃过程。因此，在指导和组织学生的活动中，教师要积极引导学生手脑并用，学思结合，知行统一，以实现活动课程实践与认识的双重价值。第三章高中数学活动课程的几种主要课型及案例分析第一节基于数学建模的活动课程教学一、中学数学建模中学数学建模教育的主要目的在于：使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心；使学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，尽而形成勇于探索、勇于创新的科学精神；使学生学会以数学建模为手段，激发学习数学的积极性，团结合作，建立良好的人际关系、相互合作的工作能力；以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实（包括数学知识、数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技能。数学建模是寻求建立数学模型方法的过程。数学建模可以看成是问题解决的一部分，它的作用对象更侧重于非数学领域，但需用数学工具来解决的问题。如来自日常生活，经济、工程、理化、生、医等学科中的应用数学问题。这类问题则往往还是"原坯"形的问题，怎样将它抽象，转化成一个相应的数学问题这本身就是一个问题。作为问题解决的一种模式，它更突出地表现了对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程；数学工具、方法、模型的选择和分析过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程。数学建模对训练学生的数学科学研究方法，培养学生的数学应用意识、数学思维和数学品质具有重要的作用。数学建模更完整地表现了学数学和用数学的关系。一般地，数学建模的过程可用下面的框图表示（图3—1）简简化E：实际问题的解决B：现实的模型C：数学模型D：数学模型的解A：现实世界的问题咸情况是否符合实际？翻译回译检验数学方法计算机工具修改、深化、扩展二、数学建模的具体过程（一）依据数学建模的一般过程，可将建立数学模型的具体过程分为识模、析模、建模、解模和验模五个步骤。（二）数学建模教学的方式根据我校中数学建模教学与应用课题组的实践，数学建模教学应结合正常的数学内容切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用、在用中学，让学生学习数学的精神、思想和方法。1、从课本数学问题出发，注重对课本原题的改变。对课本中出现的应用问题，可以改变设问方式、变换题设条件、互换条件结论，或者拓广类比成新的数学建模应用问题；对课本中的纯数学问题，可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性等原则，编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题。按照这种方式开展教学活动，可使学生进行将实际问题数学化、抽象为数学问题的训练。只要教师挖掘课本中的数学问题的生活模型，精心设计，选择紧贴社会实际的典型问题深入分析，逐渐渗透数学建模的训练，就能使学生养成自觉地把数学作为工具运用的意识。在这一过程中，既培养了学生应用意识和应用能力，又活跃了课堂教学活动，容易激发学生的学习兴趣。2、从生活中的数学问题出发，强化应用意识。日常生活是应用问题的源泉之一。现实生活中有许多问题可以通过建立数学模型加以解决，如合理负担出租车费、家庭日用电量的计算、红绿灯管的设计、住房问题、投掷问题等，都可用数学基础知识建立初等数学模型加以解决。只要结合数学课程内容，适时引导学生考虑生活中的数学，会加深对数学知识的理解和运用，恰当地把生活问题融入课堂教学活动之中，会增强学生应用数学的信心，获得必要的应用技能。3、从社会热点问题出发，介绍建模方法。国家大事、社会热点、市场经济所涉及的诸如成本、利润、储蓄、投标及股份制等，是中学数学建模问题的丰富素材，适当地选取并融入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济观念，而且还为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理问题做了能力上的准备。4、通过实践活动或游戏中的数学，培养学生的应用意识和数学建模应用能力。5、从其他条件中选择应用性问题，培养学生应用数学解决其他条件难题的能力。6、探索数学应用于跨学科的综合应用题，培养学生的综合能力和创新能力，提高学生的综合素。三、案例分析（一）、问题情景素材：某种机器的购置费用a元,设备维修损耗费用第一年b元,以后每年逐年增加b元,求该机器的最佳更新年限.按照"新三年，旧三年，缝缝补补又三年"的中国传统，国民历年来有着艰辛朴素的优良传统."更新"对多数人来说还是一个相当陌生的概念.所以多数同学缺少对这类问题的生活背景的认识.（二）、感性认识—"更新"的必要性T：设t为设备的使用年数,S(t)为机器使用期内各种费用.构成S(t)的有哪些部分?怎么确定?S:两部分,开始买机器的钱S1(t)和各年的维修损耗费之和S2(t),其中S2(t)=b+2b+3b+…+tb=∴S(t)=S1(t)+S2(t)=a+(元)T:观察这个函数,你能否发现这两部分S1(t)、S2(t)与t之间有何关系?S2:S2(t)是t的增函数,S1(t)与t无关是常数。T:对了!随着t的增大,S2(t)将不断地增大,那么这又意味着什么呢?S3:这表明一定存在某个T,使得当t≥T时,S2(t)=＞a=S1(t).即到某一年机器的维修损耗费用已超过了买一台新机器的钱了.T:这又说明了什么?S4:这说明了这台机器不能无限期的使用下去,即当使用到某一年限时,就必须报废,重新购买一台新机器,进入一个新的过程.3数据测算--加深对"更新"的理解T：现在令a=20万元，b=0.1万元,请同学们动手测算一下!不少同学给出了如下的解法:令≥a,化得t(t+1)≥400,由t∈N得t≥20.多数同学对这种解法表示理解,但对用不等式表出的结果有点茫然.于是,教师要同学们以40年为一个时间段,试算两笔帐:S(20)=S1(20)+S2(20)=41(万元),S(40)=102(万元).(1)若按20年为一个更新期计算:40年内使用两台新机器,共消耗82万元.(2)若按40年为一个更新期计算:40年内只使用了一台新机器,但消耗了102万元.T:两相比较,说明了什么?S6:说明20年内必须更新.S7:对,这意味着更新年限t≤20.S8:呵,我知道了!≥a,即t≥20原来是一个必要不充分条件,同样t≤20也是一个必要不充分条件,但当两者结合时就可得出t=20,这显然是一个充要条件.4深化认识--走向理性思维通过以上交流，多数同学都明确了更新的必要性，少数同学领会了"更新年限"的意思。但这种做法还不能作为这类问题的一般解法，可见，艰难的探索过程还只是刚刚开始呢？T：我们不妨重新回到t≤20再来算一笔帐t=19如何？S（19）=20+=39（万元）为比较t=20与t=40时的情况，我们选取参照年限为40年，现在t=19与t=20，如何确定参照年限呢？S9:因为19，20的最小公倍数是380，所以我们可取380年为参照年限。（1）若以20年为更新年限380年共重复了19次，共消耗了19×41=779（万元）；（2）若以19年为更新年限380年共重复了20次，菜消耗了20×39=780（万元）；结论：最佳更新年限是20年5、建立模型T：通过以上的分析，大家应该清楚，"更新"意味着什么？意味着再来一次，重新进入一个过程，周而复始；或者说无限在有限区间内的连续的重复过程，根据以上的两次比较和对更新的进一上认识，同学们能否对以下的问题作一个一般意义下的求解呢？S9:老师，我们有一种想法，不知道是否对？在我的鼓励下，这位同学走上讲台，给出了下面的过程：设m为最佳更新年限（m∈N+），则S（m）=a+∵m是最佳更新年限，∴对任意的正数n，nS（m）≤mS（n）都成立，mS（n）-nS（m）=m[a+]-n[a+]=（m-n）a+=（m-n）（a-）b≥0若n≥m，则a-≤0，即mn≥；若n≤m，则a-≥0，即mn≤。做到这里后，这位同学有点犯难：怎么从这两个同学们注意过程中的关键词：任意、都成立，从而完成了以下的修证过程。（i）若对任意n≥m，mn≥恒成立，则有m2=m·m≥（ii）若对任意n≤m，mn≤恒成立，则有m2=m·m≤由（i），（ii）可知，当且仅当m2=，即m=时，nS(m)≤mS(n)对任意正n都成立,故最佳更新年限是6、简化模型T：以上我们建立了"更新"问题的一个模型：若m是最佳更新年限，则对任意正数n都有nS（m）≤mS（n）成立。虽然这种模型贴近生活经验，但操作起来尚有不便，有没有更好的切入点呢？S……既然对任意正数n都有nS（m）≤mS（n）恒成立，那么我们就可以就此关系作进一不的分析：换一个角度：nS（m）≤mS（n）≤，这又告诉我们什么呢？S10：若m是最佳更新年限，则（年平均消耗费用）最小。略解：设更新期限为m，y为年平均消耗费用，则y==+=（+）+≥+,∴当且仅当=,即m=时，年平均消耗费用最小故最佳更新年限是年。7、小结数学建模的一般过程：实际问题现实问题实际问题现实问题数学模型求解实际问题化简改进教学方法数学实验是指为了获得某些数学知识，形成或检验某个数学猜想，解决某类数学问题，学生运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的一种以学生人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动。它与理、化、生学科实验的共同点是有参与者亲身的实践、操作、需要对实验结果亲身的观察、实际测算，并根据实验实际出现的结果、提供的数据进行观察归纳、分析演算、猜想推证、形成结论。它与理、化、生学科的实验不同之处在于，数学思维活动、数学方法、数学测算工具在实验设计、方法选用、实验过程、实验结果的确认中起着关键作用。近些年来，数学实验越来越受到人们的重视。一方面是由于人们对数学本质的认识发生了变化，已经将它从象牙塔中搬了出来；另一方面依托迅速发展的计算机技术手段，使得数学实验变得更易实施，数学活动课的内容变得更加丰富多彩。一、中学数学实验的含义根据现代技术支持下的数学实验的本质特征--借助一定的物质工具，在数学化思维的指导下，通过实际操作解决问题、获得知识的数学实践，来定义后述内容所言的基础。中学数学实验是根据教学内容的需要，人为地、有目的地、模拟地创设一些有利于观察的数学对象，在典型的实验环境中或特定的实验条件下，经过某种预先的组织、设计，让学生借助于一定的物质仪器或技术手段，并在数学思想和数学理论的指导下，对实验素材进行数学化的操作，来学（理解）数学、用"解释"数学或做（建构）数学的一类数学学习活动。中学数学实验以动手实践为基点，具备3个必要成分：（1）实验应有主体的动手操作；（2）实验的物质仪器或技术工具能够数学地描述实验对象；（3）实验的物质工具应被实验主体有目的地使用，从实验结果的角度来看，它又具备3个特征，一是实证性，即能提供确定的数学知识，结论明确，（理论上）可以验证；二是深刻性，能在实践的基础上进行抽象思维，进而揭示数学规律或问题解决的本质；三是创造性，在技术中介的参与下扩大主体的认识能力，进行"发现"或"再发现"。二、高中数学实验课的类型及案例1、劳技操作型数学课堂教学，普遍存在着老师讲的多、问的少的现象，学生跟着老师问题走，学生只有回答“Yes”或“No”的权利，很少有真正意义上的独立思考的空间，、缺少实验、大胆质疑的机会。劳技操作型实验课就是指：学生在课堂上通过折、剪、拼等劳技型动手操作，从中有效地获得数学研究、解决问题的过程体验及情感体验，从而激发学生学习的兴趣，提高课堂教学的效率。数学新教材的实施，在这方面为我们提供了一个比较广阔的平台。案例1“截一个几何体”课堂上让学生把事先准备好的萝卜或马铃薯切成一个正方体（或长方体），然后进行分组实验：切截面，要求每位学生认真观察自己的切割实验操作：一刀经过正方体上几个面？截面是什么图形？学生通过亲身的实验操作，通过动手、动脑、动口多种感官参与学习活动，不但掌握了学习数学的方法，而且从感性认识上升到理性认识，发现其内在规律：（1）切割平面经过正方体的3个面、4个面、5个面、6个面，形成的截面分别是三角形、四边形、五边形、六边形；（2）正方体只有6个面，所以截面最多是六边形，不可能截出七、八……边形，反之，要想截出一个五边形，必须经过正方体的5个面。在数学课堂教学中若能给学生有动手实验操作的机会，不但能把实践活动作为学习知识的一种方法，而且能使学生手、口、眼、脑进行立体化互动，从中培养学生的社会实践能力和创新精神。2.信息技术型现代信息技术的广泛应用正在对我们的数学课程、数学内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。我们可以利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，将复杂内容层次化，把静态图形动态化，揭示静态图形的丰富内涵，挖掘问题的本质，从而更好地解决问题。利用计算机辅助问题探究是进行数学实验的一条有效途径。案例2“中点轨迹问题探究”上课地点：多媒体教室。课堂上学生以小组形式在《几何画板》中研究这样一个中点轨迹问题：点P为圆O上的动点，定点A在圆满周上，PA中点M的轨迹是什么图形？学生通过几何画板很快得到了轨迹。探索1拖动点A使之分别位于圆O内部、外部，轨迹又如何？通过几何画板演示，不难得到轨迹均匀为圆（图2，图3），有些学生还形象地称之为“母子圆”。探索2“子圆”半径与“母圆”半径有什么关系？通过几何画板演示，观察得到“子圆”半径是“母圆”半径的一半，同时鼓励他们证明自己的猜测。探索3既然有“母子圆”，是否还有“母子椭圆”、“母子双曲线”、“母子抛物线”呢？探索4更一般地：有两动点A、P分别在（1）两个圆（2）两线段（3）一线段和一圆（4）一椭圆