直线的对称问题解析

/直线系对称问题〔一主要知识及方法：点关于轴的对称点的坐标为；关于轴的对称点的坐标为；关于的对称点的坐标为；关于的对称点的坐标为.点关于直线的对称点的坐标的求法：设所求的对称点的坐标为.则的中点一定在直线上.直线与直线的斜率互为负倒数.即直线关于直线的对称直线方程的求法：到角相等；在已知直线上去两点〔其中一点可以是交点.若相交求这两点关于对称轴的对称点.再求过这两点的直线方程；轨迹法<相关点法>；待定系数法.利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等.…点关于定点的对称点为.曲线：关于定点的对称曲线方程为.直线系方程：直线〔为常数.参数；为参数.位常数.过定点的直线系方程为及与直线平行的直线系方程为〔与直线垂直的直线系方程为过直线和的交点的直线系的方程为：〔不含典例分析〔一例1：已知3a+2b=1,求证：直线ax+by+2<x-y>-1=0过定点,并求该定点坐标.思路一：由3a+2b=1得:b=EQ\f<1,2><1-3a>代入直线系方程ax+by+2<x-y>-1=0整理得<2x–EQ\f<3,2>y-1>+a<x-EQ\f<3,2>y>=0由,得交点<1,EQ\F<2,3>>∴直线过定点<1,EQ\F<2,3>>.思路二：赋值法令a=0得b=EQ\F<1,2>得L1:2x-EQ\f<3,2>y-1=0令b=0得a=EQ\F<1,3>得L2:x–EQ\f<3,2>y=0由,得交点<1,EQ\F<2,3>>把交点坐标代入原直线方程左边得:左边=EQ\f<1,3><3a+2b-1>∵3a+2b-1=0∴左边=0这说明只要3a+2b-1=0原直线过定点<1,EQ\F<2,3>>.例2:求证:无论λ为何值,直线<2+λ>x-<1+λ>y-2<3+2λ>=0与点P<-2,2>的距离d都小于4EQ\r<,2>.证明：将直线方程按参数λ整理得<2x-y-6>+λ<x-y-4>=0故该直线系恒过二直线2x-y-6=0和x-y-4=0的交点M易解得M<2,-2>求得|PM|=4EQ\r<,2>所以d≤4EQ\r<,2>而过点M垂直PM的直线方程为x-y-4=0,又无论λ为何值,题设直线系方程都不可能表示直线x-y-4=0∴d<4EQ\r<,2>[注]此题若按常规思路,运用点距公式求解,则运算量很大,难算结果,运用直线系过定点巧妙获解.例题：例3、〔1证明直线l过定点；〔2若直线l交x轴负半轴于A.交y轴正半轴于B.△AOB的面积为S.求S的最小值.并求此时直线l的方程；〔3若直线不经过第四象限.求k的取值范围。分析：〔1证直线系过定点.可用分离参数法。〔2求△AOB面积S的最小值.应先求出目标函数S＝f<k>.再根据目标函数的结构特征选择最小值的求法。〔3直线不经过第四象限的充要条件是：直线在x轴上的截距小于或等于-2.在y轴上的截距大于或等于1。或由直线经过定点〔-2.1知斜率大于或等于零。解：〔1直线l的方程是：∴无论k取何值.直线总经过定点〔-2.1〔2由l的方程.得：解得：k＞0解之得：k＞0小结：本题证明直线系过定点问题所使用的"分离参数法".也是证明曲线系过定点的一般方法。例4、已知P〔1.3.直线l：x－4y＋1＝0〔1求过P且平行于l的直线l1的方程；〔2求过P且垂直于l的直线l2的方程．策略：由l1∥l的斜率关系可得＝.由l2⊥l的斜率关系得＝－4.再利用点斜式方程可求出直线l1.l2的方程．由平行直线系与垂直直线系可以求出l1.l2的方程．解法一：〔1∵直线l的斜率为且l1∥l.∴直线l1的斜率k1＝又∵l1过P〔1.3.∴l1的方程为y－3＝<x－1>.即x－4y＋11＝0．<2>∵kl≠且l2⊥l.∴直线l2的斜率为k2＝－4又∵l2过P<1.3>∴l2的方程为y－3＝－4<x－1>即4x＋y－7＝0．解法二：〔1∵l1∥l且l方程为x－4y＋1＝0∴设l1的方程为x－4y＋C＝0又∵P<1.3>在l1上∴1－4×3＋C＝0解得C＝11∴l1的方程为x－4y＋11＝0．<2>∵l2⊥l∴设l2的方程为4x＋y＋C＝0又∵l2过P〔1.3∴4×1＋3＋C＝0解得C＝－7∴l2的方程为4x＋y－7＝0．评注：一般地.利用平行直线系和垂直直线系求直线方程会给计算带来很大方便．例5、求证：不论m为何实数.直线l：<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5恒过一定点.策略：对于这类题目.只要找出两条相交的直线.然后解出交点坐标即可．证法一：〔特殊值法当m＝1时.直线l的方程为y＝－4；当m＝时.直线l的方程为x＝9；∴两直线的交点为〔9.－4.满足直线l的方程<m－1>x＋<2m－1>y＝m－∴不论m为何实数.直线l：<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5恒过一定点〔9.－4证法二：〔直线系法将方程<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5整理得m<x＋2y－1>－<x＋y－5>＝解方程组得∴不论m为何实数.定点<9.－4>恒满足方程<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5即不论m为何实数.直线l：<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5恒过一定点〔9.－4评注：求某直线过定点的题目.常用的两种方法——特殊值法和直线系法．例6、求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P.且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．策略：①可以先解方程组求出交点P.再利用l⊥l3求出斜率.用点斜式求l方程；②求出P点后.用垂直直线系求l方程；③先由过l1.l2的交点的直线系设出l方程.然后由l3⊥l求系数．解法一：解方程组得交点P〔0.2∵k3＝∴kl＝－由点斜式得l：y－2＝－x即4x＋3y－6＝0．解法二：设所求直线l：4x＋3y＋C＝0由解法一知：P<0.2代入方程.得C＝－6∴l：4x＋3y－6＝0．解法三：设所求直线l：<x－2y＋4>＋λ<x＋y－2>＝0整理得<λ＋1>x＋<λ－2>y－2λ＋4＝0∵l⊥l3∴3<λ＋1>－4<λ－2>＝0∴λ＝11∴l的方程为：<x－2y＋4>＋11<x＋y－2>＝0即4x＋3y－6＝0．评注：解法一是常规解法.解法二用待定系数法.解法三应用了经过两直线交点的直线系方程.省去了求两直线交点的解方程组的运算．利用直线系解题一、直线系的定义共点直线系方程经过两直线的交点的直线系方程为平行直线系方程与直线垂直直线系方程与直线二、利用直线系解题例题：<一>直接应用求过点A<1.-4>且与直线平行直线方程。<课本第45页例2><>求过点A<2,1>.且与直线垂直的直线方程。<课本第46页例4><>求经过两条直线和的交点.且垂直于直线的直线方程。<课本第54页第11题第1小题><>经过两条直线和的交点.且平行于直线的直线方程。<课本第54页第11题第2小题><经过直线和的交点.且垂直于第一条直线的直线方程。<课本第54页第11题第3小题><>求平行于直线且与它的距离为的直线方程。<课本第87页第13题><或><二>间接应用当a为任意实数时.直线恒过的定点为______。解：直线的方程可以化为.由直线系的定义我们知道：直线过的点是方程组的解.这样我们就可以知道直线过点<-2,3>。8、已知圆C：及直线证明：无论m为任何实数.直线恒与圆C相交。分析：判断直线与圆的位置关系通常采用"法".或"比较d与r法".特别是"法"运算量往往很大.当发现直线过定点.且此定点又在圆内部时.妙解应运而生。证明：易证直线过定点M<3,2>.且 <4.即点M在圆C内.点M又在直线上.故不论m为任何实数.直线与圆C相交。9、a、b满足什么条件时.使得对于任意实数m,直线：与曲线C：总有公共点。分析：本题虽然可以用"法"来解.但不仅运算量大<两次使用判别式>.而且还容易忽视对二次不等式系数的讨论而造成失解.如果利用直线过定点<0.b>.并使该点在椭圆C上或在其内部便可达到目的。解：易知直线：过点M<0.b>.欲使与椭圆C恒有公共点.须使点在椭圆C上或在其内部.于是有即时.对于任意实数m,直线与椭圆C恒有公共点。对称问题是高中数学的比较重要内容.它的一般解题步骤是：1.在所求曲线上选一点；2.求出这点关于中心或轴的对称点与之间的关系；3.利用求出曲线。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题.但它的解法很多.现以一道典型习题为例给出几种常见解法.供大家参考典例分析〔二：例1〔1求点关于直线的对称点〔2求关于直线的对称点〔3一张坐标纸.对折后.点A<0.4>与点B〔8.0重叠.若点C<6.8>与D〔m.n重叠.求m+n；例2：试求直线关于直线对称的直线的方程。解法1：〔动点转移法在上任取点.设点P关于的对称点为.则又点P在上运动.所以.所以。即。所以直线的方程是。解法2：〔到角公式法解方程组所以直线的交点为A<1,0>设所求直线的方程为.即,由题意知.到与到的角相等.则.所以直线的方程是。解法3：〔取特殊点法由解法2知.直线的交点为A<1,0>。在上取点P〔2.1.设点P关于的对称点的坐标为.则而点A.Q在直线上.由两点式可求直线的方程是。解法4：〔两点对称法对解法3.在上取点P〔2.1.设点P关于的对称点的坐标为Q.在上取点M〔0.1.设点P关于的对称点的坐标为而N.Q在直线上.由两点式可求直线的方程是。解法5：〔角平分线法由解法2知.直线的交点为A<1,0>.设所求直线的方程为：设所求直线的方程为,即.由题意知.为的角平分线.在上取点P〔0.-3.则点P到的距离相等.由点到直线距离公式.有：时为直线.故。所以直线的方程是解法6〔公式法给出一个重要定理：曲线〔或直线关于直线的对称曲线〔或直线的方程为。

证：设是曲线上的任意一点.它关于的对称点为.则于是。∵M与M/关于直线l对称.∴,〔3代入〔2.得.此即为曲线的方程。解析：定理知.直线关于直线的对称曲线的方程为：所以直线的方程是。练习：〔1求直线关于点A〔1.2对称的直线方程；〔2求直线关于直线x=3对称的直线方程；〔3求直线关于直线对称的直线方程；例3〔1已知.在直线上找一点P.使最小.并求最小值；〔2已知.在直线上找一点P.使最大.并求最大值；例4光线由点A<2.3>射到直线反射.反射光线经过点B〔1.1求反射光线所在直线方程。练习：光线从射出.被x轴反射后经过点B〔3.2.求入射光线所在直线方程；光线沿着直线射向直线.求反射光线所在直线方程。直线关于直线的对称直线方程是.求直线的倾斜角；直线和直线关于直线对称.求直线的方程；5、一张坐标纸对折后.点A<0.2>与点B〔4.0重叠.若点C<2.3>与D〔m.n重叠.求m+n；6、求直线关于点A〔2.3对车的直线方程7、与关于直线对称.求直线的方程；8〔选、入射光线沿直线射到x轴后反射.这时又沿着直线射到y轴.由y轴再反射沿着直线射出.求直线的方程；9〔选、直线.直线.求直线关于直线的对称直线方程。〔三课后作业：方程表示的直线必经过点直线关于点对称的直线方程是曲线关于直线对称的曲线方程是..仅有两个元素.则实数的范围是求经过直线和的交点.且在两坐标轴上的截距相等的直线方程已知的顶点为.的平分线所在直线的方程分别是