第5章-大数定律与中心极限定理答案

PAGEPAGE1第5章-大数定律与中心极限定理答案第一篇：第5章-大数定律与中心极限定理答案nnnXXniii1A)limPxx;B)limPxx;nn21nnXXniii1i1C)limPxx;D)limPxx;nnn2其中x为标准正态分布函数.解由李雅普诺夫中心极限定理:E(Xi),D(Xi)2i1,2,,n,111Sn222nn11XinXiXini1i1N(0,1)Snn故选(B)4.设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切贝谢夫不等式估计PXY6（）.A)1111B)C)D)461216解|EXY220(Y,)XYDXYDXDY2covX,Y,covX1420.5123.由切贝谢夫不等式得PXYEXY6故选(C)5.若随机变量XB1000,0.01,则P4X16（）.A)0.925B)0.825C)0.9D)0.725解|因为EX10000.0110,DXnpq100.999.9DXY31.623612由切贝谢夫不等式得P4X16PX1061PX1061故选(D)DX9.9110.2750.725.3662二、填空题（每空2分，共10分）1.已知离散型随机变量X服从参数为3的泊松分布，则利用切贝谢夫不等式估计概率PX35解因为XPm所以EXDX3由切贝谢夫不等式PXEX5DX3.52252.已知随机变量X存在数学期望EX和方差DX，且数学期望EX10，EX109，利用切贝谢夫不等式估计概率PX106解因为EX10,DXEXEX1091009由切贝谢夫不等式PX106DX91.263643.已知随机变量X的方差为4，则由切贝谢夫不等式估计概率PXEX3解由切贝谢夫不等式PXEX34.94.若随机变量XBn,p,则当n充分大时,X近似服从正态分布N解因为EXnp,DXnp1p.三、计算或证明题题（每题10分，共80分）1.如果随机变量X存在数学期望EX和方差DX，则对于任意常数0，都有切贝谢夫不等式：PXEXDX2（证明当X为连续型随机变量时的情况）证明设连续性随机变量X的概率密度函数为x,则PXEXXEXxdxXEXXEX2xdxDX2XEXxdx2.2.投掷一枚均匀硬币1000次，试利用切贝谢夫不等式估计出现正面次数在450次~550次之间的概率.解设随机变量X表示1000次试验中出现正面朝上的次数,由于XB1000,0.5,所以EX500,DX250;由切贝谢夫不等式P450X550PX500501DX25010.9.22500503.已知连续型随机变量X服从区间1,3的均匀分布，试利用切贝谢夫不等式估计事件X4发生的概率.133(1)4;1,DX解由于XU1,3,所以EX2123由切贝谢夫不等式D(X)11PX141210.9167.412164.对敌人的防御工事进行80次轰炸，每次轰炸命中目标炸弹数目的数学期望为2，方差为0.8，且各次轰炸相互独立，求在80次轰炸中有150颗~170颗炸弹命中目标的概率.解设随机变量X表示80次轰炸中炸弹命中目标的次数,Xi表示第i次轰炸命中目标的次数,则EXi2，DXi0.8;由于XXi1i所以EX160，DX800.864;由中心极限定理得P150X170170160150160881.251.2521.25120.894410.7888.5.袋装食糖用机器装袋，每袋食糖净重的数学期望为100克，方差为4克，一盒内装100袋，求一盒食糖净重大于10,060克的概率.解设每袋食糖的净重为Xii1,2,,100,则Xii1,2,,100服从独立同分布,且E(Xi)100,D(Xi)4;设一盒食糖为X,则XXi,E(X)10000,D(X)400,i1100由中心极限定理得PX100601PX1006011310.998650.00135.6.某人寿保险公司为某地区100,000人保险，规定投保人在年初向人寿保险公司交纳保险金30元，若投保人死亡，则人寿保险公司向家属一次性赔偿6,000元，由历史资料估计该地区投保人死亡率为0.0037，求人寿保险公司一年从投保人得到净收入不少于600,000元的概率.解设随机变量X表示一年内投保人中死亡人数,则XBn,p,其中n100000,p0.0037;EXnp370,DXnpq3700.9963368.31;由100000306000X600,000,得X400由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为PX400P301.560.9406.19.19407.某车间有同型号机床20XX，每部开动的概率为0.7，假定各机床开与关是独立的，开动时每部机床要消耗电能15个单位.问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率，保证不致因供电不足而影响生产？解设随机变量X表示20XX机床中同时开动机床台数,则XB20XX0.7,EXnp140,DX426.482用K表示最少开动的机床台数,则PXKPXKK1400.956.5查表1.650.95,故K1401.656.5由此得K151这说明,这个车间同时开动的机床数不大于151部的概率为0.95.所以电厂最少要供应这个车间151152265个单位电能,才能以95%的概率,保证不致因供电不足而影响生产.8.设某妇产医院生男婴的概率为0.515,求新生的10000个婴儿中,女婴不少于男婴的概率?解设X表示10000个婴儿中男婴的个数,则XBn,p其中n10000,p0.515.由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为PX5000P31310.998650.00135.附表：00.50.6913;010.8413;01.250.8944;2.50.99379001.50.9938;01.560.9406;01.650.95;030.99865.第二篇：ch5大数定律和中心极限定理答案一、选择题0,事件A不发生1.设Xi(i1,2,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,,X10000相互独立,令1,事件A发生10000Y=X,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（D）ii1A.N(0,1)C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)2．设X1，X2，……，Xn是来自总体N（μ,σ2）的样本，对任意的ε>0，样本均值X所满足的切比雪夫不等式为（B）Xn≥nC．PX≤1-A．P2nX≥1-nnD．PXn≤B．P23.设随机变量X的E（X）=,D(X)=2，用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|3)（C）A.C.198919121B.3D.14．设随机变量X服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3D.1二、填空题1．将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）2．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…,则nXnii1x_对任意实数x，limPnn___________.3.设随机变量X的E(X)=,D(X)2,用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|32)___8/9________。4．设随机变量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估计P（|X－_____1/4___________．5．设随机变量X~B(100,0.8)，由中心极限定量可知，11|≥）≤2P74X86_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)0,6.设Xi=1,事件A不发生事件A发生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8,X1，X2，…，X100相互独立，令Y=Xi1100i，则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布，其方差为___16________。7．设随机变量X~B（100，0.2），应用中心极限定理计算P{16X24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）8.设n为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意的0,limP{|nnp|}=__1________.n9．设随机变量X～B(100，0.5)，应用中心极限定理可算得P{4010.设X1,X2,,Xn是独立同分布随机变量序列，具有相同的数学期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，则当n充分大的时候，随机变量Zn_N(0,1)_______(标明参数).1Xi1ni的概率分布近似服从第三篇：第四章大数定律与中心极限定理第四教学目的：大数定律与中心极限定理1．使学员理解随机变量序列依概率收敛、按分布收敛的含义，知道两种收敛的关系，理解连续性定理的意义。2．使学员牢固掌握马尔科夫大数定律、辛钦大数定律及其证明、理解契贝晓夫、贝努力里大数定律的意义。3．使学员能熟练应用DeMoivre-Laplace中心极限定理作近似计算及解决生产、生活中的实际问题。4．使学员掌握、独立同分布场合下的Lindeberg-Leve中心极限定理的证明及应用，知道德莫佛—拉斯定理是其特例。本课程一开始引入事件与概率的概念时，我们就知道就一次试验而言，一个随机事件可以出现也可不出现，但作大量的重复试验则呈现出明显的规律性——统计规律性。即，任一事件出现的频率是稳定于某一固定数的，这固定数就是该事件在一次试验下发生的概率，这里说的“频率稳定于概率”实质上是频率依某种收敛意义趋于概率，“大数定律”就是解释这一问题的。另外在前一章介绍正态分布时，我们一再强调正态分布在概率统计中的重要地位和作用，为什么实际上有许多随机现象会遵循正态分布？这仅仅是一些人的经验猜测还是确有理论依据，“中心极限定理”正是讨论这一问题的。§4.2*随机变量序列的两种收敛性假设1(),2(),,n(),是定义在同一概率空间（，F,P）上的一列随机变量，显然，其中每个r.v，k()可以看成是定义在概率空间上的一个有限可测函数，因此，我们*§4.2使用的是原教材的编号，是方便学员看书复习。可以象在实变函数论中对可测函数列定义收敛性一样，给出随机变量列{k()}的收敛性概念。以下我们讨论时，总假定r.v列{n}和r.v.都是定义在同一概率空间（，F,P）上的，对于某样本点0，显然{n(0)}可视为一普通实数列，(0)则可看作一实数，此时若有limn(0)(0)，则称随机变量列{n}在点0收敛到。若对任意，均有nlimn()()，则称{n}在上点点收敛到。但在本章的讨论中，我们没有必n要对{n}要求这么高，一般是考虑下面给出的收敛形式。定义4.2设有一列随机变量,1,2,，如对任意的＞0，有limP{:n()()}0（4.6）n则称{n}依概率收敛到，并记作4.6limnPnP,4.6或n（4.6）式也等价于limP{n}}0n从定义可见，依概率收敛就是实函中的依测度收敛。时，其相我们知道，随机变量的统计规律由它的分布函数完全刻划，当n应的分布函数Fn(x)与F(x)之间的关系怎样呢？例4．2设n(n1)及都服从退化分布：P1P{n}1,n1,2,nP{0}1对任给＞0，当n＞1时，有P{n}P{n}02,(n)所以nP10n而n的d.f为Fn(x)1x1nx的d.f为F(x)01x0x0易验证当x0时，有Fn(x)→F(x)（n→）但x0时，Fn(0)1不趋于F(0)0上例表明，一个随机变量依概论收敛到某随机变量，相应的分布函数不是在每一点都收敛，但如果仔细观察这个例，发现不收敛的点正是F(x)的不连续点，类似的例子可以举出很多，使人想到要求Fn(x)在每一点都收敛到F(x)是太苛刻了，可以去掉F(x)的不连续点来考虑。定义4.3设{Fn(x)}为一分布函数序列，如存在一个函数F(x)，使在F(x)的每一连续点x，都有limFn(x)F(x)n则称分布函数列{Fn(x)}弱收敛于F(x)，并F(x)n（4.7）记作Fn(x)定义4.3设r.v.n(n1)和的分布函数分别为Fn(x)，F(x)，若WLFn(x)F(x)n，则称n按分布收敛于，并记作n（n）W，则n定理4.4若n证对于xR,任取xx，因有PL(x)(nx,x)(nx,x)(nx)(nx,x)故P(x)P(nx)P(nx,x)即F(x)Fn(x)P(nxx)，故P(nxx)0因n所以有F(x)limFn(x)nP同理可证，对xx有F(x)limFn(x)n于是对任意xxx有F(x)limFn(x)limFnF(x)nn令xx,xx，有F(x0)limFn(x)limFnF(x0)nn若x是F(x)的连续点，就有limFn(x)F(x)。证毕。此定理的逆不真。n例4.3抛掷一枚均匀硬币，记1=“出现正面”，2=“出现反面”则P(1)P(2)1211令n()n=1，2，„„02()10211因Fn(x)与F(x)完全相同，显然有Fn(x)→F(x)对xR成立。但P{n12}P(n0,1)P(n1,1)=P11111。对n1成立22222不成立。∴n一般来说，按分布收敛不能推出依概率收敛，但在特殊情况下，却有下面的结果。n,定理4.5设C是一常数，P(C)1，则n（即n，CnC）PLPL证（）由定理4.1推得（）（不妨就设C）对任给0，有P{nC}P(nC)P(nC)1Fn(C)Fn(C0)(4.8)因C的分布函数为0xCWF(x)F(x)只在xc处不连续，而c处都是连续的，由Fn(x)1xC在（(4.8）中令n得limP(nc)1100n本章将要向大家介绍的大数定律实际上就是随机变量列依概率收敛于常数的问题，由定理4.5知，它可归结为相应的分布函数列弱收敛于一退化分布，而中心极限定理就是随机变量的分布函数列弱收敛问题，可见分布函数列的弱收敛在本章讨论中占重要地位。然而，要直接判断一个分布函数列是否弱收敛是很困难的上一章我们就知道，分布函数与特征函数一一对应，而特征函数较之分布函数性质优良很多，故判断特征函数的收敛一般较易，那么是否有WFnxF(x)相应的n(t)(t)答案是肯定的。定理4.6分布函数列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)的充要条件是相应的特征函数列{n(t)}收敛于F(x)的特征函数(t)例4.4若～P()证明1limP(x)2xet22dt随机变量到依pr收敛具有如下性质。a,nb定理4.7（斯鲁茨基）若nPP则有（1）nPnab（2）b0时，nPanbP，f(x)为连续函数书P220XX4.8nf()（4.9）则有f(n)P§4.1大数定律本章一开始我们就指出大数定律是从讨论“频率稳定于概率”这件事引入的，概率的发展史上，这件事又是从贝努里试验这个概型入手的。设事件A在一次试验中发生的概率为P，将试验独立重复地进行n次，如果其中事件A发生的次数为n，则nn就是这n次试验中事件A发生的频率。所谓频率nn稳定到概率P，是指当n增大时，敛。nn依某种收敛意义向P逼近。很容易验证，这里的收敛意义不是普通的收limnnnP（4.1）事实上，（4.1）意味着，对任给0，能找到N，当nN时，有nnP4.1我们知道，在n重贝努里试验中，不管n多大，{A出现n次}这一结果都是可能发生的，当这个结果发生时，nn，即nnP1P，因此，对于01P，不管N取多大，nP不发生的可n也不能保证nN时（4.1）′成立。但可以想见，当n很大时，6能性很小了，比如PnP1Pn0(n)。于是猜想可能有nP。这个猜想nn是正确的，其证明暂放后一步。现不妨先承认有事实nnPP（4.2）若令k1,第k次试验A发生k1,2,0,第k次试验A不发生则（4.2）意味着1n1nPkE(k)nk1nk1上式反映出大量随机现象的平均结果具有的一种稳定性，我们称之为大数定律。k为一随机变量序列，它们具有有限的数学期望Ek,k1,2。定义4.1，设1nPPEn（或（nEn）k服从大令nk，若n，则称随机序列0）nk1数定律。下面的定理给出随机序列服从大数律的一个充分条件。k是一列两两不相关的随机变量序列，其中每一随定理4.1（契贝晓夫大数定律）设机变量都有有限的数学期望和方差，且方差有公共上界：DkC,(C为常数);K1,2,k服从大数定律。则证明：只须证，对任给0，均有1n1nP{kEk}0(0)（4.3）nk1nk1由契贝晓夫不等式1n1n0PkEknk1nk1下面我们来证明（4.2）式1nD(k)nk12Cn2(n)0定理4.2（贝努里大数定律）设n是n重贝努重试验中事件A出现的次数，每次试验都有P(A)P,则nnPP。k，则EkP,DkP(1P)[证明]照（4.2）定义随机序列1,k1,2,4k服从大数律，因此由定理4.1知，k1nkPEkk1nnn,这就是nnPP，k服从大上面所述的两个大数定律，后一个是前一个的特款，从定理4.1的证明看出，数律的一个充分条件是D(k)k12nn0(n)(4.4)(4.4)所示的条件常称为马尔可夫条件，由此得如下的马尔可夫大数定律（书P222习题4.23）k满足（4.4）所示的马尔可夫条件，则它服从大数定律。若随机变量序列证：对任给0，由契贝晓夫不等式，有1n1n0PkEknk1nk1D(k)nk122n再由(4.4)立得结论。k相互独立的条件。另方面，显然定理4.1我们注意到，马尔可夫大数律并没有附加又是它的特款。因此，上面所述的三个大数定律，马尔可夫大数律才是最基本的，当然，它的条件也是充分而非必要的。我们还注意到上面的三个大数定律，其证明都要依靠契贝晓夫不等式，所以要求随机变量的方差存在。但进一步的研究表明，方差存在这个条件并不一定必要。比如在独立同分布的场合，就可去掉这个条件。著名的俄国数学家XИНЧИН证明了这点。定理4.3（辛钦大数定律）设k为相互独立，同分布的随机序列，具有有限的数学期望Eka(a为常数)，则k服从大数定律。证：因1,2,同分布，故有相同的特征函数(t),又Eka在t=0处展开，有(0)i，将（t）(t)(0)(0)t0(t)1iat0(t)1n由1,2,相互独立，得nk的特征函数为nk1tttgn(t)[()]n[1ia0()]nnnnttnL1iata，再由定对于任意tR,limgn(t)lim[1ia0()]e，由定理4.6知nnnnna，即k服从大数定理。理4.5得nP贝努里大数定律显然是辛钦大数定律的特款。k为独立同分布随机变量序列，存在Ena,Dn，令例4.1设21n1n2nk,Sn(kn)2nk1nk1证明Sn2P2ki·证：i·d则{n}亦i·i·d21n2Pa，k(2a2)由辛钦大数律nnk1Pa由（4.9），(n)2P21n2P2由斯鲁茨基定理Sk(n)2（4.5）nk12n§4.3中心极限定理大数定律仅仅从定性的角度解决了频率nn稳定于概率p，即nnPp，为了定量地估计用频率nn估计概率P(A)(记为p)的误差，历史上DeMoivre、Laplace等数学家经过许多努力，证明了n的标准化随机变量渐近于N（0，1）分布：定理4.8（德莫佛—拉普拉斯）在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p(0p1)，n为n次试验中A出现的次数，则对任意xR,一致地有，1limP{nnnpnpqx}12xet22dt（4.10）本定理的原始证明较复杂，但它是下面要证明的定理4.9的特例，现在来看定理4.8的重要意义。定理4.8在实际的数值计算中有重要作用主要表现在（1）较为精确地估计出用频率估计概率的误差。当n充分大时P{nnP}P{npnnpqnpqn}pq2(n)4.10pq由上式，.,n中已知其二，可求另一（2）较好地解决了二项分布的近似近计算。当~B(n,p)而n较大时，无论p是否接近0或1，均由（4.10）得P{x1x2}P{x1npnpqnpnpqx2npnpq}(x2npnpq)(x1npnpq)（4.10）″另方面，定理4.8在理论研究上也有很大价值，这里仅指出这样一个事实nnpnnp依分布收敛于标准正态变量（这时称渐近于正态分布npqnpqN（0，1）若令k第k试验A出现,1,k1,20,第k次试验A不出现则上面的事实等价于k1nk有渐近正态分布，这一重要发现具有普遍意义。前面我们介绍正态分布时曾说过，已发现许多随机现象，比如测量误差，射击偏差等都可用正态分布来描述。经过长期观察、总结、发现那些服从正态分布的随机现象往往是由许多彼此无关，谁也不起突出作用，只均匀地起微小作用的随机因素共同作用而产生。换句话说，这类随机现象往往可视为独立（或弱相依）随机变量之和k1nk，在什么条件下有渐近正态分布的问题，在长达两个世纪的时间内成为概率论讨论的中心课题，为使问题规范化，数学家们将问题归结为讨论规范和。.k1nkE(k)k1nn有渐近分布N（0，1）的条件。D(k)k1k服从中心极限定理。并称有此结论的随机序列下面是勒维（Levy）和林德贝尔格（Lindeberg）的成果Dk（20）定理4.9若1,2,是一列独立同分布的随机变量，且Eka，11则有limP{k1nnknax}(x)（4.11）n对一切实数x成立证：„„在定理4.8中，由于n可看作独立同贝努里分布的一列随机变量的部分和，因此定理4.8是定理4.9的特例。在处理近似计算时，定理4.9较之定理4.8有更广泛的应用。在实际应用中，只要n较大，便可把独立同分布的随机变量之和近似当作正态变量。这种处理方法对于解决大子样问题非常方便。常用的近似计算式为：P{x1kx2}P{k1nx1nan(k1nka)x2nann}(x2nan)(x1nan)（4.12）例4.5某单位有260架电话分机，每个分机有4%的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立的，问总机要备多少条外线才能以95%的把握保证各个分机在需用外线时不必等候。例4.6（近似数定点运算的误差分析）数值计算时，任何数x都只能用一定数位的有限小数y来近似，这就产生了一个误差xy，在下面讨论中，我们假定参加运算的数都用十进制定点表示，每个数都用四舍五入的方法取到小数点后五位，这时相应的四舍五入误差可以看作是[0.510,0.51055]上的均匀分布。如果要求n个数xi(i1,2,,n)的和S，在数值计算中就只能求出相应的有限位小数，y2(i1,2,,n)的和T,并用T作S的近似值，现在问，这样做造成的误差ST是多少？因为Sx(yii1i1nnii)yiii1i1nn12故i1ni.5传统的估计方法是，根据i0.510得i1nin0.5105以n10000为例，所得误差估计为0.05今用（4.12）估计。如果假定舍入误差i是相互独立的，这里。aEi0,Di有0.51053P{iKn}(k)(k)i1n若取k3，则上面的概率约为0.997，即能以99.7%的概率断言31000.510530.866105这只及传统估计上限的60分之一。第四篇：第五章大数定律与中心极限定理第五章大数定律与中心极限定理教学目的与要求1.了解大数定律的思想方法，大数定律概念的本质内涵，熟悉几个大数定律的条件，分清其异同之处.2.了解随机变量序列的两种收敛的概念及其之间的关系.3.熟悉中心极限定理并会应用中心极限定理解决一些实际问题.教学重点中心极限定理教学难点大数定律教学方法讲解法教学内容第一节切比雪夫不等式定理5.1（切比雪夫不等式）对任意的随机变量，若D存在，则对任意的正常数，有P(a)D2证明设是一个连续型随机变量，密度函数为p(x)，则P(a)21D2(xa)2p(x)dx2xaxap(x)dx(xa)2p(x)dx注：在上述的证明中，如果把密度函数换成分布列，把积分号换成求和号，即得到离散型情形的证明.在切比雪夫不等式给出的估计中，只需要知道方差D及数学期望E两个数字特征就够了，因而使用起来比较方便.但因为没有完整用到随机变量的统计规律—分布函数或密度函数，所以一般来说，它给出的估计是比较粗糙的.利用切比雪夫不等式可证明下列事实：随机变量的方差D0的充要条件是取某个常数值的概率为1，即P(a)1例1.第二节大数定律定义5.1设有一列随机变量,1,2,L,，如果对任意的0，有limPn1n则称随机变量序列{n}依概率收敛于，并记作limnnp或np(n)定义5.1若1,2,,n,是随机变量序列，如果存在常数列a1,a2,,an,，使对任意的0,有limpnii1an1nn成立，则称随机变量序列{n}服从大数定理.定理5.2（契贝晓夫大数定律）设1,2,是一列相互独立的随机变量序列，又设它们的期望,方差存在,且方差有界，即存在常数C0，使有DiC,则对任意的0，有i1,2,1n1nlimPiEi1nni1ni1证明仍利用契贝晓夫不等式，有P1nnDiDinn11ni1i1Einini12n22i1因为{i}两两不相关，且由它们的方差有界即可得到nnDiDinCi1i1从而有1nC1n0,nPiEi2nnni1i1从而得证.定理5.3（贝努里定理）设n是n重贝努里试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p(0p1)，则对任意的0，有limPnnp1n证明令1,在第i次试验中A出现1ini0,在第i次试验中A不出现则1,2,,n是n个相互独立的随机变量，且Eip,Dip(1p)pq而n于是(i1,,n)i1niniEinpi1i1npnnnn由契贝晓夫不等式有nnDinni1PnpPiEi22i1ni1n从而有Pnnpq1pqp220,n2nnn这就得证.贝努里定理说明了大数次重复试验下所呈现的客观规律，所以也称为贝努里大数定律.注：贝努里大数定律实质上讨论了形如Einnii1i1n的随机变量，当n时的统计规律，其中的{i}是独立的服从同一个0—1分布的随机变量.定理5.4（辛钦大数定律）设1,2,是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在：Eia,则对任意的0,有i1,2,1nlimPia1nni1成立.定理的证明将在下一节中给出.1n辛钦大数定律表明.当n很大时，随机变量在n次观察中的算术平均值i会“靠近”ni1它的期望，为寻求随机变量的期望提供了一条实际可行的途径.借用数学分析中的“收敛”、“极限”这些术语，把上式所表示的关系式记成p1nlimianni1或1npaini1(n)1n并且称i依概率收敛于a，按这一记号和说法，贝努里大数定律表明了频率n/n依ni1概率收敛于概率p，即nnpp(n)小结：大数定律是个比较抽象的概念，它是对随机变量序列而言，当这个序列独立，且它的前n项和与其数学期望差的绝对值小于正数的概率在n趋于无穷大时极限等于1这一现象定义的.若某一随机变量序列在一定的条件下满足这一结果，就称该序列服从大数定律.作业第三节中心极限定理定理5..5若1,2,是一列独立同分布的随机变量，且Eka,Dk(0),k1,2,则有22nakxlimPnxet22dt定理5.6（德莫佛—拉普拉斯（DeMoivre_laplace）极限定理）在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p(0p1),n为n次试验中事件A出现的次数，则xlimPn例1,2,3小结中心极限定理是本章的核心内容.也可以说，它是前两节理论的结晶.它表明当分布序列满足一定的条件时，序列就弱收敛于N(0,1)分布，而标准正态分布又有表可查.这样，在随机变量序列的n很大时，相关的概率问题就可以得到近似解决.作业xet22dt第五篇：第五章+大数定律与中心极限定理概率论与数理统计教案—运怀立习题五一、填空题1．设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{XEX2}．解由题设，已知DX2，直接应用切比雪夫不等式，即P{XEX2}DX2242．设随机变量X和Y的数字期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式P{XY6}．解由题设，已知EX2,EY2,DX1,DY4,XY0.5，则E(XY)EXEY0D(XY)DXDY2COV(X,Y)DXDY2XY142(0.5)43DXDY故由切比雪夫不等式，得P{XY6}1123．设n表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则P{anb}．解由题设知n~B(n,p)，则依中心极限定理得P(anb)P（anpnp(1p)bnpnnpnp(1p)bnpnp(1p))np(1p)np(1p)anp4．设随机变量X的数学期望EX，方差DX，则由切比雪夫不等式，有P{X3}．解由切比雪夫不等式，得P{X3}(3)5．设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n时，YnnXi依概率收敛于．ni1解根据简单随机样本的性质，X1，X2，，Xn相互独立且都服从参数为2的指数分布，因此X12，X22，，Xn也都相互独立且同分布，且它们共同的期望值为E(Xi)D(Xi)(EXi)DX(EX)121()422根据辛钦大数定律，当n时，YnnXi依概率收敛于其期望值ni1二、单项选择题设随机变量X1,X2,,Xn相互独立，SnX1X2Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1,X2,,Xn[](A)有相同的数学期望(B)有相同的方差(C)服从同一指数分布(D)服从同一离散型分布解列维一林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理：当X1,X2,,Xn独立同分布且E(Xi),D(Xi)(i1,2,,n)时，X1,X2,,Xn服从中心极限定理．由此知，(A)、(B)中没有同分布的条件，(D)中无期望、方差存在的条件，只有(C)满足所有条件，故正确选项为(C)．三、解答题1．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克．若用最大重量为50吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977．[（2）0.977,其中（x）是标准正态分布函数]解设Xi(i1,2,,n)表示“装运的第i箱的重量”（单位：千克），n是所求箱数，由已n知条件X1,X2,,Xn是独立同分布的随机变量．设n箱的总重量为Tn，则Tni1又Xi．由题设，E(Xi)50,D(Xi)25,i1,2,,n，从而E(Tn)50n,D(Tn)25n（单位皆为千克）．由中心极限定理，知Tn近似服从参数为(50n,25n)的正态分布，即N(50n,25n)．由条件Tn50n5n500050n5nP{Tn5000}P{（100010nn)0.977(2)可得出100010nn2，即n98.0199，所以最多可以装98箱．2．在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率．解设X表示“在1000次独立试验中，事件A发生的次数”，则X~B(1000,0.5)．且EX10000.5500,DX10000.50.5250从而由切比雪夫不等式PXEX501DX500.9即在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率不小于90%．3．随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9点且不超过33点的概率．解设Xi(i1,2,,6)表示“第i颗骰子掷出的点数”，则P(Xik)16,k1,2,,6;i1,2,,6从而E(Xi)12672,E(X)i126222916于是D(Xi)E(Xi)[E(Xi)]9164943512所以有E(Xi)i1i1E(Xi)i166621,D(Xi)i1i1D(Xi)12i1352故由切比雪夫不等式P(9i1635/2Xi33)PXiE(Xi)1210.88212i1i1即六颗骰子出现的点数总和不小于9点且不超过33点的概率不小于88%．5．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该