高中数学-数列求和教学课件设计

数列求和

1.等差数列的前n项和公式Sn＝

＝_______________________________________.2.等比数列的前n项和公式知识梳理，q≠1.数列求和的常用方法(1)公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和.(2)分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和.【知识拓展】(4)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式解答题型一分组转化法求和师生共研典例1(2018·合肥质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝

，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；解

当n＝1时，a1＝S1＝1；a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.解答(2)设bn＝＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和.解

由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.本例(2)中，求数列{bn}的前n项和Tn.引申探究解答解

由(1)知bn＝2n＋(－1)nn.当n为偶数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]当n为奇数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.(2)通项公式为an＝

的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.思维升华跟踪训练1等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解答解

设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.解答∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)典例2(2017·天津)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；题型二错位相减法求和师生共研解答解

设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q>0，解得q＝2，所以bn＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，

①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，

②联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.解答(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*).解

设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，③4T＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，④③－④，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8，跟踪训练