高中数学-3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE3PAGE3.1.2两角和与差的正弦、正切公式教材分析：本节是人教A版必修4第三章第一节的第3.1.2节，是继两角和与差的余弦公式之后的另外四个三角恒等变换公式的学习，又是即将要学习的二倍角公式的基础，是三角恒等变换的基石，起着重要的承前启后的作用。在高考中，由于三角函数所占分值比重较重，而且三角恒等变换为常考题型，因此作为三角恒等变换的基础，两角和与差的正弦、正切公式又显得尤为重要。3.1节（两角和与差的正弦、余弦、正切公式）共分4课时，两角和与差的余弦、正切公式为第2课时。教学目标：1、知识目标：①、通过利用两角和与差的余弦公式对正弦、正切公式的探究，加强对和差角公式的认识。②、熟悉推导两角和与差的余弦、正切公式的过程，体会三角变换的规律与技巧及代换法的作用。③、学会公式的简单应用：正用与逆用。2、能力目标：①、通过对两角和与差的正弦、正切公式的探究和推导，提高学生的逻辑推理能力。②、通过公式的灵活应用，培养学生的方程思想和变换能力。③、培养学生思维的有序性和表述的条理性。教学重、难点：教学重点：①两角和与差的正弦、正切公式的推导过程与公式的运用。②培养学生用已有知识构建新知的能力，并且能掌握新知及应用新知的能力。教学难点：公式的探索，包括过程的组织和引导。教法学法：1、教师进行启发引导式教学，指导学生主动参与公式的发现、推导和应用，对学生探究的结果、及公式应用的成果展示做合理的评价。2、学生采取自主探究、小组讨论、合作交流的学习方式，并展示自己的学习成果。教学手段：教师利用多媒体平台，展示教学内容与教学过程，学生用小黑板展示小组的探究成果。教学流程：温故知新，创设情境明确探索目标及途径组织学生自主探索通过例题、练习加强对公式的理解课堂小结作业布置教学过程：【温故知新，复习引入】1、======2、C(α-β)=C(α+β)=由C(α-β)推导出C(α+β)的详细过程：3、求值：==设计意图：在复习、巩固原有知识的同时，也为本节课做好知识储备工作。【新知探究1】提问：正余弦之间如何转化，可否利用cos(α+β)公式来推导sin(α+β)的公式？利用诱导公式可以实现正弦转化为余弦，然后再用cos(α+β)公式来推导。在整个推导过程中，利用提问激发学生的思维，引导学生的思考方向，且让学生意识到新旧知识之间紧密的关联性。此推导过程师生共同完成，为接下来其它公式的探究做好示范。探究过程：，简记为S(α+β)【新知探究2】提问：sin(α-β)公式如何推导？你能用几种方法来推导？教师先给出提示：可以类比sin(α+β)公式的推导方法，即通过诱导公式转化为由cos(α-β)公式来推导。也可以直接利用sin(α+β)来推导，即使用代换法。此探究过程由学生独立完成，再组内交流，然后课堂展示。目的是培养学生独立分析问题、解决问题的能力，培养学生用类比思想去解决问题的意识，培养学生使用刚获取的知识来解决问题的意识，让学生体会代换法的作用。教师根据学生的探究成果，总结以下公式：，简记为S(α-β)【新知探究3】提问：tan(α+β)如何由tanα和tanβ表示出来？使用切化弦能否解决此问题？给出指令明确的提问，能正确地指引学生的思维方向，同时让学生意识到在三角变换中切化弦是一种常用的方法。在探究过程中需提醒学生注意正切函数对角度范围的要求，及分子分母同时除以时的运算。此探究过程师生一起合作完成。探究过程：，再分子分母同时除以，所以有：上式【新知探究4】思考1、请类比tan(α+β)公式的探究过程，推导出tan(α-β)公式。思考2、请用代换法推导出tan(α+β)公式。此探究过程由学生独立完成，再组内交流，然后课堂展示，提醒学生注意角度范围的限定。教师根据学生的探究成果，总结以下公式：简记为T(α-β)【新知巩固】提问：两角和与差的正弦、余弦、正切公式共6个，它们之间的有怎样的规律及联系？学生作答（1）6个公式中，和角公式与差角公式各为3个。（2）和角（或差角）公式之间可以互推。（3）同名公式之间通过代换法可以互推。（4）画出6个公式之间的逻辑联系框图。CC(α+β)C(α-β)S(α+β)S(α-β)T(α+β)T(α-β)【新知巩固】例题1、已知，是第四象限角，求，，的值。此例题注意事项：1、加强对公式的理解与应用。通过例题，训练学生思维的有序性和表述的条理性。2、讲解中提醒学生注意α的角度范围。3、求解过程师生一起合作完成。思考1、将例中的条件“α是第四象限角”的条件去掉，即仅已知，则又该如何求解？(请给出求解思路)思考2、在此题中，若α为任意角，该等式是否成立？通过思考题，培养学生的解题习惯和分类讨论思想，强化公式的应用，培养学生多角度思考问题的习惯。例题2、利用和(差)角公式计算下列各式的值强调公式的逆用，培养学生的逆向思维，第3、4小题需进行一个小的变形才能直接套用公式。课堂练习：1、求下列各式的值(1)cos75o(2)sin15o(3)tan15o(4)sin72ocos18o+cos72osin18o(5)sin34osin26o-cos34ocos26o2、已知，求的值。3、已知，是第三象限角，求的值。4、已知，求的值。通过课堂练习的训练，加强学生对公式的理解与应用，培养学生在三角变换方面的答题习惯。此过程学生独立完成，组内交流，再全班展示，教师对学生的答题作出点评。【课堂小结】提问1、两角和与差的6个三角公式之间的有怎样的区别与联系？提问2、公式的逆用中需要注意什么？求两角和（或差）的三角函数值时需要注意哪些问题？【板书设计】多媒体课件展示区多媒体课件展示区学生成果展示区学生成果展示区结论与公式板书区【课后作业】1、教材137页第6、7、8、9、10题。2、选做题：教材132页第6题。教学反思：本节课实现了教学目标的要求。该部分内容的教学主要是借助老师的引导，让学生自己去探究公式，重在探究的过程，而不是仅仅告知学生一个数学公式。学生在探究的过程中，数学思维得到了训练，感受到了新旧知识之间紧密的关联性，体会到了代换法的快捷。公式的应用上应以基础题为主，从而达到熟悉公式的目的，同时学生的逆向思维也得到了训练。学情分析一．学生数学学习的现状现我担任高一（3）、（4）两个班学生数学课，这两个班都为文科普通班，共有学生80人，学生学习基础普遍较差，而且在教学实践中，我们发现很多学生在数学学习中非常地被动，而且一连几次考试成绩都不理想，一般的同学学习目的明确，都想考大学，将来进一步深造报效祖国，但学习态度时好时歹不能坚持，尤其是学习过程中不良的学习习惯、方法严重阻碍了学生学习效率的提高，也不利于学生学习品质的改善，制约了学生全面素质的提高。这些不良学习习惯主要表现在以下几点：1、课前没有做好预习2、上课听课效率差，注意力不能集中人在教室心不在教室现象比较严重3、数学笔记习惯照搬抄老师板书不动脑筋，甚至以记代“听”，以记代“思”4、作业是边翻书(或翻笔记)边做的，作业抄袭学生较多5、考试没有信心，怯场，不注意审题，时常出现看错，看漏现象。解题速度慢，不能科学合理地解题6、学生基础普遍不扎实，对知识的融会贯通能力较差等。二．对策分析1．发挥引导作用，抓住学法指导的首要环节①加强课前预习的指导②加强听课方法的指导③加强记数学笔记方法的指导④加强做作业方法的指导⑤加强应考能力的指导2．发挥主导作用，抓住学法指的主要环节学生的学与教师的教密切相关，教师“善教”，学生才能“善学”、“乐学”、“会学”，进而“主动学”、“创造性学”，从而达到“持续发展地学”。反之，学生会视学习为苦差，甚至产生消极、对立、厌学的情绪，因此，教师在课堂上真正发挥其主导作用是学法指导的主要环节。①创设问题情景，发展良好的非智力因素②暴露思维过程，启示导学③引导学生归纳总结，促进导学教师应在平时教学中帮助、引导学生学会总结、归纳，形成比较完整有序的知识结构、学生往往会在“轻松学习”的实践中发展意义识记能力。3.加强教师个人教学水平，提高教学有效性。不断加强新课程理念的培训和学习，学会用新教学理念进行教学，并向优秀教师学习请教，提高个人业务素养。4.加强与学生的交流互动，了解学生的学习状况，做好学生的思想教育工作，培养学生良好的学习态度，搞好师生关系，提高教学和谐度。5．成立学习兴趣小组，让学生自主学习，教师辅助辅导，提高学生的学习兴趣。总之，还要更加努力，关心和帮助学生，为了学生的健康成长，不断努力吧。效果分析1.能有效提高课堂效率通过对比研究，我们认为分层教学能激发学生的学习兴趣，最大限度地满足了不同层次学生的需要，充分体现了因材施教的教育原则。学生的学习方法更加灵活多样，学生对掌握学习方法的兴趣越来越浓，师生间、学生间的交流大幅度提高，创设了一个民主和谐的课堂氛围，从而有效地提高了课堂教学效率。2.能有效地促进同步教学中的分层练习学生学习了新的内容后，要把获得的新知识加以巩固、加深，才能达到预期的教学目的。在小组讨论这一环节中，教师根据学生之间的差异，从学生的知识掌握的程度，设计了当堂达标练习，由学生按照自己的学习基础、学习兴趣来选择适合自己水平的练习，巩固所学知识。3.能有效促进化学课堂逐层进化分层练习，避免了传统的单一练习的问题，同时，在分层练习中，教师不是硬性规定某一层学生要做相应的一层练习，而是设置学习的“阶梯”，为学生提供前进机会，鼓励学生在掌握完成本层次目标的同时，选择高一层目标，使学生在学习过程中看到自己的进步，从而促进其个体的发展，实现向高一层次目标靠拢的目的。4.有利于提高学生学习的积极性小组讨论教学由于把差异不大的学生分在一组，增加了学生间的竞争意识，使学生在原来学习的基础上更进一步掌握技巧和技能，提高学生学习的积极性，学生的学习由被动接受转为主动学习，从而达到了化学课教学的目的，提高了课的质量。1．教材的地位和作用本节是人教A版必修4第三章第一节的第3.1.2节，是继两角和与差的余弦公式之后的另外四个三角恒等变换公式的学习，又是即将要学习的二倍角公式的基础，是三角恒等变换的基石，起着重要的承前启后的作用。在高考中，由于三角函数所占分值比重较重，而且三角恒等变换为常考题型，因此作为三角恒等变换的基础，两角和与差的正弦、正切公式又显得尤为重要。3.1节（两角和与差的正弦、余弦、正切公式）共分4课时，两角和与差的余弦、正切公式为第2课时。2．教学目标：知识目标：①、通过利用两角和与差的余弦公式对正弦、正切公式的探究，加强对和差角公式的认识。②、熟悉推导两角和与差的余弦、正切公式的过程，体会三角变换的规律与技巧及代换法的作用。③、学会公式的简单应用：正用与逆用。能力目标：①、通过对两角和与差的正弦、正切公式的探究和推导，提高学生的逻辑推理能力。②、通过公式的灵活应用，培养学生的方程思想和变换能力。③、培养学生思维的有序性和表述的条理性。情感目标：通过公式的推导、论证过程，培养学生学习数学的严谨、求实的科学态度。通过老师启发引导、鼓励学生大胆尝试，培养学生勇于探索创新的精神。3．教学重点、难点：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，是数学学习的一种新的方式，它为学生提供自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用。高一学生虽然具有一定的抽象思维能力，但是从实际中抽象出数学模型对于学生来说还是比较困难的，需要老师的正确引导。由此制定出本节课的重难点如下：教学重点:①两角和与差的正弦、正切公式的推导过程与公式的运用。②培养学生用已有知识构建新知的能力，并且能掌握新知及应用新知的能力。教学难点:探索过程的组织和适当引导。这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。、两角和差的正弦余弦正切公式练习题知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β.cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)．(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).4．函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a)一、选择题1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β，等式恒成立；②存在实数α，β，使等式能成立；③公式成立的条件是且；④不存在无穷多个α和β，使；其中假命题是 （） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④2．函数的最大值是 （）A． B． C． D．23．当时，函数的 （）A．最大值为1，最小值为－1 B．最大值为1，最小值为C．最大值为2，最小值为－2 D．最大值为2，最小值为－14．已知的值 （）A． B． C． D．5．已知 （）A． B．－ C． D．－6．的值等于 （）A． B． C． D．7．函数其中为相同函数的是 （）A． B． C． D．8．α、β、都是锐角，等于 （）A． B． C． D．9．设的两个根，则p、q之间的关系是（）A．p+q+1=0 B．p－q+1=0 C．p+q－1=0 D．p－q－1=010．已知的值是 （）A． B．－ C． D．11．在△ABC中，，则与1的关系为 （）A． B．C． D．不能确定12．的值是 （）A． B． C． D．二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知，则的值为.14．在△ABC中，，则∠B=.15．若则=.16．若的取值范围是.三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．化简求值：．18．已知是方程的两根，求的值.19．求证：．20．已知α，β∈（0，π）且，求的值.21．证明：.22．已知△ABC的三个内角满足：A+C=2B，求的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C2．A3．D4．D5．B6．C7．C8．B9．B10．D11．B12．A二、13．m14．15．16．三、17．原式==．18．， ．19．证： 右．20．21．左=右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设知A=60°+α，C=60°－α，故．课后反思本节课的实施从整体上说是比较顺利的，教学目标基本达到。为遵循“以学生为主，教师为辅”的原则，在我的引导下，学生的思维活动展开的比较充分，在课堂上学生积极参与，积极探索，学习的热情较高，在对公式的理解，思想方法分析能力,逻辑的体会，以及运算推理能力的提高等方面都有较大的进步。针对上课情况反映出来的问题，现在我谈谈在上完这节课之后的感想，作一小结和反思，以便更好的服务于课堂教学。一、教学要求分析知识与技能：①、通过利用两角和与差的余弦公式对正弦、正切公式的探究，加强对和差角公式的认识。②、熟悉推导两角和与差的余弦、正切公式的过程，体会三角变换的规律与技巧及代换法的作用。③、学会公式的简单应用：正用与逆用。过程与方法：通过对两角和与差的正弦、正切公式的探究和推导，提高学生的逻辑推理能力。情感、态度与价值观：让学生感受数学知识的相互联系，培养逻辑推理的思维能力，树立创新意识和应用意识，提高数学素质。二、教学内容分析本节内容是人教A版必修4第三章《三角恒等变换》的第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》的第二小节。本节是人教A版必修4第三章第一节的第3.1.2节，是继两角和与差的余弦公式之后的另外四个三角恒等变换公式的学习，又是即将要学习的二倍角公式的基础，是三角恒等变换的基石，起着重要的承前启后的作用。在高考中，由于三角函数所占分值比重较重，而且三角恒等变换为常考题型，因此作为三角恒等变换的基础，两角和与差的正弦、正切公式又显得尤为重要。3.1节（两角和与差的正弦、余弦、正切公式）共分4课时，两角和与差的余弦、正切公式为第2课时。然而为了更好的构建学生的知识体系，在学生学习完第一章后，能够直接进入第三章的学习，就必须给出另外一种推导两角和与差余弦公式的方法。因为该公式是全部和、差角公式，以及倍角、半角等公式的基础，是本章公式推导的“源”。所以两角和与差的余弦公式不仅起着承上启下的核心作用，也是高考的重点考点。三、教学过程分析（一）情景导入自然课本中以一个实际问题作为引子，开门见山地在提出问题所以先让学生有一个直观的认识，这几个等式是不一定成立的，从而引出二倍角公式的相关内容。（二）例子有效变式本节课共有两个例子，两个例子围绕变换的目标，变换的内容，变换的方法，变换的结果，都在原例子的基础上变了形，然后增加了变式，同时要求学生能举一反三，通过对例子的讲解，能对变式训练进一步掌握，从而能够对两角差的余弦公式的灵活应用！（三）练习层次分明为使学生熟悉公式，并做到对公式的深刻理解，我设计了三个梯度。梯度一：倍角的相对性；梯度二：熟练公式结构；梯度三：灵活应用公式。由简到难，从简到繁，层层推进，这样遵循学生认知规律，明晰学生思维特点及能力，在学习中充分体现学生的主体性及独立性，并且给予学生足够的时间及空间去体验学习过程。（四）师生互动良好学生是课堂的主人，所以要把课堂还给学生。我也朝这个方向努力，学生能自己解决的问题让学生自己解决，所以本节课师生互动还可以。（五）多媒体使用恰当在上课之前，花了很多心思在做课件上，所以课件还算精美！特别在推导公式过程中，能够直观、形象地显示出推导变换过程，学生容易明白其中原委。并且为了节约时间，上课时把学生的演算过程用投影仪多次投象，这样，学生既可以看清楚同学的做题思路，又可以纠正错误的地方！（六）情感饱满语言丰富苏霍姆林斯基曾说：“有激情的课堂教学，能够使学生带着一种高涨的激动的情绪从事学习和思考。”激情有着丰富的内涵，它能够唤醒沉睡的潜能，打开封存的记忆，激活僵化的思维，放飞囚禁的心情，在课堂教学中老师要用自己的激情和智慧为学生创设一个民主的、开放的课堂。语言幽默风趣，肢体语言丰富，这着实给课堂带来活跃的气氛。（七）不足之处1、一堂课下来虽然比较顺畅，但在把握一堂课里的重难点还需再斟酌。本节课主要解决什么问题？一定要弄清楚。2、在例子的选择上还可以再推敲。不仅仅要具有代表性，更需要提供解题的思路与方法。3、在课堂中，基本上能调动学生的积极性，让学生参与的教学中。但在如何更有效的提问还可以再商榷。4、课堂时间的安排能否更加合理。让学生可以多动脑，多动手！老师霸占课堂的时间不要过多。把课堂真正的还给学生。四、今后努力方向在今后的教学工作中，需不断总结、反思。作为数学教师，一方面要激发学生学习数学的兴趣，让学生感觉到每解决一个数学问题，就有一种成就感；另一方面，更重要的是教师本人要不断提高自己的专业素养。在总结、反思中不断提升自己的教学水平，以适应课程改革的教学需要。一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会