计算机辅助几何设计

第5章计算机辅助几何设计

5.1自由曲线

5.2自由曲面CAD中由已知曲线或曲面的数学方程生成的曲线曲面称为规则曲线曲面，常用隐函数或二次方程的显函数表示。但在汽车、轮船、飞机、模具、艺术品等产品设计中，存在大量的不能用二次曲面描述的曲线曲面，这类曲线曲面称为自由曲线（FreeFormCurves）和自由曲面（FreeFormSurfaces），这是计算机辅助几何设计研究的主要几何形状。5.1自由曲线5.1.1曲线曲面描述的基本原理5.1.2Hermite曲线5.1.3Bezier曲线5.1.4B样条曲线5.1.5非均匀有理B样条（NURBS）曲线5.1.1曲线曲面描述的基本原理自由曲线可以是由一系列的小曲线段连接而成，自由曲面可以是由无数个小的曲面片拼合而成。因此，曲线曲面的研究重点是曲线段或曲面片的描述及其连接拼合方法。1.几何设计的基本概念在自由曲线和曲面描述中常用三种类型的点：（1）特征点（控制顶点）：用来确定曲线曲面的形状位置，但曲线或曲面不一定经过该点。（2）型值点：用于确定曲线或曲面的位置与形状并且经过该点。在曲线曲面设计中，通常是用一组离散的型值点或特征点来定义和构造几何形状，并且所构造的曲线曲面应满足光顺的要求。这种曲线曲面定义的主要方法是插值和逼近。（1）插值：给定一组精确的数值点，要求构造一个函数，使之严格地依次通过全部型值点，且满足光顺的要求。（2）逼近：对于一组给定的控制顶点，要求构造一个函数，使之在整体上最接近这些控制点而不一定通过这些点。（3）光滑(smooth)：从数学意义上讲，光滑是指曲线或曲面具有至少一阶连续导数。（4）光顺(fair)：至今仍是一个模糊的概念，尚无统一的标准。一方面有主观的因素，另一方面与应用背景相关。但仍有一些客观标准及处理方法。曲线曲面可以用隐函数、显函数或参数方程表示。用隐函数表示不直观，作图不方便（如ax+by+c=0）；用显函数表示存在多值性（如x2+y2=r2）和斜率无穷大（如y=mx+b）等问题。此外，隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线曲面。自由曲线曲面多用参数方程表示，相应地称为参数曲线或参数曲面。空间的一条曲线可以表示成随参数t变化的运动点的轨迹，其矢量函数为：P(t)=P(x(t),y(t),z(t))，t的范围是[0,1]同理，空间中的一张曲面可用参数(u,v)表示为：P(u,v)=P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，(u,v)的范围是[0,1]×[0,1]2.曲线曲面的数学描述方法用参数表示曲线曲面的优点：（1）具有几何不变性。某些几何性质不随一定的坐标变换而变化的性质称为几何不变性。曲线形状本质上与坐标系的选取无关。（2）可以处理无穷大的斜率。dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)（3)参数方程将自变量和因变量完全分开，使得参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来。（4）可以处理多值曲线。（5）规格化参数变量，使其相应的几何分量是有界的。由于参数限制在0到1的闭区间之内，因而所表示的曲线总是有界的，不需另设其他数据来定义其边界。（6）对曲线曲面形状控制的自由度更大。如一条二维三次曲线的显式表示为：（7）易于用矢量和矩阵表示几何量，从而简化了计算。

其中只有4个系数可控制曲线的形状，而对于其参数表示为：

其中有8个系数可用来控制曲线的形状。5.1.2Hermite曲线Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以及两端点处的切线矢量来描述曲线。空间一条三次参数曲线可以表示为：

该曲线的矢量表达式为：

应用端点P0和P1，以及端点切矢P0’和P1’,可得：矩阵滴表达周式为：于是端，5.些1.耽3须Be访zi跪er俯曲线19蚁62劈燕年，赴Be幅zi顾er策提出眨了一驴种自帜由曲撞线曲疗面的锈设计冶方法倚，称钻为B周ez制ie后r方献法。侵其具雹体设待计过警程是锦：从模柔型或饲手绘狮草图票上取拦得数予据后底，用海绘图傅工具某绘出蠢曲线渐图，露然后拦从这赞张图锡上大认致定枕出B准ez匹ie芒r特记征多陆边形白各控斜制顶霜点的渡坐标掠值，爬并输桂入计界算机冬进行塑交互胶的几盆何设耀计，裁调整议特征愉多边多形顶目点的坝位置踏，直宵到得蹲出满料意的仿结果白为止妙；最冈后用舒绘图祝机绘诵出曲撒线样骗图。1.化Be虏zi意er翅曲线颈定义在空询间给愁定n锤+1牵个控题制顶愉点Pi(I办=0凤,1埋,…宗,n颜)，碌称下顺列拆参数倒曲线炭为n万次B条ez急ie辱r曲优线。称为腰伯恩稼斯坦略基函倚数（盾Be皆rn越st段ei烫n适Ba摆si箭s）药。一般浩称折女线为P众(t赌)的顷控制暂多边帜形；被称各点壁为P始(t庭)的活控制题顶点饥。（1年）三星次B连ez脑ie拳r曲语线常用痛的士三次揪Be贵zi脏er杠曲线童，由起4个修控制处顶点办确定膊。容睡易算幅出，般与其评对应洒的4竟个B奶er辨ns缸te诱in发基函只数为配：相应尚的B口ez案ie滥r桨曲线桌为（2触）二俯次B把ez航ie肾r曲填线二次牺Be扫zi裂er抢曲线达由三锹个控另制顶贼点确智定，汪此时蒙，相蜡应的阳曲线要表达肢式为对应僚于一注条抛愚物线攻。（3推）一却次B伞ez历ie酬r曲顿线一次排Be寒zi那er见曲线搬由两匪个控域制顶愈点确革定，棕此时接，相北应的居曲线筑表达抚式为这是尤一条拦连接糖P0和P1的直艺线段丈。2.瞒Be对zi犹er稻曲线矛的程娇序设掘计实际宽应用住的主薯要是购三次域Be盛zi关er托曲线馋。利苹用它核的参庆数表制达式绑在区捉间(消0,舌1)导内取弱多个苹值，桌例如嘱10漏0，筹计算询出这掏10鉴0个宋值对螺应的他坐标算点，肌依次睛连接绢这些乘点就爽得到曲一条军Be山zi品er狱曲线泛。为程及序设浙计方倒便，舌改写损曲线迈的表漆达式败为：注意绵：再竹添加伶一个灯z缓坐标毛，就竿可得甚到空袋间B亦ez突ie戏r曲伏线。3.架Be撑zi挂er玩曲线这的性毫质在B气er蜜ns调te息in竖基函讯数中，暑n祖为基助本曲齐线的可次数矮，淹i为槐基函夏数的惯序号闯。由巧排列树组合迹和导上数运趋算规基律可毯以推舱导出拍Be跃rn胀st分ei晃n基滚函数击的如按下性俱质：（1脊）正相性（舟非负饮性）铁：（2安）权爹性：（3币）冶对称周性：（4去）导辜数性隶质：（5女）递透推性蛮质：Be兔zi串er亚曲线闷的一敏些性昏质：1）斯端点冤性质曲线挎经过布特征挽多边袋形的火首末与点。匙因为曲线渗P(傻t)杆在P0点与励边P0P1相切湿，在陶Pn点与2）昼对称铁性由B捉er误ns含te压in酿基函亏数的锹对称欢性可域知，补控制怨点的胖次序花完全我颠倒涂过来竿后，肚曲线枯的形备状不泊变，饲但走性向相世反。垮这表段明,鲁同一导特征赔多边针形定壳义的供Be裤zi弯er宪曲线递是惟丈一的膝.相切拐。因敢为（3再）注凸包狐性所以船，P(堂t)额是P0,P1,…套,Pn凸线末性组嘉合。恩这处证明缓Be丸zi谷er析曲线沙完全哪被包持在其品特征呼多边庆形的垦凸包携内。所以掩，控谎制顶永点P0,P1,…爸,Pn的凸旧包为贪:（5越）交崭互能悲力（4瞒）子几何兼不变店性由给暂定控栽制顶下点所糖确定隐的B顺ez肆ie再r曲企线的伸形状仇与坐幻玉标系敲的选带取无灶关。吓此性巷质就甜是B阶ez决ie括r曲渠线的菠几何搬不变桶性。几何答不变个性对绪几何炕图形鹿来说络是一膨种很初重要漂的性俘质。涌在计金算机丸图形疮学中绢经常肺要作亦坐标蔬变换察，如藏果同渠一表尤示式叶在不项同坐火标系决下表闹示不沟同的变曲线威，则粱会给惕图形债变换乔带来所很多独不便中之处献。控制锁多边堡形P0P1…Pn大致根地勾唐画出Be昆zi材er怒曲线糕P(何t)款的形幻玉状。唉要症改变肢P(自t)鼓的形御状，粪只要裳改变矮P0,P1,…布,Pn的位扶置即币可。（6咐）变陈差减报小性（7犹）保笼凸性如果Be莫zi面er怎曲线暴P(苍t)覆的控榴制多虎边形列P0P1…Pn是一忌平面欠图形逆，则贞该平拔面内必的任晕意直解线与P(穷t)从的交箱点个仙数不藏多于冻该直来线与拐控制滴多边汇形P0P1…Pn交点务的个蛾数，壤这一脸性质接称为探变差子减小排性。索此驶性质瞎说明Be伸zi母er匠曲线框比控刮制多厘边形宰所在定的折超线更篮光顺堤。如果梦平面喜上的班凸控屠制多蚕边形胡能导嫂致所速生成以的曲予线为凡凸曲培线，蜡则称肾这个逗曲线信生成浊的方兔法具餐有保逮凸性使。我们狂将控控制多殃边形爬的终待点与野起点皇连起等来，崇如果盏这样洁形成到一个直闭的孔凸多秀边形至，则梳相应况的Be视zi罢er拾曲线音是一漂个凸茧的平麻面曲雅线。矩此性剖质就倒是B型ez筹ie溜r防曲线盘的保颈凸性初。4.Be妈zi旅er泪曲线唉的拼驶接与掌反算Be弓zi灯er敞曲线裕的次族数是证由其严控制贪顶点铜确定膝的。劝常用酒的三屋次B熊ez规ie而r曲臭线由京四个叶控制威顶点钓确定拌。多控粒制点玩(n著>4荷)的糠三次雀Be警zi催er愁曲线扔存在孙着几得条曲镜线的藏拼接原问题蛋，其携关键姿问题蒸是如盛何保壶持拼斯接处群的连疼续性陡。不达同的翅问题做在连妇接点阀处对架连续锦性有稿不同割的要锹求，羞常用贷到的嗓有以躬下几巴种：连续参数错连续:切矢糠同向腿且模滨长相短等.几何逢连续:切矢懂同向妻.1)河拼董接P1P0P3攀=Q咸0Q2Q1P2Q3设P赛(t衔)是撇Pi(i阶=0赠,1煮,2谈,3闯)确轿定的惩三次认Be茶zi碌er穗曲线愁;Q(慌t)钞是Qi(i替=0负,1砍,2捧,3轮)确稀定的误三次魔Be井zi寨er增曲线毯.P3=Q0,满足1)团两律曲线伶在连淹接点败达到及一阶丸导数骨连续杠的条肉件为0<钩=t膜<=离1即亦即洪,P镜2、愈P3眯(Q链0)封和Q申1共蛾线，袄且P遗2、剪Q护1在就P3忙的异屿侧。2）养两曲瘦线在堂连接集点达肺到二持阶导悄数连派续的般条件贼为由可得根据第以上苍条件扯，可率以调拾整P杯(t萄)和无Q(晋t)肺这两樱段曲艇线，稿使得腥在连企接点执处达忆到一波阶几兽何或开导数细连续守：步骤即1：挤平移烂多边贱形使Q裳0与扭P3悄重合天。步骤径2：汁围绕尾Q0转动守多边饺形使与平行伏且同晕向（惊或模足长相戒等）朗。P1P0P3样=Q饱0Q2Q1P2Q3所谓妙曲线导控制限顶点本的反饮算是辰指由半曲线毛上的庆一系车列点授（称之为哪型值王点）商反求猴出该嫁曲线漂的一胜系列组控制接顶点习的过秆程。如果霉给定耀n恭+1吃个型专值点,要谅求一丢系列形控制点尼，由博这些考控制胞点定厘义的菌一条尾Be筹zi渐er润曲线姻通过百已知介的型素值点猪，这私与平羡常给厚定控企制点醒求型欠值点梁的过薯程恰盼好相争反。设所来求的敏控制菊点为，它定柜义的点Be堡zi迷er曲线洲为P河(t泥),护满聋足，于漠是注意绝：t洽的取烤法不锻同，足反求错的控讽制顶救点不浆同。2)串反算5.嘉1.那4上B样少条曲购线Be粉zi宗er拆曲线备是通翠过逼呼近特裳征多毙边形耳而获照得曲肢线的宰，存证在的烘不足铁是：1）陶缺乏挺局部前修改烫性,豆即塞改变存某一础控制勺点对研整个悄曲线姥都有月影响秩.2）绞n较舟大时猜，特绝征多援边形展的边羊数较脊多,河对曲熟线的主控制鄙减弱叉。19嫂72踢年，夺Ri锅es山en犯fe宰ld婚等提韵出了埋B样锹条曲情线。用唐B样比条基撑函数薯代替陵Be繁rn功st耗ei凑n基界函数宵；逼近则特征置多边稍形的都精度喝更高流.多边排形的折边数心与基粥函数赠的次钥数无扑关。具有足局部标修改率性.设有然控制兆顶点P0,P1,…欢,Pn,则倡k阶(异k-昨1次忌)B捐样条轰曲线凳的数杯学表夏达式妨为:式中裁Ni,k(t刷)是k-发1次谁B样暗条曲废线的压基函给数.柜它由兽一个制结点喊向量长递归情定义屿,它忍仅在涌某个等局部截不等宫于零荷,因居而使塑B样惧条曲尝线具文有局嫂部可遭修改钢性.三次恢均匀圆B样太条曲编线对于旬n+胆1个古控制码顶点，每四索个顺卧序点1.三次竭均匀朱B样餐条曲遍线的饰表达茶式一组构造昏相应施的一问段三呈次B姓样条途曲线垦：其中N0,递4(t)=导1/鉴6(省1-脊t)3保,N1,尝4(t)=夜1/凉6(新3t3-6简t2+4剑),N2,誉4(t)=风1/邪6(芦-3或t3+3肥t2+3乌t+爸1),N3,村4(t)=班1/聚6t3所以街，Pi(t施)的柄矩阵踩表达也式为根据不上式躬可以鼠在平夏面直摄角坐甩标系露中设统计三蠢次B欣样条仗曲线衡生成丽的程纠序.Pi(0悲)Pi+切3Pi+菜2Pi+错1PiP’i(0序)P’i(1舒)Pi(1嘉)2.宴三侨次均柳匀B连样条乌曲线帐段的像几何防特性骨、拼塞接3.三次景均匀叮B样哥条曲炉线的干边界桐控制素与反颗算P0Pn-去1P1P-1PnPn+顶1在始抬端和隶终端王各增充加一冶个顶嫁点P-1和Pn+喊1,使P-1P0=P0P1Pn-阔1Pn=PnPn+耳1则P0(0括)=乔P0,响P0’=P1-P0.根终点酷具有橡类似茄的特苹性.边界缘瑞处理在实上际应旁用中族,往志往需句要所脖设计想的B样条顷曲线叉通过拒控制疏多边碎形的汪起点钉和终扶点,廊这就傅需要摄对曲幕线的侨边界寒进行栽处理讯.有警多种侄处理既方法斑,现高介绍省一种述:2)跨控制描顶点各的反僚求在实漏际应娇用中哄往往脆是知箱道曲蜡线上志的型殊值点庙,而超并不菌知道仪特征挺多边帖形顶画点的执位置骗,为蠢构造底B样奔条曲丘线,锄就需阵要由蹦这些般型值蚂点反患求出蒙特征膝多边蕉形的惯顶点堤,这吊就是沃B样程条曲大线顶福点的躁反求摘.设已煎知型底值点验列Qi(i辛=1云,2讽,…错,n查-1搬),邪要怒求一访条三册次B冤样条套曲线谦经过对这些滥点,宣求出杠这条串曲线公的控婚制顶督点Pi(i改=0剧,1需,…配,n束).由曲幸线的牙端点小性质鬼可得婆下列步线性树方程浑组:Pi-始1+4朵Pi+Pi+拼1=6炮Qi(i太=1梦,2速,…妥,n腾-1何)再补养充两邮个边满界条张件就蹲可得象到唯壳一解旧.祸例如识,已贿知Q1和Qi-膛1处的长切矢准,则难有把它渡们写忘成矩盼阵形摧式为5.用1.吹5扰非辽均匀响有理剖B样滚条（文NU屑RB涨S）晒曲线它提灶供了愁解析饱曲线软(如秃圆锥垮曲线拴)和国自由疲曲线振统一蓄的数糖学描犬述,腿便于赠工程陈数据州库的离管理厌和应才用.NU膜RB的S曲线辱的定筑义:搅给五定n训+1怠个控膜制点惨Pi(i悬=0子,1词,…竞,n渡)及其退权因屯子Wi(i池=0迁,1绸,…拉,n厦),则k悬阶(付k-卫1次拉)N夺UR岂BS侧曲线储的表腐达式盟为:缺点弯:计挎算量名大、姻当权虑因子捡为零腿和负值值时晃容易汤引起扁计算税的不柜稳定童，导巷致曲裙线畸丹变，捎因此挠使用NU魔RB矛S时扫应有胀适当李的限危制以颜保证刚算法座的稳浩定性苦。5.别2拔自由膨曲面5.佩2.防1参数旋曲面颂的概析念5.缓2.系2疯双臣三次壮曲面俊片的额数学另表示5.奇2.途3蚁曲惜面的值反算庸、拼纯接和自互化5.杂2.版4宁新的起自由泼曲面新造型拴技术5.茧2.梅1乱参银数曲梦面的遗概念P(准u,亩w)远=[x(u,养w),y(u,袋w),z(u,民w)]0<勉=u,属w<=暴1011uw(u,匹w)u和w向切途矢：四个怀角点枪的u向和w向切茂矢为旷：Pu(0资,0妇)、Pu(1幸,0膏)、Pu(0劈燕,1迟)密、Pu(1页,1邮)、Pw(0比,0俭)、Pw(1醒,0姥)、Pw(0拒,1自)浆、Pw(1思,1既).混合絮偏导内矢（丧扭矢跳）：四个还角点贪的扭反矢为掘：Puw(0丧,0宏)、Puw(1跪,0屈)、Puw(0被,1株)虚、Puw(1画,1愧)三次稀曲面汇的数档学表童示双三宾次曲献面片棋的代索数形融式为其矩雕阵表翁达式塘为其中，构造廉双三圆次曲助面片驶的的栽关键蝴是确足定矩赔阵方绪程中窑的系叼数矩旺阵。1.凝孔斯序（C仙oo轰ns品）曲乏面由曲腐面四肠个角志点、五每个台角点千处的饶两个除切矢壳及四雄个角秆点处命的混匪合偏硬导矢口（扭给矢）躁确定呼曲面夕。Co斜on唐s曲钻面的投特点梯：属于锣构造况插值淋曲面爆的方菠法，能曲面颤构造薯的几封何意混义明险确且灾曲面忆的表塔达式犬简洁狮，主灿要用不于构辰造那消些通燃过给莫定型柴值点乎的曲板面，俘而不蜂适用忌于进坐行曲尺面的粉设计宰。这蒙是因蔬为：在曲返面设下计的惯初级宿阶段存，设龙计者史对其狸所设世计产若品的戴外形偶仅有渔一个亿非常蓄粗略立的概嫂念。狡为得槽到满技意的窝外形随，需痒要不读断地葱修改滋型值溉点的荣位置纪。上止述方蝴法对距位置川尚未套最后驾确定辆的型脆值点垄构造敢插值固曲面夫，显羽然是技不合妈理的流。由于送扭矢识的几驾何意沿义不惑很明售显，嘱工程庸设计归人员样难以河把握刺，因馅此难坑以提喝供精轿确的赶角点捧信息嗽，使悦曲面领的形膀状不有易控穷制。不具互备局部槐性。修改鸦任意妻一个型值悬点都却会影痛响整渣张曲丘面的搅形状找，而帜其形秃状变浪化又欣难以袜预测刃。2.四B凝ez夜ie茧r曲面用控纹制多孕边形炎网格台（特悲征网汉格）京替代减点矢害、切颤矢与牛扭矢素构造建Be霉zi胳er肢曲面盛。双三悠次B谈ez馅ie厉r曲类面片可以爽认为事控制愤网格游是曲卡面P沟(u,w)大步致形下状的山勾画怎；P罩(u,w)是倍对控仗制网忧格的茂逼近。Be族zi泳er朱曲面搂的特座点：Be苏zi羡er迈曲面叙是以挎逼近纤为基保础的怀曲面愉设计搂方法米。它环先通且过控誉制顶危点网齿格勾嗓画出齐曲面士的大避体形叮状，接然后输通过物修改击控制关顶点依的位恳置修灭改曲炼面的府形状园。这将种构宗造方饭法比俱较直晓观，慎易于铜为工捎程设至计人君员所艳接受完，因瓜而获蚁得了赞广泛澡的应不用。这种戚方法抚不具货有局建部性彼，即修改浅任意满一个控制雹顶点谅都会扩影响福整张腾曲面仅的形杂状。3.拨B样奔条曲缠面用控伍制多饰边形夕网格挺（特喷征网洒格）沸替代另点矢施、切速矢与敌扭矢破构造慎曲面双三模次均考匀B雅样条港曲面箩片注意:Ni,猾3(t娘)为泊3次闷均匀蛾B样附条基较函数彩.特点拥：B样派条曲溪面构折造方聋法是史Be莲zi北er喘曲面贞方法证的推业广，励它用走B样规条基侧函数颜代替私Be薄zi饭er妻方法恶中的飘Be新rn稿st潜ei架n基帝函数据来反职映控吉制顶然点对贴曲面虑形状尾的影牵响。陡它在塘保留球了B许ez修ie片r曲意面设真计方坟法几足乎所陶有优济点的蛋同时读，解篇决了姥Be杆zi喜er然曲面宜设计晋中存山在的乱局部猫性修首改问孔题。4.非均娱匀有走理B打样条曲面（N非UR苹BS润）给定乔一张倘(m+1乐)x链(n+1勿)的常网格汉控制路点Pij(i=0董,1截,…牲,m;j=0秘,1佣,…洋,n),洞以及扰各控役制网革格点佳的权俱值Wij(i=0樱,1登,…船,m;j=0载,1喊,…功,n)，短则其丙确定闷的N纲UR组BS树曲面糠的表倦达式晨为：优点艘：规则麦曲面民与自锅由曲挤面精寄确的暖统一恶的数编学表矛示。有多每种方宽式定垫义曲无面，田但构视造这床些曲节面的注数学碧基础哪以及紧在造拌型系宾统中突存储嚼它们越的方葬法是绳相同辛的。场N谋UR形BS党方法哨已成蚁为众颠多C队AD躲/C级AM植系统瞎的基距本几刚何表幸达式论和数展据交绵换标讨准。5.谱2.费3禽曲面竟的反鲁算、奇拼接鬼和互胆化反算1）趟实际舱应用急背景2）姨反算宴算法第1涨步：软将一免个参钓数方蜂向上倘的型云值点液（如u方向避）依夏次按氧曲线吊反算盘方法垂反算蹲出一码系列益点；第2颈步：第沿另呢一个昨参数来方向迁（如w方向层），免将第倍一次播反算逮得到厉的点忘再按叛曲线翠反算票方法穿反算掀出另更一系舱列点泛，第冒二次预反算马得到川的点鞠即为拢曲面难的控旅制点顽。2.忆拼接以双形三次阳自由倡曲面朋为例倦，相羡邻两狸片曲注面光哪滑拼靠接的承条件亮为：1）笋对C克oo咬ns吹曲面例：两让张双笔三次抓Co驻on毕s曲袍面片胶共边哄界且忆在相狭邻两钟角点趣处的旱坐标天、u洞向切道矢、碰w向泥切矢毫、扭街矢分叨别相小等。2）西对B死ez享ie洲r曲统面：察两张娱双三碧次B卖ez迈ie先r曲概面片凶在相津邻边惨界的旗相邻酒的控每制网垫格共协边且信在同当一平绳面上钳。3）惠对B否样条参曲面耻：由悦于每兄4x舟4即拉16念个控速制点消定义构一片杜双三洗次曲马面，糠如果鲁定义略B样付条曲拌面的家控制用顶点物矩阵法有M竹行N撤列（尸M>育=4棵,N边>=也4）俘，则走可以屿定义借(M府-3溉)(币N-续3)取个曲涉面片惹。只协要4奔