第二讲：主观概率

第二讲：主观概率

主要内容：1.概率的基本概念2.先验分布及其设定3.设定主观概率案例1.概率的基本概念1）概率（1）频率与概率为了描述随机事件发生的可能性大小，人们通常进行随机试验并观察试验结果。在相同条件下进行了n次试验，其中事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率，记作。

即古典的概率（probability）的定义如下：（2）Laplace的概率定义Laplace（1812）把事件A发生的概率定义为：其中，k为事件A中所包含的基本事件数量，n为基本事件的总数。显然，上述定义的适用条件是：①基本事件的数量有限，即试验的样本空间；②每个基本事件都是等可能的，即

（3）概率的公理化定义Kormogorov在1930年的著作中给出的概率的公理化定义。

定义2.1E是随机试验，S是E的样本空间，对E的每一事件A，对应有确定的实数p(A),若p(A)满足：①非负性：0≤p(A)≤1;②规范性：p(S)=1;③可列羽可加辛性：裹对两县两不桥相容暂事件(两两烈不相歌容是定指)，有则称女为事纤件A发生酷的概摄率。以上退所述惩的几肥种概讲率的旦定义朵中有丽一个葛共同生的特尽点，渡这就慰是概率迎是在梁多次爆重复者试验姥中，容随机紫事件A发生属的可雪能性郊的大药小的丹度量。而柄在实义际的巷决策清问题劲中，淋自然现状态验的概拐率往跃往无法销通过拦重复径试验求得孤，通耻常也便并不遗包含等可驳能的墓基本俘事件。例如硬，在睬出门佩是否茧带伞涝的决嫩策问阔题中宅可能逐会遇盯到明天金是否毙下雨，项愤目申玻请问贴题中风的中标并可能失性，以妹及在孔实际枯决策狂中经轮常遇内到的泳明年国民厌经济桂增长患率的苹分布、战真争中梨对敌方盖下一夏步行铜动的夕估计等等宪这样笨广义脸的自伍然状叹态，瘦这些择状态趋或事鄙件显漠然是无法城重复吓试验坡的，其爽中也没萌有所升谓的语基本跟事件。有些璃问题垮虽然轮不是区完全券不能既重复皱试验晨，但痒由于逆种种笼原因默，实际延上不蝇能施求行。例宗如洲逃际导话弹的找命中锁率，船虽然合在原洒则上朴可以另通过笨相同岩条件航下的志重复戒试验层获得岂，但虎是每姥次试虚验费靠用过扔于昂潜贵、捡代价恩过大咬，实逢际上接不可茫能多病次重互复试中验。在以帽上各危种情滚况下爹，前押面提百到的片三种盟概率狠的定年义均躬不适排用。由于叉上述掀原因怖，需喉要有偏一种抛能在频喊率观删点不寄适用唉、实识际上团无法执进行蝇随机桑试验停时设使定概罚率的较方法，这舰就是主观盘概率（su乞bj秆ec系ti嗓ve熊p澡ro暂ba加bi晨li蜂ty）；撇与此揪同时戴，把陆上面筒三种络定义芽所规磨定的德概率达称为客观榴概率（ob短je傻ct坦iv富e居pr持ob放ab尿il盲it脱y）。2）主升观概加率根据Sa骆va馅ge（19坟54）的盲观点脱，主观屡概率袭是一鞋种见梦解，德是合满理的荷信念辣的测帖度。它桐是某人窑对特啄定事加件会辟发生瓜的可单能性节的信珠念（揉或意拍见、臣看法砖）的逼度量晕，即抱他相射信或遭认为汪事件枝将会村发生腊的可美能性波的大未小。这种朱相信蹄的程承度是娇一种携信念术，是主中观的，但又是赚根据型经验忍、各店方面揪的知班识以盾及对此客观旷情况锤的了蜜解，毒利用届相关么信息煤进行棉分析贱、推事理、铲综合并判断而设定（As全si兄gn解me原nt）的危，与疼主观剪臆测维不同蕉。例如醋，一智个即的将毕威业的等硕士线生考笑虑下者一步激去向截的时荡候，谁面临更着就鸽业还答是继之续深洲造（耀考博彼士生肢）的凭选择乏。而坐是否胖考博拆士生片在很昂大程典度上椅取决君于被蒙录取啄的可学能性猾大小率。这客种考最博被交录取僚概率林的设柜定显鸭然是鹅主观躁的，弄但也甩不是候随意狮的、帜毫无醒根据撒的，摔获得纤的相安关信蝴息越辟多、冠越准碰确，至设定搂概率布也越何可信浓。又比远如掷垃硬币誉，稍计有常绳识的主人都转知道四，只捷要硬份币是鸽均匀帜的，朽无需遗多次见重复策试验构，也辉能判慨断正坑面朝毯上的展概率侍是二傅分之牵一。免又如膏，抛侦一枚舟图钉星，它绞落地蕉并最盘终静叛止时因可能溪针尖固朝上剧，也盐可能小针尖酱朝下翠。要求旦一群愧学生酸估计扎针尖递朝上店的概裁率，忧虽然翅这些要学生笔事先堂都没累有抛令过图烧钉，诉但是患大部衔分学换生都牌认为方针尖怜朝上妻的概肯率大摘于二记分之贤一，纱众数津在0.辣55衬~0练.7之间拆。许帽多人蜡是凭擦直觉枣判断乘的。敏试验好（抛选掷10姻00次以暮上）侍的结择果是朝针尖百朝上花的概粒率略脉大于0.计6，也仆就是骑说，腔即使胡凭直爆觉也择可以筒作出分相当就不错互的概晌率估其计。3）概粥率的粉数学巡寿定义定义2.骑2对非轨空集Ω=｛ω｝，F是Ω的子姑集A所构怜成的σ-域，席即F满足证如下拉条件碌：①Ω∈F；②厘若招则奶；③苍若逗则爽。若牢是定前在F上的改实值喇集函通数，岗它满脖足：①帐非负果性首；②般规范箩性诉；③底可列文可加恢性型，若硬为两分两不搁相容互事件厚，则则析称为客事件A的（孝主观酷或客锁观）坦概率随测度掌，简示称概刷率。上述蛇定义诱中，ω为基撑本事折件，A为事蹈件，罩三元晶总体登（Ω，F，P）则乌称为彻概率桌空间盛。需要贸注意膊的是吓，定义2.任2既适虫用于凝客观飘概率树，也毫完全悉可用丢于主隐观概盾率，腰即两文者有炮着完车全相姐同的芒数学筐定义。因躺此，由客窃观概粒率论咏者发号展起冈来的藏概率贵论的堵整套卫推理眠和计哀算方绢法，史也都跨完全胞适用锋于主蒸观概茅率。4）主貌客观溜概率齿的比涂较（1）基本段属性客观挂概率侮论者捉（以跳下简扑记为O）认英为：概率牙是系蕉统的紫固有旨的客槐观性方质，家是在驴相同乞条件洞下重叼复试户验时佛频率烛的极占限。主观蹈概率辛论者誓（以愧下简秀记为S）认攻为：概率印是观概察者把而非逼系统纽奉的性活质，骆是观梅察者秩对系极统处伟于某熊状态章的信求任程纸度。（2）抛硬掘币：正面果向上叮概率辛为1/计2。O：只要友硬币蒙均匀骨，抛棍法类鸣似，刺次数酱足够曲多，舱正面劳向上滨的概荡率就闲会是1/蔑2，这铜是简森单的饲定义。S：这确饱是定岂义，届决策殃人认谁为硬浸币是撑均匀聚的，始正、死反面套出现机的可谁能性(似然港率)相同奋，是已个主报观的码量。（3）下次钉抛硬辩币出森现正照面的索概率拍是1/慌2。O：这种辛说法奥不对祖，不熟重复今试验绕就谈捡不上宜概率。S：对决现策人迈来说债，下资次出汁现正御、反拘是等赖可能避的。彻但这著不是链说硬然币本推身是诸公正令的，馒它可肆能会澡有偏咽差，侮只是烦就他材现有脚知识卡而言面，没烈有理臂由预盼言一陡面出冠现的章可能街会大雄于另诱一面自，但板多次瞧抛掷倍的观积察结道果可赵以改捧变他腔的信填念。O、S：下次戴抛硬吸币出及现正售面还际是反颠面不略能确攻定，汤但知疮道：贤要么税是正血面，货要么执是反挎面。由于储历史麦原因抢，客独观概平率论科者习锡惯使龟用概率（pr贩ob通ab租il改it圣y）一冷词，马采用饰记号兰表示父自然性状态剃的概太率；尝而主糕观概窗率论冒者习啄惯用似然摊率（li拍ke角li宵ho漫od），毕采用搏记号蛾表示皱自然璃状态耀的的洁似然存率。2.先验立分布今及其善设定在决船策分籍析中意，尚未逗通过担试验仿收集斩自然塔状态厅信息时所封具有罪的信瘦息叫耳先验辨信息染，由婆先验班信息林所确门定的榆概率休分布婆叫先迷验分众布（Pr朝io表r南di铃st棋ri怪bu葵ti经on）。设定咬先验险分布图是贝挤叶斯服分析企（Ba考ye去se掀anan屯al教ys大is）的贺需要滑。1）设定摘先验屯分布鸡时的译几点浮假设对许酒多领离域的第实际箱问题银，设张定在相关迎的域辛上的东事件谜的概咏率分溉布对于氏这些耍领域收的专业零人员来说剖已经璃是常规君性和咽标准哨化的针工作。这衰种赋斧值通璃常是模型疏与经局验相温结合，而廉且许多骗典型绩的问雁题有次其相典应的言概率则模型，如屠二项文分布唉、正荡态分晋布、蛙泊松夜分布科等可钟以使未用。在概壤率论戒教材自中，震对届于一堪定类量型问困题应纲该采扶用哪爬种特篇定的葵概率朗分布担，有构着广今泛的洞一致缩慧意见愚，因诵此有旦许多背问题庸可以得迅速液而客杯观地能赋以脖适当等概率泻。而缸对那左些不具乳备典核型特仙征的衡事件，要坑让两提个人圾就同倍一个惯特定捆的概母率分摊布的驶适用狂性取孤得一期致意并见通子常都血十分卷困难丘，这谣时概格率的桌设定卸就有高度眉的主事观性。由于在实恋际的筝决策读问题戴中所针遇到补的概作率的望设定秤大部免分属速于后跑者，这处里主算要讨程论在鹅这种戒情况泥下如慌何设栏定概巾率（超即似法然率悼），镜并在求设定蛾似然境率时刷充分戴反映竭决策尼人拥激有的辆信息敞和信抛念。为了顾讨论构方便忽，我副们先吓引入哄几个券记号糖：练、皇和蹈。读作护“事件A发生阁的似州然率衡大于椅事件B发生晓的似披然率”；读作称“事件A发生斧的似展然率粒与事忙件B发生桂的似柄然率内相当”；读作技“事件A发生扯的似补然率杨不小逝于事霜件B发生站的似铜然率”。假设2.躬1（连通立性(c愉on虑ne玻ct礼iv们it串y)假设谎，又蛾称可插比性(c扬om睬pa嚼ra宗bi尾li慎ty狭)假设）是惊指事聚件A和B发生澡的似袭然率堡是可职以比芦较的障，即抽或或晋必有膀一种术也仅率有一俊种成岂立。假设2.捕2（传递划性(T糕ra谅ns弊it访iv匙it纵y)假设）若委对事洪件A、B和C，迟，备，仍则假设2.们3（部分盟小于学全体）若师事件A是事向件B的一钳部分城，即B包含A，记辈作雕，则俗事件B发生忽的可窜能性财不会轰小于撕事件A，即假设2.损4若祖是离拥散的令事件删序列狸，B是某宋个固扰定事贩件，衔且对仁任意i有讲，爪则假设2.墨5在[0，1]区间尊存在膏均匀施分布兄的随蚁机变酱量。Sa羊va葵ge（19不54）指煤出满畅足：假设2.召1~罚2.灵5就可稠以保烈证概丸率分慢布的与惟一健存在夺性。在客实际块设定任先验枪分布境的时行候，逐注意满足浊前三棕条假蹲设就余可以了，走分析闪人员阔的注悄意力欲应该估放在处量化斯决策泽人的矛“信亦念”丈的准河确性便上。2）离托散型谊随机牌变量位先验锻分布哀的设耗定（1）对各摊事件忌加以远比较够确定由相对领似然谷率。示例1某人啦考博钱士生确被录畏取的膏概率。示例2某个夹农民盼为了乓确定殿当年厦种植凤作物放的适乡丰宜品洞种，桶需要政判断毯当年互的气乘候状梯况。（2）打赌翠法设事件E发生哨时收霞入，其傍中的1代表艺某个直适当俯的数馋值的检钱，俘例如10俗00元或10闹0元，帜不同葛的决柏策人闯可以膨取不较同的蹈值，衰这一强数值进与决德策人砌的财纳产相扫比是厅一个平小数失目，独以保证动在此仔范围训内对鱼决策高人的叹实际河价值佩接近通于线将性；设E不发巡寿生即显发生少时收焰入为相。调坟整p值，霉使决夸策人笔感到四两者勤无差伙异为弓止，拴则为了娇帮助另决策畏人量化随机盈事件械的主绪观概思率，塞可以喂借助傍于概磨率盘寺，其签形状狡如下觉图。主观胃概率逼待定荷的抽惹奖概率书盘正先面概率个盘正默面分眉为红稍、兰爪两个罚扇形爱区，楼扇形情区的刷面积胆可任萄意调尼整；纪反面零有刻誉度指涉示红学色扇衰形区葱占整叉个圆碧盘面盟积的如百分篮比。膊使用岂时调突整红栗色扇佩形区缴域的临大小旋，直骨到决死策人抹认为食它与暗右图习抽奖课中后各果E发生币的概谨率相茅等为禾止，倾这时牙概率牧盘反亿面的竞刻度曾值就促是决际策人吨心目搜中后歪果E发生堂的概吐率。2）连掘续型沟随机咬变量计先验遗分布议的设新定（1）直方录图法。这种泻方法惯适用冷于自劈燕然状锯态的锈取跃值是躲实轴液的某藏个区岸间的撤情况扫。具堵体步甜骤是另：①权将区撤间离邪散化舌即把韵的麦取值争范围闯划分逼为若习干个督子区申间得；②工赋值逼：设华定每州个子欠区间亚的似抄然率并根蔬据狠作出丘直方减图；③务变换芝：把搬直方配图变耳换成突概率爹密度宴函数呼曲线转。示例3明年度国民苹经济租的增恢长率烈的设中定。直方常图法泉的主抵要缺药点是脚：①稀子区描间的缸划分价没有减标准扑，可谱以只宣分成谅两三扒个子焰区间锣，也世可以痒分成扶十多苹个子刑区间被；子矩区间膝划分无的数测量不股同，旗最后陈拟合爱所得革到的搂概率谷密度斯函数屈曲线欠往往宿会有晚比较覆大的常差异攻；②茫确定蹈每个昂子区粱间的支似然腥率很圈不容泳易，容在子哪区间峡数量搜较多透时尤爱其困雁难；③竖拟合车所得册的概荣率密评度函殊数通苦常尾匪部误重差很允大。（2）相对震似然巨率法该方泛法是丝式为了蚂克服杠直方齐图法过的缺据点之亦②而锣提出岗的，顶它的微适用唉范围恒与直叙方图何法相嘴同。吐具体俭步骤壤为：①离散滑化与直货方图叉法的短第一贿步相烤同，哪将随做机变森量的首取值巡寿范围话划分叹为若办干个旬子区冷间，滨但是吃由于压其赋彻值比务直方砌图法押容易民，子置区间冰可以堂多些络；②赋值为各辜子区云间赋粱值的眨方法吸有两令种：a）选得定一暮个似洪然率范最大师的子彩区间裤作为盾基准邀，设吊基准洲区间接的相嫂对似蛾然率素为（或站者取1、10烂0等，加视决袜策人脊的习踏惯而率定）携，然库后给假出其蔽他各督区间薯似然蓝率与蔑基准泰区间塞似然敲率的控相对内比值伶，清即b）由继决策僚者给企出每疤二个启子区竟间似即然率果的比训例关轰系：③规范贱化对赋雷值法a)：(2蠢.4晓)对赋合值法b)将司记针作棚，驶则若决拦策人秒所给奴出的皱准岛确无脊误，浑则应有(2姐.5乓)(2缠.6谢)在上民述条尤件满泽足时刘，令则(2切.7勒)如果遇决策私人所鄙给出羽的有薄误差增，式(2波.6乞)不成仍立，亚可用膛最小它二乘木法估膨计决穴策人挪心目桐中真剖正的虚主观阁概率请分布祥。为奖此需脏要求句下面虑的规键划问窗题的讽解。(2近.8炼)示例4明年荷国民喉经济族的增润长率开的设恳定。（3）区间哪对分由法区间旅对分芒法的粉适用挎范围著比前伟面介鸭绍的拐两种嫂方法尼要广汇，它绕可以贸用于籍随机挖变量圣的取押值范馆围是织开区墓间的短情况戒。具版体步母骤是慈：①本求中位俯数②闹确定产上、心下四分娱位点(q絮ua叼rt巧il浩efr笛ac店ti想le)③由于怒误差渴积累,最多千确定八分全位点(E特ig程ht窜hfr田ac立ti即le)这种础方法柿的优岔点是批简单朱易行寨，对签决策连人的剑要求您不高固；主访要缺膏点是汗精度好差。（4）与给愁定形酿式的派分布卖函数纪相匹作配选择食一个类与先努验信侮息匹监配得障最好废的分乓布函池数，治如均基匀分蜜布、规二项而分布榆、正仙态分选布、锡泊松央分布燃、-分布绒、指坐数分男布、肺柯西骆分布饥等等科。常用馅的分躺布函针数选米择方苹法有继：①蚀在单肯位时窜间以恒常墙的平鞭均比将率出录现，则勇在时己间长伤度单台位内态该事冒件出振现的浆次数拣服从Po拿is遗so庙n分布；②霉若影响驼某一赵随机洗变量规的因增素很尼多且每一衣因素茂的作翻用均顺不显亏著，则减该变央量服挥从正态摸分布。例溜如，位测量级误差抵，弹荣着点永，人氏的生晶理特衬征的赵度量辱，农孝作物伪产量湾等均珍服从绑正态室分布情；③嫂每次波随机风试验视中事坊件A出现疮的概衬率为p，n次独惑立试染验中饶事件卫出现r次的降概率视服从二项峰分布，即纵；④拳如果污随机边变量朴落在谦在某狠个区鹅间中妨任意臭等长她度的倦子区铜间内型的可爽能性兄相同宜，则新它服台从均匀咳分布；…在根晕据随衫机变秀量的殃特征劳选定宴适当尾的分疮布函霉数后宁，重穷要的更工作危是估计聚参数。例燥如对市正态究分布裤，只亭要估夺计先田验均胸值(一阶次矩)和先蛮验方它差(二阶尚矩)。但租是估招计这佣些参民数是莲一项诵不确延定性传很大艰的任龙务，岭关键毁在于而概率味密度鸡函数欣的尾坑部估虹计不抽易准沿确，根而尾裙部的清很小赔的误兵差会世对矩愧产生仪很大母影响嫌。其岁他典雪型的讽分布豆函数朗也有镇类似桶的问坐题，巩在处独理无辛界的淘或很雷大的这参数喊区间脱时，挑这一台问题饰尤其百严重袭。对概吉率密荐度函拦数的舅尾部鞠即小佳概率忆事件玩的似利然率轮的估跟计，扫一般掌不宜慰让决持策人宣直接渠赋值千，而蔽是要存采用爹适当讯的措输施。俩比如目，选择么某个耻概率痛已知锋的小控概率笼事件帝作为编基准。抛千掷硬只币连雨续10次出摔现正再面的亚概率百约为汗千分饲之一刘，以属此作栋为基演准，帖让决季策人密比较典待设舍定的伸事件乞的似都然率与与这段一基钩准事丢件的王概率死，再下根据较决策室人的挣判断右计算君出待宿设定鸦的事组件的农似然必率。用这塌种方乎法所猛得的悔结果丛比直高接赋兔值要劫准确患得多询。有轰时小槽概率踪蝶事件均是在傲其他维一系各列事停件发币生的宣条件抱下才坛会发漂生，结如果战这一课系列士中间阶事件魂并不西是小落概率锈事件傲，则厉可以饮由决保策人托估计灭这一域系列差中间晶事件谊发生苏的似虫然率誉，再牧通过尚计算拾获得肯小概爹率事衬件发狂生的撇似然惯率。确定吗先验感概率过密度凉函数丙的参沸数的环比较赠好的菠方法抢是分椅位点胳法，至由决畅策人范主观怀地估沉计先碌验分登布的丑几个筝分位呈点，剂再选应择适待当的户分布染函数膛形式鞠使所织得到辈的概因率密稍度函何数与刚这些棋分位征点尽悉可能仰匹配户。由兴于只计要主牢观地市估计挪若干绵个不零同区核间的茎概率丙，并苏有许志多现伶成的王概率烂密度殿函数削分位缎数表划可供己利用暗，因斩此这燥种方伴法比降矩法座容易堡使用错。需要毕注意勉的是字，自担然状告态的芝概率糟或概潮率分奥布不双是也遭不应渴当由视