第三章地图数学基础

地图学

Cartography南京师范大学地理科学学院GIS系第二章地图的数学基础（1）上一讲回顾试比较裴秀制图六体与现代地图学的三要素？试比较计里画方与经纬度？本节内容12地球体模型三级近似地理坐标系统3高程系统1.地球体地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。

——

珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。+=

如何在球面上建立坐标系？常用坐标系统XYO++++----平面直角坐标系XOγP(γ,θ)θ极坐标系8地球表面水准面大地水准面铅垂线地球椭球体地球模型

地图数学基础自然表面大地水准面静止、平均的海水面向陆地内部无限延伸所形成的闭合曲面。由它所包围的球体，称之为大地体。静止：无风浪、潮汐、无水流。平均：受风浪、潮汐的影响，水准面有无数个，取其平均值。大地水准面可以表示地球自然表面，表面处处与铅垂线正交。大地水准面与铅垂线是实际测量工作的基准面、基准线。大地水准面地球椭球面长半径a短半径bO地球模型地图数学基础铅垂线：即重力方向线，它是可以找到的。

地心吸引力离心力

重力由于地球内部物质密度极不均匀，矿物的比重不同，铅垂线方向的不规则，因而大地水准面也是不规则的。略有起伏的、不规则曲面不能用数学模型表示OPFG地球模型112.2地球模型12

一个国家或地区在建立大地坐标系时，为使地球椭球面更切合本国或本地区的自然地球表面，往往需要选择合适的椭球参数、确定一个大地原点的起始数据，并进行椭球的定位(大地原点）和定向。13地球模型：三级近似地球自然表面极不规则，无法用数学表面进行描述水准面所包围的球体大地水准面所包围的球体旋转椭球体不规则性、动态性、不唯一性不规则性、相对唯一性标准数学曲面1952：海福特椭球1953：克拉索夫斯基椭球1978：1975年国际椭球

由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。

地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。2.1地理坐标

——用经纬度表示地面点位的球面坐标。①天文经纬度②大地经纬度③地心经纬度2.地球坐标系与大地定位①

天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。天文纬度：在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。②

大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l

、大地纬度

和大地高h

表示。大地经度l

：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度

：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。③

地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度

l，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y。 在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。 在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。 在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。地理坐标的获取方法

天文测量：用来测定天文经纬度，以大地水准面和铅垂线为依据，在欲测的点上安置仪器观测天体，在地面点上独立观测直接得到各点的天文经纬度（λ,φ

）。

大地测量：用来测定大地经纬度，以参考椭球体和法线为基准，根据大地原点的大地基准数据，由大地控制网逐点测算各点的坐标，从而得到各点的大地经纬度（L,B）。 1954年北京坐标系：1954年，我国将原苏联采用克拉索夫斯基椭球元素建立的坐标系，联测并经平差计算引申到我国，以北京为全国大地坐标原点，确定了过渡性大地坐标系，称1954北京坐标系。缺点是椭球体面与我国大地水准面不能很好地符合，误差较大。2.2我国的大地坐标系统

1980年国家大地坐标系：1978年采用IUGG第十六届大会推荐的椭球体参数GRS(1975)，以陕西省西安市以北泾阳县永乐镇某点为国家大地坐标原点，进行定位和测量工作，通过全国天文大地网整体平差计算，建立了全国统一的大地坐标系，即1980年国家大地坐标系。陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为“1980坐标系”大地坐标的起算点——大地原点。2.2我国的大地坐标系统

优点：椭球体参数精度高；定位采用的椭球体面与我国大地水准面符合好；天文大地坐标网传算误差和天文重力水准路线传算误差都不太大，而且天文大地坐标网坐标经过了全国性整体平差，坐标统一，精度优良，可以满足1：5000甚至更大比例尺测图的要求等。2.2我国的大地坐标系统

与当今社会发展存在的矛盾：①坐标维的矛盾。随着卫星定位导航技术在我国的广泛使用，二维不能适应现代的三维定位技术；②精度的矛盾。卫星定位技术可达10-7～10-8的点位相对精度，而西安80系只能保证3×10-6；③坐标系统（框架）的矛盾。数字地球的发展要求用户需要提供与全球总体适配的地心坐标系统。2.2我国的大地坐标系统“参心坐标系”与“地心坐标系”地球体参心质心地心坐标系椭球参心坐标系椭球最佳拟合区参心坐标系:以参考椭球为基准的坐标系地心坐标系:以地球质心（总椭球的几何中心）为基准的坐标系。

ChinaGeodeticCoordinateSystem2000，(CGCS2000):随着社会的进步，国民经济建设、国防建设和社会发展、科学研究等对国家大地坐标系提出了新的要求，迫切需要采用原点位于地球质量中心的坐标系统（简称地心坐标系）作为国家大地坐标系。采用地心坐标系，有利于采用现代空间技术对坐标系进行维护和快速更新，测定高精度大地控制点三维坐标，并提高测图工作效率。2.2我国的大地坐标系统卫星轨道计算更加精确；卫星遥感数据便于纳入地球坐标系统；卫星定位的精度提高；地球重力场测定精度提高；科学观测（如地壳运动观测，板块移动监测）精度提高；优点：原来的地图经纬度坐标值将会改变，工作量大；已建成的地理空间数据库的坐标值将要改算；局部地区的地图变形将增大。带来的问题：大地控制网

大地控制网由平面控制网和高程控制网组成。包括具有精确测定平面位置和高程的典型的具有控制意义的点，它是测制地图的基础。

平面控制网采用平面控制测量确定控制点的平面位置，即大地经度（L）和大地纬度（B）。其主要方法是三角测量和导线测量。

三角测量：在平面上选择一系列控制点，建立三角网，经测量由已知推算未知。为达到层层控制的目的，由国家测绘主管部门统一布设一、二、三、四等三角网。一等三角网是全国平面控制的骨干，由近于等边的三角形构成，边长在20～25km左右，基本上沿经纬线方向布设；二等三角网是在一等三角网的基础上扩展的，三角形平均边长约为13km，这样可以保证在测绘1:10万、1:5万比例尺地形图时，每150km2内有一个大地控制点，即每幅图至少有3个控制点；以此类推，保证不同比例尺地图的精度。大地控制网

导线测量：把各个控制点连成连续折线，然后测定这些折线边长和转角，最后根据起算点坐标及方位角推算其它点坐标。包括：一种是闭合导线；另一是附合导线。 建立大地控制网时，通常要隔一定距离选测若干大地点的天文经纬度、天文方位角和起始边长，作为定向控制及校核数据使用，故大地控制网又有天文大地控制网之称。大地控制网平面控制网国家测绘局

高程控制网的建立，必须规定一个统一的高程基准面。我国利用青岛验潮站1950～1956年的观测记录，确定黄海平均海水面为全国统一的高程基准面，并在青岛观象山埋设了永久性的水准原点。以黄海平均海水面建立起来的高程控制系统，统称“1956年黄海高程系”。青岛观象山水准原点2.3高程系

1987年，因多年观测资料显示，黄海平均海平面发生了微小的变化，由原来的72.289m变为72.260m，国家决定启用新的高程基准面，即“1985年国家高程基准”。高程控制点的高程也发生微小的变化，但对已成图上的等高线的影响则可忽略不计。2.3高程系国家水准原点

借助水准仪提供的水平视线来测定两点之间的高差，是建立高程控制网的主要方法。两点之间的高差H=a-b，设HA为已知点的高程，则待求点的高程HB=HA+H水准测量41在测量中常用的高程系统有大地高系统、正高系统和正常高系统。大地高系统是以参考椭球面为基准面的高程系统。某点的大地高是该点到通过该点的参考椭球的法线与参考椭球面的交点间的距离。大地高也称为椭球高，大地高一般用符号H表示。同一个点，在不同的基准下，具有不同的大地高。正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统,是由地面点沿通过该点的铅垂线至大地水准面的距离。正高用符号Hg表示。

正常高系统是以似大地水准面为基准的高程系统。是由地面点沿通过该点的铅垂线至似大地水准面的距离。正常高用Hγ表示。高程系统42大地水准面与似大地水准面示意图位差理论求高程(重力平均值不宜求出，而以正常重力值代替)1)

大地水准面到地球椭球面的距离，称为大地水准面差距，记为N。

大地高与正高之间的关系可表示为：

H=Hg+N

2)

似大地水准面和地考椭球面之间的距离，称为高程异常，记为ζ。

大地高与正常高之间的关系