第九章 第节 多元函数的极值及其求法

第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法1第九章第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值2一、多元函数的极值

定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有3定理1.(必要条件)函数在点存在偏导数,证:在点在在据一元函数极值的必要条件取得极值取得极值取得极值且在该点取得极值,则有4说明(1)使偏导数都为0的点称为驻点,但驻点不一定是极值点.例有驻点(0,0)但在该点不取极值(2)偏导数不存在点也可能是极值点.例在点(0,0)有极大值问题：如何判定一个驻点是否为极值点？5时,具有极值定理2

(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当2)当3)当证明见第九节(P122).

时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数

时取极大值;

时取极小值.6例1.求函数解:第一步求驻点.

得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;在点(1,2)处不是极值;解方程组的极值.求二阶偏导数7例1求函数驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.的极值.8例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)是它们的驻点,并且在(0,0)都有在(0,0)点邻域内的取值可能为因此z(0,0)不是极值.因此当时,为极小值.正负0在点(0,0)910二.最值数应用猜问题函数f在闭景域上建连续函数f在闭遣域上城可达伴到最铜值最值蓬可疑盲点驻点边界赌上的父最值挡点特别：当夹区域狼内部妥最值陵存在,且只有确一个极值点P时,则为极小()值为最小()值大大11求最脾值的苦一般妨方法：将函兼数在D内的峡所有后驻点甘处的骗函数侨值及减在D的边仁界上命的最姑大值队和最枝小值扶相互切比较祸，其签中最摇大者捆即为陆最大种值，缴最小钱者即劝为最负小值.与一窜元函溪数相六类似种，我太们可勇以利宇用函欠数的霜极值狂来求抓函数叫的最促大值爸和最糕小值.12解如图,1314例4.水箱纳所用吉材料堂的面棋积为令得驻点某厂秋要用股铁板服做一定个体茶积为2根据迁实际兆问题畅可知躁最小趁值在吴定义样域内卷应存向在,的有子盖长跟方体你水箱,问当逢长、锈宽、万高各思取怎丽样的匪尺寸剑时，泻才能古使用龙料最虾省？因此雪可断孝定此唯妙一驻伐点就刻是最办小值申点.即当维长、顺宽均趴为,高为时，普水箱是所用炼材料睡最省腾。解:设水箱长,宽分别为

,

m

,则高为15例5.有一压宽为24象cm的长农方形国铁板,把它醒折起臭来,解:设折败起来化的边絮长为则断解面面处积为x24做成扣一个刊断面期为等落腰梯料形的犬水槽,问怎批样折狂法才陡能倾角乡丰为使断椒面面瞒积最势大16令解得:由题压意知,最大兴值在告定义箱域内蹄达到,而在仰域内止只有一个拐驻点,故为炉所求.17三、士条件障极值极值楼问题无条姨件极宪值:条件奖极值:条件怜极值垮的求徒法:方法1代入研法.求一苏元函秒数的无盐条件姜极值江问题对自着变量斤只有柔定义德域限垃制对自颠变量胆除定嘴义域旨限制物外,还有歉其它丽条件股限制例如,转化18方法恶二.拉格烫朗日类乘数队法在条冶件召下,求函处数北的霸极值.分析:设条业件方邮程则问舌题等管价于嗓一元挣函数极值御点必柳满足可确联定隐常函数极值俭问题,极值喜点必漫满足故19引入上辅助出函数极值徒点必满刊足辅助皆函数F称为轨拉格诱朗日(划La静gr策an育ge呆)函数.利用臭拉格仆朗日披函数符求极捉值的秧方法划称为胜拉格贝朗日欧乘数戴法.20推广拉格普朗日设乘数累法可械推广破到多著个自弹变量香和多带个约嫩束条吧件的切情形.设解方嗽程组可得卧到条爱件极凉值的途可疑段点.例如,求函初数下的贝极值.在条议件21例6要设昏计一兔个容著量为聋的长挣方体底开口削水箱,试问笋水箱长饥、宽版、高砌等于知多少抓时所析用材朵料最起省？使则问题为求令解方缴程组得由题颤意可夸知合渠理的丘设计看是存息在的,长、蜂宽为怒高的2倍时轮，所絮用材超料最佳省。解:设分别表示长、宽、高,下水差箱表基面积最小.在条轿件因此,当高各为22解则23例8.求旋转烦抛物川面与平极面之间铺的最稍短距完离.解：设为抛物冲面上任兽一点情，则P的距离竞为问题钓归结宏为约束役条件:目标脏函数:作拉氏牙函数到平劫面24令解此方程钉组得谊唯一贤驻点由实校际意暮义最院小值虫存在,故25试在乓椭圆解答沃提示:例9则已知平面上两定点

,

,圆周上求一点,使面积

最大.设点坐标为,26设拉纯格朗肚日函龙数解方茫程组得驻技点对应雕面积而面积指最大.比较可知,点与

重合时,三角形27内容桨小结1.函数成的极饺值问枯题第一盏步较利喇用必栽要条么件在县定义躲域内惰找驻多点.即解末方程梅组第二谢步欠利汤用充返分条称件判别疲驻点鸡是否幻玉为极倘值点.2.函数少的条撞件极批值问盲题(1踪蝶)简单推问题部用代搜入法如对始二元党函数(2架)一般削问题法用拉隔格朗方日乘捆数法28设拉互格朗需日函茎数如求还二元庆函数下的下极值,解方腔程组第二警步争判脊别•比较塑驻点导及边滔界点雹上函充