统计学分布及假设检验

二项分布共同特征(抛硬币)1.每次试验只有两个结果.2.试验具有重复性和独立性.以x表示在n次试验中事件A出现的次数，x是一个离散型随机变量，它的所有取值为0,1,2,…,n,其概率分布函数为(q=1-p)称P(x)为随机变量x的二项分布，记作B(n,p)正态分布

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

记为分布定义:设

相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：

所服从的分布为自由度为n

的分布.一般其中，在x>0时收敛，称为函数的密度函数为自由度为

n的n=2n=3n=5n=10n=15t分布(Student分布)定义则称T服从自由度为n

的t分布.记为其密度函数为X,Y相互独立,设t分布t分布的性质1°fn(t)是偶函数,性质n=1n=20t分布的图形(红色的是标准正态分布)F分布

定义若X~2(n1)，Y~2(n2)，X,Y相互独立，则称随机变量为第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布（或自由度为），其概率密度为第1章假设检验§1.1假设检验的基本问题§1.2一个正态总体参数的检验学习匆目标了解轨假设擦检验旋的基设本思搏想掌握殿假设才检验伏的步好骤对实丽际问盆题作榨假设者检验根据顺样本储的信辩息检棉验关斑于总寸体的麻某个尊命题浑是否投正确漏.有参拘数假为设检崭验和非参数睛假设烧检验这类拳问题保称作假设昼检验问题缺.基本鞋概念§1.1假设裙检验额的基亭本问奶题假设氧检验姓的步驰骤提出梳假设确定勿适当兴的检圣验统肤计量规定进显著煮性水痒平计算袜检验四统计碧量的犯值作出业统计健决策提出竹原假堡设和集备择汪假设什么组是原长假设轻？(夫nu拘ll蔑h国yp锋ot晌he缎si挡s)待检怪验的众假设患，又胁称“敬0假焦设”研究薄者想成收集身证据营予以窄反对双的假续设3.役表示猴为浮H0H0：某一往数值指定类为挂=店号，应即或例如椅,朗H0：31荡90蝇（克辛）为什坐么叫捉0假持设?什么肺是备丽择假饭设？高(a慈lt邻er钞na赤ti终ve挥h已yp子ot疾he汽si炉s)与原犬假设艺对立喝的假贴设，汉也称货“研倡究假源设”研究者想侄收集阅证据砍予以惯支持筹的假废设总是搬有不管等号驳:,或表示睡为乘H1H1：<某神一数馒值，膀或某一煤数值例如妄,煤H1：<裙39秒10汤(克蜻)，愉或灭3农91字0(国克)提出练原假浴设和伙备择所假设什么是检验电统计滑量？1.周用遗于假双设检坛验决弓策的凭统计迫量2.农选今择统坛计量蒜的方否法与睡参数愤估计拔相同狱，需难考虑是大泛样本挨还是持小样孝本总体睡方差疮已知持还是用未知检验却统计务量的送基本足形式蔬为确定史适当预的检尖验统译计量规定菜显著焦性水裳平(si而gn佣if层ic间an借t蒜le自ve需l)什么绑显著息性水丑平？1.炕是劳一个胶概率柳值2.蹦原痕假设钓为真疫时，日拒绝昼原假害设的删概率被称叫为抽财样分侮布的斩拒绝辛域3.绍表军示为(a炉lp撤ha君)常用遍的敌值有0.俗01侦,杯0.圈05卧,肌0.肃104.桌由迷研究妹者事思先确述定作出闸统计臭决策计算纷检验左的统商计量根据傅给定恋的显刊著性汁水平，查株表得秤出相俭应的膏临界伍值z或z/医2，t或t/啦2将检锯验统奖计量劝的值使与水平蓝的临河界值扩进行称比较得出挪拒绝冶或不终拒绝肯原假料设的证结论双侧陷检验广与单导侧检定验(假冒设的搏形式幸)假设研究的问题双侧检验左侧检验右侧检验H0m=m0m

m0m

m0H1m≠m0m<m0m>m0单侧拌检验(原肝假设还与备遮择假贯设的惠确定吵)将研押究者撞想收炎集证什据予谨以支屡持的搁假设温作为下备择蚊假设触H1例如洒,一夜个研罩究者券总是枣想证歇明自掩己的天研究僵结论爆是正昨确的一个躁销售桨商总跌是想证明供货知商的愤说法絮是不比正确鬼的备择爷假设从的方疲向与资想要顶证明滤其正症确性件的方激向一盒致将研棚究者盏想收宪集证兰据证映明其侄不正很确的脚假设阶作为炼原假压设H0先确蚀立备膏择假订设H1单侧恳检验(原桃假设别与备辨择假拒设的陶确定厚)一项滨研究必表明画，采暑用新艇技术烛生产钟后，事将会当使产根品的忽使用止寿命酸明显音延长呼到1旬50度0小驶时以鉴上。亭检验疗这一抱结论虏是否歪成立研究跟者总旋是想抹证明辰自己兰的研贪究结遮论(开寿命冈延长到)是中正确愧的备择胁假设绳的方绢向为洋“>热”(寿命躺延长)建立婚的原穷假设族与备装择假趋设应承为H0:15伞00奋H1:15蚕00双侧漏检验(显比著性询水平潮与拒岩绝域丝式)H0值临界值临界值a/2a/2

样本统计量拒绝域拒绝域抽样分布1-置信水平左侧弄检验(显逃著性克水平府与拒境绝域占)H0值临界值a样本统计量拒绝域抽样分布1-置信水平观察到的样本统计量右侧干检验(显趴著性榆水平抵与拒蹄绝域朽)H0值临界值a样本统计量拒绝域抽样分布1-置信水平观察到的样本统计量§1.2一个喘正态渔总体爆参数鞋的检粱验1.总体展均值底的检壮验2.总体职比例黄的检新验3.总体因方差价的检林验一个燃总体皇参数纤的检刊验Z检验（单尾和双尾）t检验（单尾和双尾）Z检验（单尾和双尾）

2检验（单尾和双尾）均值一个总体比例方差总体合均值鬼的检介验(检扰验统震计量译)总体舱是否烘已知舱？用样本标准差S代替t检验小样本容量n否是z检验

z检验大总体扰均值名的检香验(2已知群或2未知糖大样德本)1.鬼假暴定条架件总体影服从龟正态熟分布若不棵服从善正态肠分布铁,蔬可用而正态骗分布脾来近编似(n30命)使用Z-统黎计量2已知耽：2未知先：2已知阔均值默的检搭验(例势题分颠析)【例笼】已知按某种刊玉米训平均抱穗重化u0=3苦00庭g,妹标准北差痰=凡9.道5g安。喷鬼施某联种植琴物生休长调吵节剂沿后，衫随机低抽取酬9个汇果穗讯，重蹲量分较别3止08禁,3贤05秋,3夺11怨,2款98床,3切15号,3害00柴,3睛21遵,2僚94准,3互20艰(比g)婚。问演这种峰调节岗剂对滩果穗馒重量姥是否今有影惊响？（＝0天.0衣5）2已知蒙均值惨的检袄验(例始题分矩析)H0:=30风0gH1:30蜓0g=稀0.桑05n=9临界浊值(遗s)费:检验启统计味量:Z01.96-1.96.025拒绝H0拒绝H0.025决策侍:结论坟:在=买0.秩05令的水域平上统拒绝功H0认为隶喷施瘦调节码剂能搏够显形著增校加玉慢米果尖穗的棍重量2未知瞎大样逮本均嗓值的提检验(例解题分烦析)【例赌】某电只子元使件批卫量生碎产的剥质量你标准吉为平奥均使辱用寿字命12沫00小时赏。某爹厂宣鸣称他闻们采留用一揪种新且工艺炉生产尘的元吓件质富量大院大超笨过规蜡定标熄准。京为了符进行焦验证贪，随认机抽去取了10援0件作勤为样羡本，傻测得扫平均图使用瞧寿命12网45小时村，标俩准差30霸0小时梯。能携否说事该厂鞠生产首的电键子元壮件质授量显责著地取高于亩规定和标准幻玉？郑(＝0捏.0轮5)单侧巩检验2未知抛大样语本均垦值的职检验(例穴题分则析)H0:12扩00H1:>1斤20碗0=0.孩05n=10鼓0临界羊值(每s)术:检验寻统计绳量:在=收0.峰05筛的水仍平上色不拒筋绝H0不能摘认为章该厂斧生产搭的元耕件寿漠命显规著地笼高于车12队00蝇小时决策售:结论电:Z0拒绝域0.051.645总体萝均值友的检奶验(2未知谎小样时本)1.俊假锈定条粘件总体缝为正植态分纺布2未知忠，且高小样兔本2.饮使里用t统计炼量2未知提小样樱本均影值的淹检验(例采题分告析)【例应】某鱼宵塘水隐中的捡含氧翼量多戚年平次均为若4.坚5m灾g/胜L。处现在搞该鱼绢塘设虫10剑个点虽采集悼水样掏，测播定水吵中含黑氧量尘分别层为：愧4.判33快,4居.6境2,饶3.楚89筝,4全.1稳4,羞4.昨78躬,4绣.6肃4,梳4.顾52剖,4谁.5虫5,篇4.已48傲,4联.2稠6(裁mg移/L裹)。维试检让验该色次抽穿样测姿定的歪水中鹿含氧距量与泳多年敢平均宜值有彩无显线著差萝别？双侧救检验2未知技小样县本均双值的旨检验(例极题分灿析)H0:=4.愤5H1:4.剖5=件0.虾05df央=帜1蛋0抵-篇1恨=叛9临界革值(乳s)间:检验情统计秘量:在=滥0.拍05滔的水秩平上接受H0认为节该次男抽样温测定手的含栏氧量湖与多毫年平课均含沉氧量觉没有岁显著波差别钢。决策鸽：结论句：t02.262-2.262.025拒绝H0拒绝H0.025在R己软件套中，至函数容t.读te饮st扯()滥提供绢了t兽检验粮的功北能，临使用衣格式民如下眯：t.淋te利st得(x如,y质=N恶UL刮L,垮al败te昂rn父at沈iv标e=迷c(机"t秧wo慕.s谱id益ed艰",掠"l苹es斗s"味,"赌gr骄ea锅te喷r"南),鹅mu顽=0杆,p震ai贯re赏d=留FA估LS支E,厕va挂r.虾eq付ua进l=妥FA奋LS赔E,予co灰nf利.l反ev雕el辩=1咐-α)其中背x,伶y是灭由数祝据构今成的复向量竖(如纵果只哗提供炸x,威则作龟单个棋正态衔总体渠的均形值检假验，别否则金作两仪个总女体的洁均值医检验坛)；耕al跨te炸rn豪at条iv样e表近示备拿择假凤设，梅le坑ss蛮表示忍单边恩检验普(H1:u烦<u0);乘mu价表示到原假允设u0；v剃ar瞎.e步qu练al持=F坊AL召SE柱表示俘认为蛋两总嗓体方藏差不谣同,剥co趋nf苹.l巩ev览el其是置数信水庆平，皂通常裁是0坛.9喇5，饼即α=0总.0协5总体津比例宴的检壤验(Z检验加)一个绪总体麻比例欠检验假定御条件有两晌类结扒果总体练服从啄二项务分布可用佩正态览分布堤来近徐似比例荒检验肿的Z统计盲量p0为假符设的咬总体奴比例一个壶总体泉比例窜的检药验(例摆题分毙析)【例尚】有一条批蔬旨菜种欢子的员平均升发芽弱率p0=0终.8恳5。喉现随历机抽破取5腐00派粒种启子，攀用种棒衣剂戴进行阻浸种刚处理掉，结享果4反45左粒发匆芽。仔试检泊验种黎衣剂棚对种忘子发棵芽有舞无效炎果？双侧末检验一个己总体郑比例被的检参验(例览题分处析)H0:p=0.圾85H1:p0.饲85=丸0.鸡05n=50糠0临界顶值(钱s)场:检验嘉统计邻量:在=胖0.传05妇的水召平上前拒绝汤H0种衣雁剂对挠种子岭发芽牛率有倍显著皂提高凳的效俘果(途0.巨89默>0养.8迎5)决策挑:结论困:Z01.96-1.96.025拒绝H0拒绝H0.025方差宇的卡畜方国(2)缠检验检验竹一个舍总体愧的方隶差或槐标准香差假设费总体撞近似库服从滤正态枪分布检验舟统计冤量样本方差假设的总体方差方差怜的卡采方啊(2)友检验(例叼题分们析)【例糕】某厂梨商生鞭产出匠一种运新型萍的饮狠料装竹瓶机肢器，勉按设仪计要兰求，购该机芽器装谁一瓶畅一升帜(10哥00麦cm3)的聪饮料北误差彩上下徐不超齿过1c浊m3。如衬果达仍到设辣计要舅求，龟表明篇机器夫的稳亲定性辫非常礼好。忌现从暑该机恋器装袜完的文产品炎中随鞠机抽课取25瓶，胸分别粘进行招测定贴(用勇样本反减10枯00他cm3)，陷得到涌如下蛇结果凑。检纪验该盯机器挽的性篮能是薪否达依到设混计要粪求属(=0断.0庄5)0.3-0.4-0.71.4-0.6-0.3-1.50.6-0.91.3-1.30.71-0.50-0.60.7-1.5-0.2-1.9-0.51-0.2-0.61.1双侧梁检验方差玻的卡习方伤(2)勇检验(例勇题分粒析)H0:2=坝1H1:21=熄0.采05df兼=25析-浑1饰=刃2吵4临界达值(乱s)刻:统计碍量:在=胶0.伙05器的水让平上齐不拒幅绝H0不能熄认为体该机商器的捆性能膊未达野到设蚂计要刚求2039.3612.40/2=.05决策钢:结论毯:§1.3两个吹正态成总体听参数肝的检欠验检验楼统计榴量的恶确定两个萝总体蒸均值箱之差芹的检旁验两个遭总体供比例课之差遗的检轮验两个谅总体月方差疮比的迹检验检验云中的书匹配秘样本两个衣正态剃总体伙参数另的检郑验两个总体的检验Z检验(大样本)t检验(小样本)t检验(小样本)Z检验F检验独立样本配对样本均值比例方差独立批样本谨总体关均值颈之差振的检切验两个茂独立角样本希之差织的抽巡寿样分散布m1s1总体1s2

m2总体2抽取简单随机样样本容量n1计算X1抽取简单随机样样本容量n2计算X2计算每一对样本的X1-X2所有可能样本的X1-X2m1-m2抽样分布两个祖总体煤均值玻之差怠的检蚂验(12、22已知膝)1.嗓假端定条鸟件两个滨样本纵是独遵立的植随机宋样本两个总体藏都是原正态搭分布若不勉是正匪态分刚布,冷可另以用爷正态丹分布消来近亡似(n130降和n230鸣)检验骂统计货量为两个醒总体挂均值宋之差语的检谋验(假将设的祥形式刷)假设研究的问题没有差异有差异均值1均值2均值1<均值2均值1均值2均值1>均值2H0

1–2=0

1–20

1–20H1

1–20

1–2<0

1–2>0两个央总体像均值叙之差煮的检拐验(例佳题分窜析)【例蹈】现用犹甲、伯乙两纳种发啄酵法狮生产锈青霉芦素，唱其产旱品收无率的四方差撇分别鹅为=0.敏46(g巧/L誓)2,谣=亡0.池37椒(g接/L取)2。现混甲方差法测检得2钳5个源数据浊，袍=3戴.7偶1g途/L奇;乙牢方法睡测得咱30艳个数侍据，焰=缴3.劳46宰g/及L。屯问甲榜、乙灵两种纺方法锡的收己率是岩否相肠同？(=丽0.管05瓜)两个慕总体除均值引之差黄的检棵验(例笔题分返析)H0:1-2=堆0H1:1-20=恼0.纹05n1=25，n2=30临界皂值(衬s)笨:检验仔统计挡量:决策椒:结论弟:在=慈0.后05议的水万平上接受H0甲、贵乙两架种方佣法的石收率征相同跟，没屈有显恼著差氏异Z01.96-1.96.025拒绝H0拒绝H0.025两个柳总体梨均值革之差时的检组验(12、22未知我且相水等,功小样役本)检验隐具有铸不等购方差洲的两勿个总仪体的舟均值假定问条件两个停样本只是独起立的纪随机弄样本两个总体惨都是伙正态王分布两个裕总体留方差沈未知活且相坚等12=22检验厚统计榴量其中：两个富总体去均值导之差圾的检可验(12、22未知薯但不相等士,小宾样本糖)检验松具有育等方监差的漂两个非总体安的均具值假定予条件两个品样本局是独准立的牺随机虽样本两个总体猛都是亏正态泄分布两个迷总体肥方差莲未知猴但不相等12=等22检验住统计茧量(n1≠n2,用恶近似跟的t奏检验)当n1=n2=n水时，湿仍可剪用t投检验勇法，街其计朴算也触与两丛个总药体方敏差相指等的短情况夹一样足，只着是自问由度歌df郊=n策-1当n1≠n2时，驻其自离由度匙df墨计算柿方式呼如下句：两个兼总体爱均值东之差以的检锣验(例绘题分影析)【例】用高址蛋白零和低员蛋白垂两种谎饲料窃饲料墓1月级龄大梨白鼠旗,在俊3个匪月时上,测信定两椅组大挪白鼠只的增赔重量漠(g辫),两组厉数据煮如下帐：高蛋抛白组壤：1狗34软,1朋46遇,1苏06淡,1第19犁,1维24器,1碍61未,1竟07稳,8腔3,他11厘3,踪蝶12菊9,鸦97轧,1辜23低蛋氧白组换：70挺,1薪18里,1弦01母,8祥5,馒10易7,岁13楚2,配94试问岭两种歪饲料化饲养孙的大裹白鼠锦增重能量是主否有微差别储？两个倚总体逮均值胀之差笔的检窄验(该题射由后面停的F板检验脆可以连得出井两总貌体方期差相删等)H0:1-2=0H1:1-2≠0=0.呼05n1=挥12，n2=7临界暴值(触s)喂:检验慌统计歉量：决策番:结论佣:在=兼0.余05橡的水患平上接受H0认为辨两种撇饲料果饲养膊的大想白鼠纯增重籍量没殿有显查著差幸别Z01.96-1.96.025拒绝H0拒绝H0.025两个峡总体疼均值泊之差蜡的检童验(匹革配样臂本的t检验阳)1.案检摇验两瘦个总壳体的梅均值配对飘或匹兼配重复州测量挠(姨前/磁后)2.批假途定条红件两个酱总体和都服保从正有态分筛布如果百不服刮从正承态分风布，召可用棕正态狱分布膀来近议似洲(n130凶,n230瞎)匹配祸样本胶的t检验(假吴设的症形式奔)假设研究的问题没有差异有差异总体1总体2总体1<总体2总体1总体2总体1>总体2H0mD=0mD0mD0H1mD0mD<0mD>0注：Di=X1i-X2i，对况第i对观夕察值匹配滋样本贪的t检验(数融据形辈式)观察序号样本1样本2差值1x11x21D1=x11-x212x12x22D1=x12-x22MMMMix1ix2iD1=x1i-x2iMMMMnx1nx2nD1=x1n-x2n匹配扬样本惭的t检验(检丙验统此计量挡)样本啄差值斧均值样本告差值圈标准需差自由服度df＝nD-锯1统计鱼量D0：假躲设的复差值【例轧】一个诊以减有肥为适主要菊目标税的健夜美俱酿乐部圈声称寻，参晓加其布训练过班至竖少可掌以使信减肥降者平侵均体温重减圣重8.缘瑞5kg猜以上吹。为扬了验工证该尝宣称回是否确可信兽，调哥查人朝员随肠机抽佣取了10名参锄加者宰，得产到他北们的见体重策记录潜如下佣表：匹配收样本还的t检验(例拨题分称析)在=膊0.浴05的显腥著性慎水平薪下，尊调查奸结果昏是否距支持裳该俱瞒乐部狱的声哄称？训练前94.5101110103.59788.596.5101104116.5训练后8589.5101.5968680.58793.593102单侧请检验样本差值计算表训练前训练后差值Di94.5101110103.59788.596.5101104116.58589.5101.5968680.58793.5931029.511.58.57.51189.57.51114.5合计—98.5配对乡丰样本投的t检验(例承题分脸析)配对津样本视的t检验(例首题分羊析)差值别均值差值列标准神差H0:m1–m28.斗5H1:m1–m2<浓8.组5a=牢0.咬05df殊=10束-丝式1匠=樱9临界耻值(雕s)弱:检验刊统计袋量:决策宵:结论读:在=夹0.雀05似的水易平上织不拒陡绝H0不能路认为乓该俱滩乐部惭的宣隆称不仙可信配对贼样本绣的t检验(例哑题分虹析)-1.833t0拒绝域.05两个饶总体炎比例坑之差朗的检垒验1.岁假杜定条榨件两个造总体胁是独价立的两个总体串都服较从二派项分局布可以罩用正套态分佳布来孔近似检验绍统计子量两个邮总体要比例撒之差棵的Z奔检验两个熔总体涨比例惊之差隐的检蹲验(假衔设的茅形式改)假设研究的问题没有差异有差异比例1≥比例2比例1<比例2总体1≤比例2总体1>比例2H0P1–P2=0P1–P20P1–P20H1P1–P20P1–P2<0P1–P2>0两个萌总体协比例迫之差浓的Z遮检验(例艰题分有析)【例薪】现研赔究地劳势对皱小麦非锈病精发病黑率的土影响吴。调垮查低初洼地兵麦田渣37框8株舞，其别中锈父病株摔34蓬2株些；调渡查高山坡地企麦田止39途6株颗，其情中锈盐病株预31怕3株多。比篮较两粱块地撇麦田棵锈病输发病励率是艳否有姓显著直性差坊异？两个束总体化比例柔之差工的Z吐检验(例道题分奸析)H0:P1-P2=0H1:P1-P2≠0=0.深05n1=37垒8，n2=39炒6临界压值(罚s)舍:检验易统计赤量:决策唤:结论碰:在=朽0.才05齿的水博平上慢拒绝伤H0低洼碰地麦显田锈罚病发草病率竹显著绘高于略高坡敞地麦亮田Z01.96-1.96.025拒绝H0拒绝H0.025两个额总体迟方差阵比的引检验(F检验失)假定旋条件两个御总体烧都服她从正驳态分闪布两个积独立渔的随壶机样旦本假定豆形式H0：s12=s22或布H0：s12s22(或)H1：s12s22H1：s12<泪s22(或李>午)检验纷统计黎量F=S12/S22～F(n1–易1强,n2–宁1)两个凡总体桃均值廉之差姨的检绢验(例蚁题分躬析)【例】用高僚蛋白筐和低术蛋白劲两种眨饲料悔饲料腾1月到龄大融白鼠抵,在土3个奴月时衬,测辅定两寒组大攀白鼠鉴的增缩慧重量梁(g廊),两组纯数据完如下泻：高蛋畅白组励：1仗34复,1形46叙,1悬06静,1尚19盐,1鸦24街,1果61冬,1显07遗,8尘3,挠11渠3,激12灿9,怠97良,1附23低蛋棵白组颈：70港,1壳18遗,1毒01命,8慎5,皇10狗7,凤13垂2,乌94试问点这两向个总宜体的堡方差姻是否百有显舌著差梅异？两个示总体揭方差压的F检验(例斑题分竖析)H0:12=22H1:1222=拿0.男05n1=核12，n2=7临界牲值(艰s)表:检验著统计棒量:决策隐:结论哨:在=循0.可05华的水汗平上接受H0认为霜这两未个总委体的位方差没有显著娱差异0FF0.0975=0.258.025拒绝H0拒绝H0.025F0.025=5.414在R意软件问中,洽va似r.服te跌st陡()僻函数桐提供事了作凤方差春比的益检验件,该消函数帝使用群格式习如下增：va陡r.葱te降st灾(x旗,y冤,r袄at校io珠=1识,a轰lt辟er矿na忆ti翅ve绢=c造("怖tw趣o.欺si替de骑d"痕,"星le溪ss衔",泽"g撑re供at咐er芝")贩,c