湖南省衡阳市耒阳第六中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析

湖南省衡阳市耒阳第六中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若实数x，y满足不等式组且z=x+3y的最大值为12，则实数k=（）A．﹣12 B． C．﹣9 D．参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】分k≥0和k＜0作出可行域，求出使z=x+3y取得最大值的点A的坐标，代入目标函数后由最大值为12求得k的值．【解答】解：当k≥0时，由不等式组作可行域如图，联立，解得A（）．当z=x+3y过A点时，z有最大值，为，解得：k=﹣9，与k≥0矛盾；当k＜0时，由不等式组作可行域如图，联立，解得A（）．当z=x+3y过A点时，z有最大值，为，解得：k=﹣9．综上，k=﹣9．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了分类讨论的数学数学思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．2.已知，，则（

）（A）

（B）或

（C）

（D）参考答案：C略3.已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 A． B． C．2 D．2参考答案：B4.已知等比数列的前项和为，则的极大值为（

）A．

2

B．3

C.

D．参考答案：D5.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()参考答案：C6.如图所示的方格纸中有定点，则（

） A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知函数，的最小值为a，则实数a的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：C因为的最小值为且时，故恒成立，也就是，当时，有；当时，有，故，所以选C．

8.《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：AB是半圆O的直径，点D在半圆周上，于点C，设，，直接通过比较线段OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D9.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于(

)A． B．16π C．8π D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是一边长为2的正三角形，侧棱长是2，先求出其外接球的半径，再根据球的表面公式即可做出结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，如图，设O是外接球的球心，O在底面上的射影是D，且D是底面三角形的重心，AD的长是底面三角形高的三分之二∴AD=×=，在直角三角形OAD中，AD=，OD==1∴OA==则这个几何体的外接球的表面积4π×OA2=4π×=故选：D．【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积，本题是一个基础题，题目中包含的三视图比较简单，几何体的外接球的表面积做起来也非常容易，这是一个易得分题目．10.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（

）A.向左平移个长度单位

B.向右平移个长度单位

C.向左平移个长度单位

D.向右平移个长度单位参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是实数，若集合｛｝是任何集合的子集，则的值是

▲

。参考答案：略12.如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为

.参考答案：16略13.（4分）（2015?杨浦区二模）函数f（x）=的定义域是．参考答案：﹣2＜x≤1【考点】：函数的定义域及其求法．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：只需被开方数为非负数、分母不为零同时成立即可．解：根据题意，只需，即，解得﹣2＜x≤1，故答案为：﹣2＜x≤1．【点评】：本题考查函数的定义域，属于基础题．14.已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B=

．参考答案：{x|﹣1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．15.直线的倾斜角的取值范围是_________________.参考答案：略16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b+c=12，C=120°，sinB=，则cosA+cosB的值为

．参考答案：考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件求得cosB的值，再根据cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）利用两角和的余弦公式求得cosA，从而求得cosA+cosB的值．解答： 解：在△ABC中，∵C=120°，sinB=，∴cosB==，cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）=﹣cos120°cosB+sin120°sinB=+=，故cosA+cosB=+=，故答案为：．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．17.已知函数在区间上存在零点，则n=

．参考答案：5函数是连续的单调增函数,

,

,

所以函数的零点在(5,6)之间,所以n=5

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，斜三棱柱，已知侧面与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠，=2，若二面角为30°，

（Ⅰ）证明:及求与平面所成角的正切值；

（Ⅱ）在平面内找一点P，使三棱锥为正三棱锥，并求此时的值。参考答案：解：（Ⅰ）面面，因为面面＝，，所以面．易得

……………3分取中点，连接，在中，是正三角形，，又面且面，，即即为二面角的平面角为30°，面，，在中，，取中点D，连接，即与面所成的线面角，

……………8分（Ⅱ）在上取点，使，则因为是的中线，是的重心，在中，过作//交于，面，//面，即点在平面上的射影是的中心，该点即为所求，且，．=2

……………12分略19.（本题12分）求下列函数的导数：（1）y=（2）y=ln（x＋）（３）y=;

参考答案：解:（1）y′===（2）y′=·（x＋）′=（1＋）=（３）y′==略20.在正项等差数列中，，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）记，求数列的前项和.参考答案：（1）设等差数列的公差为d.依题意得即结合可化简得，解得d=4(负值舍去).(3分)（4分）(6分).（2）当n为偶数时，=(9分)当n为奇数时,n+1为偶数，，(11分)综上所述，（12分）21.（12分）（2015?万州区模拟）如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，?=1，且斜率为的直线m与椭圆交于不同的两点，这两点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）设椭圆方程为，利用数量积运算可得，可得1=a2﹣c2．直线m的方程为，x=c时代入椭圆方程可得，联立解得即可．（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由kMF=﹣1可得kPQ=1．设直线l为y=x+m，与椭圆方程联立可得3x2+4mx+2m2﹣2=0（*）．把根与系数的关系代入，化简整理即可得出．解析：（1）设椭圆方程为，∵，即（a+c）?（a﹣c）=1=a2﹣c2，∴b2=a2﹣c2=1①由题意知，直线m的方程为，对于当x=c时由已知得，点在椭圆上，∴，②由①②得

c2=1，∴a2=2．故椭圆方程为．（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵M（0，1），F（1，0），∴kMF=﹣1．∵PQ⊥MF，∴kPQ=1．设直线l为y=x+m，联立得3x2+4mx+2m2﹣2=0（*）．∴，．∵，又yi=xi+m（i=1，2），得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0即，∴，化简得3m2+m﹣4=0解得或m=1，经检验m=1不符合条件，故舍去，符合条件．则直线l的方程为：．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.某公司的研发团队，可以进行A、B、C三种新产品的研发，研发成功的概率分别为P（A）=，P（B）=，P（C）=，三个产品的研发相互独立．（1）求该公司恰有两个产品研发成功的概率；（2）已知A、B、C三种产品研发成功后带来的产品收益（单位：万元）分别为1000、2000、1100，为了收益最大化，公司从中选择两个产品研发，请你从数学期望的角度来考虑应该研发哪两个产品？参考答案：【分析】（1）设A，B，C研发成功分别记为事件A，B，C，且相互独立；计算恰有两个产品研发成功的概率即可；（2）选择A、B和A、C，B、C对应的两种产品研发的分布列与数学期望，比较得出结论．【解答】解：（1）设A，B，C研发成功分别记为事件A，B，C，且相互独立；记事件恰有两个产品研发成功为D，则P（D）=P（A）?P（B）?P（）+P（A）?P（C）?+P（B）?P（C）?P（）=××+××+××=；（II）选择A、B两种产品研发时为随机事件X，则X的可能取值为0，1000，2000，3000，则P（X=0）=P（）?P（）=×=，P（X=1000）=P（A）?P（）=×=，P（X=2000）=P（）?P（B）=×=，P（X=3000）=P（A）?P（B）=×=，则X的分布列为；X0100020003000PX的数学期望为E（X）=0×+1000×+2000×+3000×=；选择A、C两种产品研发时为随机事件Y，则Y的可能取值为0，1000，1100，2100，则P（Y=0）=P（）?P（）=×=，P（Y=1000）=P（A）?P（）=×=，P（X=1100）=P（）?P（C）=×=，P（X=2100）=P（A）?P（C）=×=，则Y的分布列为；Y0100011002100PY的数学期望为E（Y）=