高中数学-1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学课件设计

§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)高二数学人教A版选修2-3第一章

计数原理§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)学习目标1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一分类加法计数原理第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车.思考1

该志愿者从上海到天津的方案可分几类？答案答案两类，即乘飞机、坐火车.思考2

这几类方案中各有几种方法？答案答案第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法.思考3

该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？答案答案共有7＋6＝13(种)不同的方法.(1)完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法.(2)完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝

种不同的方法.梳理m＋nm1＋m2＋…＋mn思考1

知识点二分步乘法计数原理该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？答案答案两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津.若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有7个航班，从青岛到天津每天有6列火车.思考2

完成每一个步骤各有几种方法？答案答案第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法.思考3

该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？答案答案共有7×6＝42(种)不同的方法.梳理(1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法.(2)完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝

种不同的方法.m×nm1×m2×…×mn题型探究

类型一分类加法计数原理A.6个

B.8个

C.12个

D.16个答案解析解析因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个).(1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事.(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路反思与感悟解析当x＝1时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；当x＝2时，y＝1,2,3，共构成3个有序自然数对；当x＝3时，y＝1,2，共构成2个有序自然数对；当x＝4时，y＝1，共构成1个有序自然数对.根据分类加法计数原理，共有N＝4＋3＋2＋1＝10(个)有序自然数对.跟踪训练1

若x，y∈N*，且x＋y≤5，则有序自然数对(x，y)共有____个.答案解析10解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10000(个)四位数的号码.例2

一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)类型二分步乘法计数原理解答解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，即m1＝10；第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9；第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8；第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝7.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5040(个)四位数的号码.引申探究若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？解答(1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.(2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路①分步：将完成这件事的过程分成若干步；②计数：求出每一步中的方法数；③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.反思与感悟解析由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法.由分步乘法计数原理，得抛物线的条数为5×5×4＝100.跟踪训练2

从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为_____.答案解析100例3

现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？类型三两个原理的综合应用解答解分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法.(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？解答解分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法.(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解答解分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法.所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法.(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法.(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.(3)混合问题一般是先分类再分步.反思与感悟跟踪训练3

某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解答解由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.方法一分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说日语的有2＋1＝3(种)选法，此时共有6×3＝18(种)选法；第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法.所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法.方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.第一类：甲入选.(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法，故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种).第二类：甲不入选，可分两步.第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法.综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法.当堂训练1.某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有A.3种

B.6种

C.7种

D.9种23451√解析分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种).答案解析234512.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为A.7 B.12 C.64 D.81√解析要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.故共有4×3＝12(种)不同的配法.答案解析3.把5本书全部借给3名学生，有______种不同的借法.答案23451解析解析依题意，知每本书应借给三个人中的一个，即每本书都有3种不同的借法，由分步乘法计数原理，得共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法.2434.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有____种.(用数字作答)答案23451解析解析分为两类：两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6(种)选法，即共有9种不同选法.95.某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？解答解分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法.由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(种)不同的选法.23451(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？解答解分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法.第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法.由分步乘法计数原理可得，共有N＝8×10×6＝480(种)不同的选法.23451(3)从他们中