高中数学-不等式专题复习之不等式恒成立和存在性问题教学设计学情分析教材分析课后反思

不等式专题复习不等式恒成立和存在性问题教学设计一、教学目标确立依据（一）课程标准要求及解读1.课程标准要求（1）经历从实际情境中中抽象出一元二次不等式模型的过程；（2）通过函数图形了解一元二次不等式与相应函数、方程的关系（3）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题2.课程标准解读（1）不等式的考查主要以中档题为主，以选填题为主；（2）不等式的性质常与简易逻辑结合考查；

（3）不等式的解法主要以一元二次不等式为主，兼顾其它（如简单的分式不等式、绝对值不等式、指对数不等式、与分段函数有关的不等式等），常与集合（选填题）、导数（解答题中对参数的分类讨论）结合；（4）线性规划问题难度不大；（5）基本不等式求最值是重点，要加强训练；（6）不等式的恒成立也应当重视。（二）教材分析本章的主要内容是：不等式的性质、不等式的证明和一些简单不等式的解法；其中不等式的证明和不等式的解法是重点；不等式的性质及其证明中，不等式的证明是难点，掌握不等式的性质是学好本章的关键。本节课的重点是不等式恒成立问题的探究，难点是用求函数（表达式）最值（取值范围）解决恒成立问题（三）学情分析1．认知分析：学生在初中已经学习了一元二次方程和二次函数，对不等式的性质有了初步的了解，在高中也学习了基本不等式，这为我们学习恒成立转化为函数（或二元变量）求最值打下了基础。2．能力分析：高中学段的学生数学思维较初中来说更为严密，抽象思维能力也有了进一步的提升。3．情感分析：学生对高考重点内容的学习有一定的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。因此对于这个阶段的学生来说，对恒成立的学习有一定的基础和必要。二、教学目标目标1：通过独立思考完成典型例题，梳理构建解题方法、解题步骤和注意问题，培养直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象的核心素养目标2：通过小组合作探究完成变式练习，掌握不同的数学问题与不等式恒成立和存在性问题之间的等价转化，培养逻辑推理的核心素养目标3：通过独立思考完成目标检测，合理选择解决问题的方法，培养逻辑推理和数学运算的核心素养.三、评价设计目标1评价：学生通过独立思考，都能用基本三种方法中的一种解决简单的恒成立问题过程；目标2评价：通过小组讨论后的抢答展示，都能注意处理恒成立问题的细节目标3评价：学生通过独立思考，完成目标检测，60%的学生能正确解答，40%的学生通过学生讲解能意识到自己的错误并改正；四、教学过程一、“做”中“理”——问题导入，梳理知识师：通过前面的学习，发现同学们对不等式恒成立问题还存在思路不清晰，方法选择不恰当的情况。针对这一现象，周末让同学们对这类问题进行了题型归类和方法总结，我们一起来看一下这几位同学的总结设计意图：通过优秀同学的整理展示，第一帮助学生学会整理题型的方法及注意事项，第二通过展示带领学生回顾不等式章节所学内容。师：在上周末学习自助餐中，有道恒成立题，有同学有这种做法不等式在上恒成立，求实数的取值范围通过步骤不难发现，这位同学是先把不等式的解集求出来，进而找到解集与之间的包含关系，那问题1：这种做法对不对？为了解决这个问题，我们先一起回顾这样2道题1.不等式的解集为2.不等式的解集为，则实数的值为通过1、2题对应的函数图像不难发现是使得不等式<0的所有x的取值范围，那么自然当时，很显然图形也恒在在x轴下方，所以这种包含关系的做法是可以的。所以我们可以继续做下去，1313由题意得：（1），即①当时，恒成立，②当时（2），即①当时，恒成立，②当时综上所述：的取值范围为设计意图：从学情入手，从学生习惯做法入手讲解，帮助学生了解自己所选方法的优缺点师：但通过接下来的过程不难发现这样做很麻烦，所以不难发现这不是处理恒成立问题的最佳方法。那么请大家在学案上用你总结的方法帮他选出最优的做法。（学生独立完成3）法一：参变分离原不等式等价于在恒成立即令，则在上单调递减，法二：直接原不等式恒成立即令当即，，②当即综上所述法三：根的分布令，在上恒成立的两根满足小结1：不等式恒成立（或存在性）问题的解题方法有哪些？解题步骤解题步骤解题方法解题方法设计意图：通过这道题让学生体会方法的优先选择权。可以总结出处理恒成立问题的主要方法：求根法（适用于好求根的）参数分离、直接方法、当然也可选择根的分布，不过这种方法仅适用于一次和二次函数。对于参数分离、直接方法、我们可以借助这两种方法构造出函数，再利用函数最值来完成，大家通过上面的总结选择一种方法独立完成二、“解”中“结”——典例分析，提炼方法例（1）对任意不等式恒成立，求实数的取值范围.（2）、若存在，不等式成立，求实数的取值范围.（3）对任意不等式恒成立，求实数的取值范围.PAGE14小结2：例1（1）（2）问，不等式恒成立和存在性问题注意的细节是什么？例1（3）问，不等式恒成立和存在性问题注意的细节是什么？求取值范围求取值范围（最值）均值不等式函数单调性简单的线性规划不等式恒成立（存在）问题解不等式集合关系直接（如f(x)>0）参变分离构造表达式一次、二次函数根的分布看针对哪个变量恒成立设计意图：通过例题，让学生自主体会方法的优先选择，体会“细节决定成败的”这句话的实际意义。三、“变”中“悟”——变题悟法，训练思维变式练习1：对于，函数恒小于零，求实数的取值范围.变式练习2：关于的不等式的解集为D，若，求实数的取值范围.变式练习3：在区间上，的图像恒在的图像下方，求实数的取值范围.变式练习4：关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围.变式练习5：已知函数在上有意义，求实数的取值范围.连连看变式练习1例1（1）变式练习2例1（2）变式练习3例1（3）变式练习4设计意图：通过变式练习，让学生体会恒成立隐含的字眼，让学生能够后期做题很好的揭开恒成立神秘面纱，还它本来面目。四、“稳”中“升”——稳定基础，总结提升设计意图：一是检测本节课学生所学内容掌握情况，二是为学生了解后期学生方程根的问题处理方式与恒成立的相同之处奠定基础。五、课堂小结——我的收获1.知识：均值不等式、函数单调性2.题型：不等式恒成立和存在性问题、方程根的问题3.方法：解不等式（方程）、参变分离、直接构造4.本质：构造函数求取值范围（最值）5.思想：函数方程、转化化归、数形结合、分类讨论六、课后作业——知识巩固合作探究流程自主思考--合作探究--交流展示--方法小结合作探究问题探究问题1：命题P和命题q分别对应所学的哪些知识探究问题2：解决命题P和命题q对应的方法分别是什么，将做题思路和过程上台展示解题步骤要求命题p的等价结果命题q的等价结果命题真假判断分类讨论结论大家可以分析出以上3到6变式都是恒成立问题，但却都没有恒成立的字眼，所以大家需要多积累知识，将相类似的问题翻译成恒成立问题。（1分钟整理学案）师：通过系统复习，现在大家已经清楚处理恒成立问题主要的操作过程，那方程根的问题又该如何处理？接下来大家思考例2（投）例2：已知二元一次方程的在内有根，求的取值范围（先独立思考2分钟，然后小组成员相互交流，与好的操作方法就上台展示）通过例题发现，方程根的问题也可以通过参数分离或是直接法构造出函数，利用函数图像反应出的相关性质来完成。不等式恒成立（存在）问题不等式恒成立（存在）问题解不等式集合关系方程根的问题直接（如f(x)>0）参变分离看针对哪个变量恒成立参变分离直接（如f(x)=0）构造表达式一次、二次函数根的分布求取值范围（最值）均值不等式函数单调性简单的线性规划一次、二次函数根的分布解方程根的关系如果我将条件改为有两个实根在，又该如何处理？（投）典例变式：已知二元一次方程两个实根在，求的取值范围参变分离和图像有两个交点对应的取值范围1分钟整理最后大家来看我们这节课通过实际操作系统总结的思维导图，不管是不等式恒成立问题还是方程根的问题，都可以通过构造函数，利用函数图像找到相应的性质来解决相关问题。希望通过这节课，大家课下对自己的总结进行完善。不等式恒成立（存在）问题不等式恒成立（存在）问题方程根的问题解不等式集合关系解方程根的关系直接（如f(x)>0）参变分离参变分离直接（如f(x)=0）构造表达式一次、二次函数根的分布一次、二次函数根的分布求取值范围（最值）均值不等式函数单调性简单的线性规划学情分析从知识储备来说，学生在初中已经学习了一元二次方程和二次函数，对不等式的性质有了初步的了解，在高中也学习了基本不等式，这为我们学习恒成立转化为函数（或二元变量）求最值打下了基础。从心里特征来说，高中学段的学生数学思维较初中来说更为严密，抽象思维能力也有了进一步的提升。在情感态度上学生对高考重点内容的学习有一定的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。因此对于这个阶段的学生来说，对恒成立的学习有一定的基础和必要。效果分析这节课的重要思想采用小组合作方式，在教师的引导下，以学生为主体完成整个课堂教学。就课堂反馈情况来看，学生的引导比较到位，讲解的重点突出，前后呼应，学生完成的比较理想，实现了预期的教学目标，个别不到位的地方，教师都及时的补充和拓展了。学生的课堂活动很积极，课堂气氛融洽，实现了良好的师生互动，完成了预先的教学设计过程。并及时对学生的表现给与充分的表扬、鼓励以及正确的引导。现在的教学需要使用鼓励教育，充分调动学生的积极性和能动性，打开学生思维。在整个过程中学生的表达能力，心理素质都得到了提升。基础较好的学生反映课堂容量较小，也有部分同学反映练习题比较简单，随堂练习在层次上没有太大差异，不能很好的满足各个层次学生的需要，今后在习题的选择上应多下功夫，多查阅些资料，精选细练，力求让每个学生各有所得，都能找到适应个人实际的练习，帮助他们更好的理解，当堂的基础知识，也便于课后学生个人的复习总结。更好的实现课堂教学的时效性。教材分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教B版）第三章1、主要内容：本章的主要内容是：不等式的性质、不等式的证明和一些简单不等式的解法；其中不等式的证明和不等式的解法是重点；不等式的性质及其证明中，不等式的证明是难点，掌握不等式的性质是学好本章的关键。2、教学大纲对这部分的要求：（1）理解不等式的性质及其证明；（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；（3）掌握用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；（4）掌握某些简单不等式的解法；（5）理解不等式；（6）通过不等式的一些应用，使学生进一步理解在现实世界中的量之间，不等是普遍的、绝对的，相等是局部的、相对的，从而对学生进行辩证唯物主义观点的教育。二、新教材的变化及教学建议：（一）新旧教材对比：被明确删去的内容是：三个变量的均值定理；但是两个变量的均值定理给了几何意义；2、被明确简化或可以不涉及的内容(要求随之降低)有：不等式的解法：无理、指对、三角等可以不涉及或简化；带参数的不等式可研究一元一次、一元二次或分式、高次的，其它的看能力。经过这样的精简，新大纲规定为16课时。（二）突出了数学思想和数学方法。本章教材突出的基本数学思想有：集合思想，分类讨论思想，数形结合思想，化归思想。突出的基本数学方法(通法)有：换元法(设中间变量，包括设参数)，除此以外，在本章的各部分内容中，还渗透了等价变换、综合法、分析法以及观察、比较、抽象、概括等方法。三、教学中的体会1、含参不等式的恒成立问题是学生难以理解和掌握的一个难点，是高考常见题型，教师要引导学生掌握求不等式恒成立中参数范围的常见策略和方法。根据不同的条件选择恰当的方法，确定恒成立中参数的范围，提高学生的解题能力。2、不等式经常与函数形成综合题，本章可以利用习题课引入一些综合题，让学生见见。评测练习环节一：“做”中“理”——问题导入，梳理知识【活动1】展示笔记【活动2】判断对错不等式在上恒成立，求实数的取值范围【活动3】揭示本质1、不等式的解集为2、的解集为，则实数的值为3、不等式在上恒成立，求实数的取值范围1313由题意得：（1），即①当时，恒成立，②当时（2），即①当时，恒成立，②当时综上所述：的取值范围为【活动4】帮忙解决不等式在上恒成立，求实数的取值范围小结1：不等式恒成立和存在性问题方法有哪些？环节二：“解”中“结”——典例分析，提炼方法【活动5】典型例题例1：（1）对任意不等式恒成立，求实数的取值范围（2）若存在不等式恒成立，求的取值范围（3）对任意不等式恒成立，求实数的取值范围小结2：例1（1）（2）问，不等式恒成立和存在性问题注意的细节是什么？例1（3）问，不等式恒成立和存在性问题注意的细节是什么？环节三：“变”中“悟”——变题悟法，训练思维【活动6】变式练习变式练习1：对于，函数恒小于零，求实数的取值范围.变式练习2：关于的不等式的解集为D，若，求实数的取值范围.变式练习3：在区间上，的图像恒在的图像下方，求实数的取值范围.变式练习4：关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围.变式练习5：已知函数在上有意义，求实数的取值范围.【活动7】等价转化变式练习1例1（1）变式练习2变式练习3例1（2）变式练习4变式练习5例1（3）环节四：“稳”中“升”——稳定基础，总结提升【活动8】目标检测命题：关于的不等式的解集为D，且；命题：方程在(1,2)上有解，若为真，求实数的取值范围.小结3：梳理构建（系统知识、归纳题型、提炼方法、规范步骤、把握本质）自我评价1.在学完本节课后，你觉得你的掌握情况是（）A很好B较好C一般D较差2.你觉得什么地方没学明白？（请写在下面）课后反思本堂课的教学，在提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等的有机结合中，有序和谐、民主平等地展开。为了能使学生对恒成立问题的认识更深入、更全面，我站在学生的认知起点上设计出一种通过丰富的问题设定开始，并结合我的教学理念：在一种和谐融洽的课堂气氛下，学生能自己解决的问题，教师绝不干涉，只是最后和学生一起总结提升；学生自己解决不了的问题，寻找小组帮助，小组仍有困难可以寻求别的小组帮助，最后再由教师根据课堂上的情况给予相应的提示。鼓励学生动脑、动手、动口，经历观察归纳、探索交流、分析问题解决问题的过程，收获新知和方法，提高数学素养。整堂课中涉及的每一个知识点都以问题的形式做引导，让学生从中发现问题、分析问题并最终解决问题。教学过程中通过环环相扣、设置得当的问题链，激活学生的思维、唤起学生的热情、完善学生的知识结构，使学生整堂课始终处在一种积极的学习状态中：看得专心、听得认真、做得投入、说得流畅、合作得愉快。

另外，本节课在指导学生进行反思上也做了一定工作，反思可以说是学生认知水平从低级到高级发展的一个主要环节，所谓反思也是解决问题后自问几个为什么，为下次解决问题获得有用的经验和教训，从而引导学生不断总结经验教训，真正领悟到数学思想方法，以达到优化学生认知结构，促使学生思维升华，由此达到提高学生学习数学能力之目的。

本节课设计在实施过程中要避免用问题牵着学生走，而是设置情境，让问题呼之欲出，让学生自己发现问题，提出问题进而解决问题。这一点在采用“问题导引，自主探究”这一方式的教学中都应注意。本节课，我始终注重“以生为本”，打破教师讲，学生听的传统教学模式，让学生带着感兴趣的“猫捉老鼠”问题进行本节课新知的探索，每个新知的得出都是通过设置问题让学生自己去发现、分析，再通过自己思考和小组讨论相结合的方式进行学习，并最终解决问题；再由教师加以引导、点评、小结；最后通过自测和变式的形式进行检测。整堂课的安排层层推进、环环相扣、步步深入，使每个学生基本上都能从解答问题中获得新知，真正感受了知识的形成过程，理解深刻，不易忘记，顺利完成了本节课所有知识的学习，突出了重点、突破了难点。根据各个教学环节的不同，学生的行为的不同，采取不同的评价方式。每个目标具体到每一个教学环节，同样每一个教学环节都有适用于他的教学评价。本节课，教师用饱满的情绪去激励学生，感染学生，创设良好的课堂心理气氛。因为