数值计算方法的意义内容

数值计算方法内容和方法§1数值计算方法的意义、内容与方法软件的核心就是算法。20世纪最伟大的科学技术发明---计算机计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；计算机的发展和应用，已不仅仅是一种科学技术现象，而且成了一种政治、军事、经济和社会现象；算法犹如乐谱，软件犹如CD盘片，而硬件如同CD唱机。算法的研究和应用正是本课程的主题！现代科学研究的三大支柱理论研究科学实验科学计算计算数学21世纪信息社会的两个主要特征：“计算机无处不在”“数学无处不在”21世纪信息社会对科技人才的要求：--会“用数学”解决实际问题--会用计算机进行科学计算建立数学模型选取计算方法编写上机程序计算得出结果科学计算解题过程一、计算数学的产生和早期发展计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅是计算，但推动数学产生和发展的最直接原因还是计算问题。

二、二十世纪计算数学的发展数值代数

最优化计算

数值逼近

计算几何

概率统计计算

蒙特卡罗方法

微分方程的数值解法

微分方程的反演问题

数值计算的主要内容数值代数：方程求根、线性方程组求解、特征值的求解；数值逼近：插值、分和积分、最小二乘法；微分方程数值解：常微分方程数值解；偏微分方程数值解：差分法有限元法有限体积法教材

数值计算方法徐涛

编著（吉林科学技术出版社）参考书目

应用数使用MATLAB和C语言

RobertJ.Schilling&San（机械工业出版社）

NumericalRecipesinC++TheArt著

（电子工业出版社）

现代数值分析

李庆扬、易大义、王能超

编著（高等教育出版社）

§2

算法一、算法的概念

描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常语言和数学语言加以用框图直观地显示算法的全貌。

定义：由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的解题步骤，称为算法。例1：一剥群小牢兔一鹅群鸡盒，两锡群合伯到一欣群里砍，要沃数腿爷共48，要数寺脑袋克整17，多条少小饭兔多日少鸡广？算术成方法哥：若没夹有小个兔，够则鸡面应是17只总腿绕数搞：2＊17＝34一只帜小兔陶增加2条腿酷，应该陵有只小兔10只小较鸡代数仔方法带：设有x只小罪鸡，y只小杰兔鼠，(-含2)渡*(锄i)互+孩(i挡i)伙,得只小兔高斯帖消去良法例：衡求解脾二元满一次吉联立逢方程带组用行似列式坑解法送：首坡先判准别

（1）如果，则令计算机计算

输出逐计算之的结财果x1，x2。（2）如果D=0，则穴或是智无解卸，或葵有无斑穷多母组解扎。令通过漆求解佩过程快，可肤以总艺结出菜算法扰步骤幻玉如下谅：S2计算S3如果则输阁出原妇方程握无解竹或有够无穷遣多组侦解的昼信息;否则S1输入S4输出计算的结果输入D=a11a22-a12a21D=0开始输出

x1,x2

结束

No输出无解信息Yes二、信算法顺的优滩劣计算搬量小存贮偷量少逻辑够结构里简单例：哄用行俱列式浇解法苍求解告线性半方程略组:n阶方仍程组夕，要撕计算n+克1个n阶行柏列式条的值断，总共绣需要茅做n!验(n-绘1)泥(n+拥1)次乘墙法运帐算。n=们20需要劣运算港多少荡次？n=耳10住0?一、误差怒的背娘景介倦绍1.来源爸与分也类从实界际问羊题中晋抽象叨出数价学模恰型——模型绘误差§3数值辽计算煎中的锹误差例1:质量劣为m的物熔体，乒在重债力作瓣用下物，自跟由下闭落，其下缺落距绑系是序：（1.1）其中g为重盈力加殖速度两。通过访测量豆得到轨模型嗽中参姨数的加值——观测睡误差求近串似解——方法极误差(截断蜻误差鱼）机器策字长惰有限——舍入羞误差用计纵算机伏、计耀算器尝和笔统算，第都只缓能用搞有限馒位小壮数来代倘替无异穷小哥数的暗小数骨来代萍替位巨数较贝多的有鲜限小贝数，康如：=容3.这14迟15熊92诊6…x=保8.竿12帜34体5四舍添五入辰后……在数喝值计斑算方尚法中驱，主岂要研糕究截断辈误差和舍入企误差（包蕉括初砌始数梁据的绢误差造）对瓶计算佩结果骂的影浸响！二、件绝对敬误差仙、相辱对误恶差和悬有效先数字1．绝孟对误虽差与盐绝对标误差张限例2:若用秒以厘脾米为史最小祸刻度曾的尺奋去量截桌子籍的长句，大约售为1.败45米，穴求1.戒45米的裹绝对钞误差愁。1.努45米的绝对外误差=？不知贯道！定义1：设x是准确值，x*为x的一个近似值，称

是近似值x的绝对误差,简称为误差。

（1.5）但实际问题往往可以估计出不超过某个正数，即，，则称

为绝对误差限，有了绝对误差限就可以知道x范围为即x落在内。在应用上，常常采用下列写法来刻划x*的精度。2．相对剖误差滥和相宏对误障差限（1.6）定义2：设x是准质确值脊，x*是近摔似值您，称满足 为近似值x的相对误差，相应地，若正数，

则称为x的相对误差限。3．有效槐数字则说x*近似苹表示x准确修到小呜数后枕第n位，刺并从报这第n位起直到范最左窑边的察非零证数字度之间捐的一家切数残字都百称为有效律数字，并把特有效号数字新的位炎数称湾为有效宝位数。定义3：如果（1.7）由上贯述定景义有效数位为3位有效数位为5位有效数位为4位误差芹的传厚播与钟积累例3：蝴蝶佩效应——纽约妹的一网只蝴涛蝶翅罗膀一劳拍，纲风和夜日丽乱的北捏京就筑刮起弟台风及来了宿？！NYBJ以上诞是一幅个病口态问械题§4数值凤计算冻中应变该注娘意的僻一些县原则1．要械使用菊数值私稳定胸的算态法例4：求

（n=0,1,2,…,8）的值。解：唐由于初值递推竟公式（1.8）注意母此公舞式精确成立按(1两.8势)式就竞可以违逐步脏算出Wh救at棕h溜ap雕pe赛ne查d?秘!不稳要定的独算法铅！由递推推公握式（1.辽8）计算学结果杠的影嘉响，虚随着n的增吓大愈来些愈严奶重。席这就祸造成I4的计听算结牙果严暂重失南真。这就殿是误攀差传聋播所紧引起蚕的危茧害!改变颗公式缺：将公式变为不妨迅设I9I10，于是停由可求殃得I90.两01挽7，按公隔式（1.识9）可逐阻次求甚得（1.9）I80.园01表9I70.求02乱1I60.冒02眼4I80.贿02蚂8I40.居03哥4I30.全04圆3I20.渠05丝式8I10.垮08涨8I00.败18云2稳定汉的算辈法闯！在我厅们今赢后的皂讨论瓣中，误差将不餐可回含避，算法轰的稳定疾性会是野一个单非常晚重要艇的话械题。2．要恋避免漏两个鼓相似睁数相续减在数叼值相岩近的金数作炊减法划时有袋效数偶字会阿损失惨。（1.10）的值郑。当x=僚10祥00，y的准裕确值慰为0.蜜01光58铲01、直接符相减2、将（1.简10）改写斧为则y=续0.拘01始58孤1例5:求类似铲地2.绝对踢值太掘小的尖数不料宜作袜除数例6：如分约母变裁为0.豆00维11，也环即分间母只更有0.洁00筝01的变胀化时3.避免会大数吃小数例7：用单精度计算的根。精确井解为算法1：利用求根公式在计乘则：1盼=泽0.订00衡00塑00不00去01较1010，取既单精浸度时氏就成戏为：109+1砌=0凉.1秃00来00荒00颈01吵010+0瓦.0善00拌00迁00述0莫1逢010=0赤.1铺00阻00拾00恋0趴1扒010算法2：先朱解出注：求和显时从塑小到辆大相殖加，特可使酬和的辫误差命减小它。例8：按钟从小莫到大沃、以涉及从壶大到邀小的非顺序替分别漂计算4.先化浸简再毯计算绩，减求少步膊骤，阔避免职误差虑积累有。一般贤来说某，计声算机蠢处理初下列罢