应用留数定理计算实变函数定积分

§4.2

应用留数定理

计算实变函数定积分在自然科学中常常需要计算一些实积分，特别是计算一些在无穷区间上的积分。例如：光学问题中需要计算菲涅尔积分；热传导问题中需要计算；阻尼振动问题中需要计算积分等。我们在高等数学中已经知道这些实变函数的积分需要特殊的技巧才能计算，有的很难，甚至不能计算。原因在于被积函数往往不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛顿—莱布尼兹公式计算。可是通过本节的学习我们会发现，这些实积分可以转化为复变函数的环路积分(注意到当积分路径沿实轴时，z=x即对应于实积分)，再利用留数定理，则积分显得方便易求。利用留数定理计算实积分一般可采用如下步骤：(1)添加辅助曲线，使积分路径构成闭合曲线；(2)选择一个在曲线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数F(z)，使得满足F(x)=f(x)，通常选用F(z)=f(z)，只有少数例外；(3)计算被积函数F(z)在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数，然后求出这些留数之和；(4)计算辅助曲线上函数F(z)的积分值，通常选择辅助线使得积分简单易求，甚至直接为零。设法将实积分与复变函数回路积分相联系。基本思想：(1)补上一段l2，使得l2上的积分容易计算；(2)自变数变换，把l1变成另一复平面上的回路。类型一：条件：

①被积函数是三角函数的有理式；

②区间是[0，2π]

变数代换令z=eix，x∈

[0，2π]，作变换令由留数定理得：zk为f(z)在单位圆内的奇点例1：计算该积分在力学和量子力学中很重要例2：计算

解：令z=eix，则

f(z)有两个2阶极点，

其中在|z|=1内，则z1处的留数为例3：计算

解：令z=eix，则

在|z|=1内，

，以z=ε为一阶极点例4：求的值解：令z=eiθ，则被积配函数在|z|=1内只前有单狐极点，故类型议二：(反常弯积分)条件森：①区须间(-狐∞，∞)；②f(z)在实盾轴上先无奇携点，泻在上羡半平讲面上除有塑限个薯奇点叔外是友解析殊的；③当z在上绘半平锋面和殖实轴绳上→雁∞时圆，zf(z)一致庙地→0若象，通和说为标互质下多项式惧，上被述条狸件意掉味着族无实采的零点，惩的独次数棒至少司比介高康两阶病。所求降积分统通常墙理解拘为下迷列极钳限：若上纱述极更限存晒在，娘这一昨极限筛便称脚为的值麻。而羊当R1=R2→∞时极凭限存茫在的尺话，叨该极喊限称店为积旱分的主值座，记挪为：P上下消限相告等并膏同时轰→∞本类真型积程分计盒算的居是积分娃主值，如何计估算？金作如那图所乒示半驳圆形杯回路l只需肾证明例4：计算解：=1，=1插+x2，在实免轴上卖无零增点，而固，具词有单极点±i，+i在上卖半平纺面，蛇则例5：计算，（n为正鱼整数淋）解：∵是偶枕函数而眯在上鹅半平面房诚具有n阶极租点+i，则例6：计算解：∵f(x)是偶砌函数令z4+a4=0，则z4=-a4，即也就缺是说认有4个单贩极点薯，其中，苦和竿在上体半平堤面例7：计算,(a>0,b>0)的值球。解：∵的分妖母多薄项式的次木数高浪于分萝子多捆项式逐次数铅两次纷，它在上芬半平护面有z1=ai和z2=bi两个思单极丑点所以例8：计算的值壳。解：∵为偶劲函数穷，且网分母篇多项式的课次数酿高于俩分子价多项币式次责数两佩次，它在雪上半忙平面鞠有竞和两个组单极拢点，除所以类型尺三：条件埋：①F(x)是偶默函数症，G(x)是奇崭函数耽，积想分区间业是[0，∞]；②F(x)，G(x)在实投轴上费无奇略点，遵在上居半平面谱除有假限个讽奇点兄外是苏解析役的；③当z在上犬半平皆面或品实轴匙上→旷∞时庙，F(x)和G(x)一致袋地→0。要计闷算右坐边的叹积分贪，需布要用付到约裙当引悲理。约当却引理如果m为正笨数，CR是以庸原点脱为圆渔心而炼位于梁上半毙平面椒的半派圆周众，又洞设当z在上软半平脱面及摆实轴盛上→秧∞时舱，F(z)一致愈地→0，则证明巾：当z在上悉半平疫面及承实轴期上→句∞时壮，F(z)一致曲地→0，所没以ma惭x|F(z)|→0，从洞而只翁需证糠明即是有燥界的胀。在范围悉内，易有惧，当R→∞灵时，良上式纤→有概限值符，则吧约当严引理制成立担。如果m为负县数，全则约啄当引滴理为C'R是CR对于聋实轴疼的映划像。以上贴两式冶均已勤化为档类型料二，沿其中赚条件3已放诞宽，鹊由约当挥引理保证搅，所迹以例：速计算(a>0)的值免。解：兼有伪两个牌单极阳点±ai，其惜中ai在上向半平污面，撞则特殊始情形叔：实迁轴上膊有单嘴极点娃的情病形条件粮：①f(x)在实钳轴上喊