山西省运城市神柏乡中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析

山西省运城市神柏乡中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如右图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，O是EF的中点，现在沿DE，DF及EF把这个正方形折成一个四面体，使A，B，C三点重合，重合后的点记为G，则在四面体D-EFG中必有（

）A.所在平面

B.所在平面C.所在平面

D.所在平面参考答案：C2.已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，异于点A的两动点B、C分别在、上，且BC=，则过A、B、C三点的动圆所形成的图形面积为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：D略3.用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2 B．（k+1）2+k2C．（k+1）2 D．参考答案：B【考点】RG：数学归纳法．【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2故选B．4.将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3

5 7

9

11 13

15

1719 ……按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为

．A、

B、

C、

D、参考答案：B5.下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1=1，an=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆的面积S=πabD．以上均不正确参考答案：B【考点】归纳推理．【分析】本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．【解答】解：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πab，用的是类比推理，不符合要求．故选：B．6.设满足约束条件则的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D7.直线如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是

(

)

A．

B．C．三棱锥的体积为定值D．参考答案：D略8.已知点A(1,3)、B(5,2)，点P在x轴上，使|AP|–|BP|取得最大值时P的坐标（

）

A.（4,0）

B.

(13,0) C.

(5,0)

D.

(1,0)

参考答案：B9.设为等差数列，公差,为其前n项和，若，则A．18

B．20

C．22

D．24参考答案：B10.在等比数列中,若,则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知P为抛物线上任一点，则P到直线距离的最小值为__________。参考答案：略12.直线l1过点A(1，0)，l2过点B(0，5)。若l1∥l2，且l1与l2的距离为5，则l1的方程是

。参考答案：y=0或5x–12y–5=0；13.将十进制数69转化为二进制数：69（10）

．参考答案：1000101（2）【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；算法和程序框图．【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：69÷2=34…134÷2=17…017÷2=8…18÷2=4…04÷2=2…02÷2=1…01÷2=0…1故69（10）=1000101（2）故答案为：1000101．【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．14.6名学生排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，则共有

种排法。

参考答案：504甲排在队尾：5！=120种排法；甲不排在队尾：（甲有4种排法，此时乙有四种排法，剩下的4名学生有4！）∴一共有：120+384=504种排法

15.已知满足，则函数的最大值与最小值之和为

．参考答案：2016.已知则x=

。参考答案：3或717.已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝ax2－x＋lnx（a＞0）．（Ⅰ）若f(x)是单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．参考答案：略19.中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：

中国结（个）记事本（本）笔袋（个）合计（元）小组A21010小组B13110小组C05230为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．参考答案：【考点】进行简单的合情推理．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】设中国结每个x元，记事本每本y元，笔袋每个z元，由题设列出方程组，由系数行列式D=0，得方程组有无穷多组解或无解，再由Dx，Dy，Dz均不为0，得到该方程组无解．【解答】（本题满分12分）解：设中国结每个x元，记事本每本y元，笔袋每个z元，由题设有，∵，∴方程组有无穷多组解或无解，又，，，∴该方程组无解．【点评】本题考查行列式知识的应用，是基础题，解题时要注意系数行列式在解线性方程组时的合理运用．20.如图，在直三棱柱中，AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点求证：DE∥平面ABC；求三棱锥E-BCD的体积。参考答案：⑴取BC中点G，连接AG，EG，因为是的中点，所以EG∥，且．由直棱柱知，，而是的中点，

所以，…………4分所以四边形是平行四边形，所以，又平面，

所以∥平面．

………7分⑵因为，所以平面，

所以，………10分由⑴知，∥平面，所以．…14分

21.把正方形AA1B1B以边AA1所在直线为轴旋转900到正方形AA1C1C，其中D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：B1F⊥平面AEF；（3）求二面角A﹣EB1﹣F的大小．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB的中点为G，连接DG，CG；根据条件可以得到CEDG是平行四边形即可得到结论；（2）直接把问题转化为证明AF⊥B1F以及B1F⊥EF；（3）先建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）设AB的中点为G，连接DG，CG∵D是A1B的中点∴DG∥A1A且DG=…∵E是C1C的中点∴CE∥A1A且CE=，∴CE∥DG且CE=DG∴CEDG是平行四边形，∴DE∥GC∵DE?平面ABC，GC?平面ABC，∴DE∥平面ABC…（2）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且F是BC的中点∴AF⊥BC∵平面ABC⊥平面BCC1B1∴AF⊥平面BCC1B1∴AF⊥B1F…设AB=AA1=2，则在B1FE中，，则，B1E=3∴∴△B1FE是直角三角形，∴B1F⊥EF∵AF∩EF=F∴B1F⊥平面AEF…（3）分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz如图，设AB=AA1=2，则设A（0，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），D（1，0，1）…∵AF⊥平面BCC1B1，∴面B1FE的法向量为=（1，1，0），…设平面AB1E的法向量为，∵，∴，，∴2y+z=0，，x+z=0，不妨设z=﹣2，可得…∴=∵二面角A﹣EB1﹣F是锐角，∴二面角A﹣EB1﹣F的大小45°…22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线C的直角坐标