浙江省温州市第十七高中2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

浙江省温州市第十七高中2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，，，，则(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：B

【知识点】向量数量积的运算;余弦定理F3C8解析：，又由余弦定理知．故选B．【思路点拨】先利用向量数量积得到cosA,再由余弦定理可得结果。2.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2参考答案：B【考点】3T：函数的值．【分析】利用分段函数的性质和对数的运算法则求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log24=﹣2．故选：B．3.若是真命题，是假命题，则

（

）

A．是真命题

B．是假命题

C．是真命题

D．是真命题参考答案：D略4.在等差数列中，，则数列的前11项和等于（

）A.24

B.48

C.132

D.66参考答案：C5.下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=e﹣x B．y=ln（﹣x） C．y=x3 D．y=参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】对选项根据函数的奇偶性和单调性，一一加以判断，即可得到既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的函数．【解答】解：由于函数y=e﹣x是减函数，但不是奇函数，故不满足条件．由于函数y=ln（﹣x）不是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，故不满足条件．由于函数y=x3是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，故不满足条件．由于函数y=是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，故满足条件，故选D．6.已知，则=（

)A．

B．

C.

D．参考答案：B因为，所以，将式子两边平方得，所以，故选B.

7.已知x＞1，y＞1，且lgx，，lgy成等比数列，则xy有（）A．最小值10 B．最小值 C．最大值10 D．最大值

参考答案：B【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由题意和等比中项的性质列出方程，由条件和基本不等式列出不等式，由对数的运算法则求出xy的最小值．【解答】解：∵lgx，，lgy成等比数列，∴=（lgx）（lgy），即（lgx）（lgy）=，又x＞1，y＞1，∴lgx＞0，lgy＞0，∴lgx+lgy，当且仅当lgx=lgy时，即x=y取等号，∴lgx+lgy=lg（xy）≥，则xy≥，即xy有最小值是，故选B．【点评】本题考查等比中项的性质，基本不等式，以及对数的运算法则的应用，属于基础题．8.己知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是

A．108cm3

B．92cm3

C．84cm3

D．100cm3参考答案：D9.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，在底面△ABC中，∠C=60°，，则此直三棱柱的外接球的表面积为（）A． B． C．16π D．参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC的小圆半径为1，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面小圆ABC的半径为=1，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：=2，外接球的表面积为：4π?22=16π．故选C．10.已知复数（其中a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a+i的模为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数==+i是纯虚数，∴=0，≠0，∴a=，则|a+i|===．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数在处取得极值10，则取值的集合为

参考答案：略12.已知函数f(x)=sinx-cosx且f′(x)=2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则=____.参考答案：-【分析】由函数f（x）的解析式，利用求导法则求出导函数f′（x），然后把函数解析式及导函数解析式代入f'（x）=2f（x），整理后利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanx的值，把所求式子分子中的“1”变形为sin2x+cos2x，分母中的sin2x利用二倍角的正弦函数公式化简，分子分母同时除以cos2x，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanx的值代入即可求出值．【详解】因为f′(x)=cosx+sinx，f′(x)=2f(x)，所以cosx+sinx=2(sinx-cosx)，所以tanx=3，所以====-.故答案为-【点睛】此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：求导法则，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．13.双曲线的焦距为渐近线方程为.参考答案：2;y=±x本题考查双曲线的基本量.由题知故,焦距:,渐近线:.14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.参考答案：略15.已知则=__________________参考答案：16.对任意实数，若不等式恒成立，则的取值范围是_________．参考答案：略17.给出如下五个结论：①若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB．②存在区间（a，b）使y=cosx为减函数而sinx＜0③函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称④y=cos2x+sin（﹣x）既有最大、最小值，又是偶函数⑤y=|sin（2x+）|最小正周期为π其中正确结论的序号是．参考答案：③④考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；阅读型；三角函数的图像与性质．分析：若△ABC为钝角三角形，且B为钝角，即可判断①；由y=cosx的减区间，结合正弦函数的图象，即可判断②；计算f（x）+f（﹣x），即可判断③；运用二倍角公式，化简整理，再由余弦函数奇偶性和值域和二次函数的最值求法，即可判断④；运用周期函数的定义，计算f（x+），即可判断⑤．解答：解：对于①，若△ABC为钝角三角形，且B为钝角，则sinA＞cosB，即①错；对于②，由于区间（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）为y=cosx的减区间，但sinx＞0，即②错；对于③，由f（x）+f（﹣x）=2x3﹣3x+1﹣2x3+3x+1=2，则函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称，即③对；对于④，y=cos2x+sin（﹣x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=2（cosx+）2﹣，由于cosx∈[﹣1，1]，则cosx=﹣时，f（x）取得最小值，cosx=1时，f（x）取得最大值2，且为偶函数，即④对；对于⑤，由f（x+）=|sin（2x+π++）|=|sin（2x+）|=f（x），则最小正周期为，即⑤错．故答案为：③④．点评：本题考查正弦函数和余弦函数的单调性和值域，考查周期函数的定义及运用，考查函数的对称性以及最值的求法，考查运算能力，属于中档题和易错题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设函数为正整数，为常数．曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）证明：.参考答案：解：（Ⅰ）函数……………1分曲线在点处的切线方程为，则…………2分；则……1分故……………1分令得，当当故函数在上单调递增；在上单调递减…………1分故在上最大值为………1分（Ⅱ）证明：欲证成立，只需证：……………1分即证:即……………1分对于函数在在上的最小值为故，即成立………2分令成立，故原命题成立…1分19.（满分12分）已知函数＝（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在[－3,3]上的最大值和最小值。参考答案：20.（14分）已知函数，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数g（x）在区间[2，4]上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有g（m）≥f（n）成立．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出g（x）在[2，4]上的最小值即可；（Ⅱ）求出g（m）的最小值，根据函数的单调性求出f（x）的最大值，从而证出结论即可．【解答】（Ⅰ）解：由g（x）=xlnx，可得g'（x）=lnx+1．当，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当，g'（x）＞0，g（x）单调递增．所以函数g（x）在区间[2，4]上单调递增，又g（2）=2ln2，所以函数f（x）在区间[2，4]上的最小值为2ln2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知g（x）=xlnx（x∈（0，+∞））在时取得最小值，又，可知．由，可得，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．所以函数f（x）（x＞0）在x=1时取得最大值，又，可知，所以对任意m，n∈（0，+∞），都有g（m）≥f（n）成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．21.某工厂去年某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k＞0，k为常数，且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为万元．（1）求k的值，并求出的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?参考答案：（1）由，当n＝0时，由题意，可得k＝8，所以．（2）由．当且仅当，即n＝8时取