2024年北京大学强基计划数学试卷试题真题(含答案详解)_第1页
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文档简介

试卷第=page11页,共=sectionpages33页试卷第=page11页,共=sectionpages33页北京大学2024年强基计划笔试数学试题1.求模7的余数.2.求.3.求的排列的个数,使得排列中没有出现连续的.4.已知数列,求第2024项模5的余数.5.求四元组的个数,使得,且.6.求上方程的解的个数.7.求上方程的解的个数.8.求上方程的解的个数.9.在体积为的正方体内取一个点,过这个点作三个平行于正方体面的平面,将正方体分为个长方体,求这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值.10.在离心率为的椭圆中,是两个焦点,是椭圆上一点,且,求.11.用表示正整数的数码和,求满足与均为5的倍数的的最小值.12.称正整数为好数,当它各位数字均不相同,且对于所有正整数满足,都有,求最大好数的范围(

)A.

B.

C.

D.以上均不对13.在中,求的最小值或下确界.14.在中,若边上的高为,求的范围.15.在中,若在上,比较与的大小.16.在中,若为形外一点,满足,线段与线段交于,且,,求.17.在中,若在上,平分的内心与的外心重合,求.18.在中,若在上,平分,求的周长.19.在中,求的最大值的取等条件.20.,用表示不超过的最大整数,并用表示小数部分,已知:,,求

.答案第=page11页,共=sectionpages22页答案第=page11页,共=sectionpages22页1.1【分析】只要注意到19与20的相邻关系,容易将高斯取整写成普通的计算式,剩下就只需要对幂次进行常规的同余计算.【详解】因为,所以,上述中用到,,所以.2.【分析】由,化简得到,,化简得到,从而将原式化简为,利用,求出,即可求解.【详解】因为,从而得到:,则由于,,所以,因为因为所以,即,解得:或(舍去)所以3.【分析】先考虑包含连续的排列对应的七个集合,计算它们通过取交得到的集合的元素个数,然后利用容斥原理得到不满足条件的排列数,再用总排列数与该数相减即得答案.【详解】对有限集合,记其元素个数为.在的所有排列中,设为所有包含连续的的排列构成的集合,这里.则对而言,集合中的所有排列,都相当于在将需要相邻的数进行捆绑以后,个整体元素的全排列,从而.故由容斥原理即得.这就表明出现了连续的中之一的排列有个,所以不出现连续的的排列有个.故所求排列的个数为.4.4【分析】设,可得,从而得到,即可求解【详解】设数列满足:,,,,,,,,,,,设,所以,,则,故所以64模5余数为45.25【分析】根据,可得可能的取值,再利用排列组合求得四元组的个数.【详解】因为,且,所以的取值有三种不同的组合:或或,即,当时,四元组有个,当时,四元组有1个当时,四元组有个,故满足题意的四元组的个数为个.6.【分析】根据指数函数和三角函数的性质可得只能,分别比较和时,的大小关系,再根据函数和的凹凸性即可得解.【详解】由,只能,当时,,当时,,令,则,所以在上单调递减,,所以函数是凹函数,令,则函数在上单调递减,,,所以函数是凸函数,所以函数与有两个交点,即上方程的解的个数为个.7.【分析】用反证法证明原方程的解都满足,即,然后逐一代入验证即可.【详解】一方面,假设原方程有一个满足的根,则.令,则.对,有,故;对,有,故.所以对,都有,从而由知,矛盾.所以无解,故原方程的解,只有满足,即,直接验证即知都是原方程的解.所以原方程一共有个解.8.【分析】由得,由得,解得的范围,得可能取值为,代入计算检验即可.【详解】由得,所以,因为,所以,得,解得,此时可能取值为,分别代入计算可得,经检验不符合题意,故方程的解只有4个.【点睛】关键点点睛:根据得不等式组,进而得可能取值为,代入计算可得.9.【分析】先通过不等式方法证明这个长方体中至少有个的体积不超过,再说明当,,时,这个长方体中恰有个的体积不超过,即可说明这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值为.【详解】设该正方体的长宽高分别被切成长度为和,和,和的两段,这里,且根据据对称性,可不妨设.此时,个长方体的体积分别是.由,可知,.由于,故.而,故和中至少有一个数不超过,所以这个长方体中至少有个的体积不超过.当,,时,个长方体的体积分别是,此时这个长方体中恰有个的体积不超过.综上,这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值为.10.【分析】根据离心率确定,根据椭圆定义及求出,在中,由余弦定理求得,再计算面积即可.【详解】由题意得,即,由椭圆定义知,,又,所以,在中,由余弦定理得,解得,所以.

11.49999【分析】利用的必要条件为得到最小为4,得到最后的结果.【详解】设的末尾有个9,即,所以,此时必要条件为,所以最小为4,当时不符合题意,所以最小可能为五位数,经检验最小值为49999.12.D.【分析】利用题目给的“好数”的定义,设,结合由,得到的最大可能值为4,从而求出最大的好数为3570.【详解】设,由可得,其中,所以的最大可能值为4.当,由,得,有,解得,经检验最大的好数为3570.故选:D.13.【分析】要使最小,则为钝角三角形,不妨假设为钝角,可得,利用余弦值的范围可得,即可得到答案.【详解】在中,要使最小,则为钝角三角形,不妨假设为钝角,则,,所以,则,,,所以则则,当为等腰三角形,且无限接近于时,无限接近于,即的下确界为14.【分析】利用三角形面积公式和余弦定理得到,从而表达出,求出,结合基本不等式求出,得到结论.【详解】由三角形面积公式得,即,由余弦定理得,故,,其中,当且仅当,即时,等号成立,又,当且仅当时,等号成立,故.15.【分析】由余弦定理求出三角形每个内角的余弦值,从而求出对应正弦,在和分别利用正弦定理得到:和,化简,即可求解.【详解】在中,若在上由余弦定理可得:,同理:,,在中,,,所以,,设,,则,在,由正弦定理可得:,同理在,,所以,所以16.【分析】使用平面几何知识证明点是外接圆的圆心,然后利用圆的相交弦定理即得结果.【详解】由于线段与线段有交点,故点和点一定在线段的同侧(否则线段和整体各位于线段的两侧且端点不同,不可能有交点).而,,且和在的同侧,故由圆心角是圆周角的2倍,可知点一定是外接圆的圆心.记的外接圆为,并设为在上的对径点,则根据相交弦定理有.再由已知有,故.17.【分析】利用与全等,得到求出【详解】设题中的内心和外心为,即图中两点,一方面在的角平分线上,又所以与为等腰三角形,又所以所以所以得到.另一方面,所以,综上可得.18.【分析】设,先利用角平分线定理得出的关系,再利用双余弦定理求出,即可得解.【详解】设,由角平分线定理可得,则,由余弦定理得,即,将代入化简得,即解得或(舍去),经检验只能,所以的周长为.19.,【分析】先分析得最大,再利用和差化积公式得到,再利用换元法构造函数,,结合导数研究得最大值,从而得解.【详解】显然要使取最大值,则最大,所以,都为锐角,,,由于,所以,则,当时,取等号;令,,构造函数,,所以,令

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