河南省平顶山市鲁山县实验中学2021年高三数学理联考试卷含解析

河南省平顶山市鲁山县实验中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=的定义域为（）A．（0，） B．（2，+∞） C．（0，）∪（2，+∞） D．（0，]∪[2，+∞）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．2.执行如图所示的程序框图，若输入的a=2，b=1，则输出的n值为（

）A．7

B．6

C．5

D．4参考答案：B3.圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣C． D．2参考答案：A【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．4.设向量（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A5.若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则的取值范围是（

）A． B． C．或

D．参考答案：D略6.若定义在上的函数满足，且，若，则（

）

A.5

B.-5

C.0

D.3参考答案：【知识点】周期性B4【答案解析】B

∵定义在R上的函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x），

∵f（x+1）=f（1-x），∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[1-（x+1）]=f（-x）=-f（x），

即f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2），∴f（x+4）=f（x），∴函数的周期为4，

∴f（2015）=f（4×504-1）=f（-1）=-f（1），∵f（1）=5，∴f（2015）=-5．故选：B．【思路点拨】由题意求出函数的周期，转化f（2015）为已知函数定义域内的自变量，然后求值．7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上A.所有点向右平移个单位长度B.所有点向下平移个单位长度C.所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D.所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）参考答案：B略8.若存在唯一的正整数，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由可得，令，利用导数判断出在上有唯一极大值点，根据存在唯一的正整数使不等式成立，即可求出的范围.【详解】由可得，令,则，令,得，，，所以函数在上有唯一极大值点，在上是减函数，因为所以要使不等式存在唯一的正整数，需故选D.【点睛】本题主要考查了与不等式成立有关的特称命题，利用导数研究函数的单调性与极值，考查了计算能力，属于中档题.9.已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为(

)

参考答案：D10.已知数列{an}的首项为1，公差为d（d∈N*）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】推导出an=1+（n﹣1）d，由题意得n=，由d，n∈N*，能求出结果．【解答】解：∵数列{an}的首项为1，公差为d（d∈N*）的等差数列，∴an=1+（n﹣1）d，∵81是该数列中的一项，∴81=1+（n﹣1）d，∴n=，∵d，n∈N*，∴d是80的因数，故d不可能是3．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是

：

．参考答案：59，26．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．【分析】第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺；第三天设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5﹣X）尺，则X÷4=（0.5﹣x）÷，由此能求出大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比．【解答】解：第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺．第三天按道理来说大鼠打4尺，小鼠尺，可是现在只剩0.5尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通．我们现在设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5﹣X）尺则打洞时间相等：X÷4=（0.5﹣x）÷解方程得X=，所以大鼠在第三天打了8/17尺，小鼠打了0.5﹣=尺所以三天总的来说：大鼠打了3+=尺，小鼠打了5﹣尺，∴大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是59：26．故答案为：59，26．【点评】本题考查等差数列与等比数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．12.已知是定义在R上周期为2的偶函数，且当时，，则函数的零点个数有

个.参考答案：813.已知是上的偶函数，若将的图象向左平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若，则

参考答案：14.曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．参考答案：5x＋y-3=0.略15.甲、乙两人需安排值班周一至周四共四天，每人两天，具体安排抽签决定，则不出现同一人连续值班情况的概率是_____参考答案：16.已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________．参考答案：[1/2,1]，所以当时，取最大值1；当时，取最小值；因此取值范围为17.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是

．参考答案：336【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分组解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种．故答案为：336．【点评】分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到步骤完整﹣﹣完成了所有步骤，恰好完成任务．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）

如图4，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，．沿将△翻折到△，连接，得到如图5的五棱锥，且.（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积.参考答案：（1）证明：∵点，分别是边，的中点，

∴∥. …………1分

∵菱形的对角线互相垂直，

∴. …………2分

∴. …………3分

∴，.

…………4分

∵平面，平面，，

∴平面.

…………5分

∴平面.

…………6分（2）解：设，连接，

∵，

∴△为等边三角形.…………7分

∴，，，.……8分

在Rt△中，，

…………9分

在△中，，

…………10分

∴.

…………11分

∵，，平面，平面，

∴平面.

…………12分

梯形的面积为，………13分

∴四棱锥的体积.………………14分19.如图，在三棱柱中，⊥底面，且△为正三角形，，为的中点．(1)求证直线∥平面；(2)求证平面⊥平面；(3)求三棱锥的体积．

参考答案：(1)见解析；(2)见解析；(3)9解析：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．…………1分∵D为AC中点，得DO为中位线，∴．…………2分

∴直线AB1∥平面BC1D………4分（2）证明：∵底面，∴……5分∵底面正三角形，D是AC的中点

∴BD⊥AC………………6分∵，∴BD⊥平面ACC1A1……7分,…8分（3）由（2）知△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3∴==

………………10分又是底面BCD上的高

………………11分∴=??6=9

………13分

略20.（本小题满分12分）已知函数(l)求函数的最小正周期和最大值;(2)求函数在上的单调递减区间．参考答案：

------6分函数的最小正周期为,

------7分函数的最大值为 ------8分(2)由

得函数的单调递减区间

------10分又,则在上的单调递减区间为,------12分21.如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点.（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．参考答案：证明：（Ⅰ）因为分别为侧棱的中点，所以．因为，所以．而平面，平面，所以平面．

……………………4分（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，且，平面.所以平面，又平面，所以．又因为，，所以平面，而平面，所以平面平面．……………………8分（Ⅲ）存在点，使得直线与平面垂直.在棱上显然存在点,使得.由已知，，，，．由平面几何知识可得．由（Ⅱ）知，平面，所以，因为，所以平面．而平面，所以．又因为,所以平面