高中数学第十一章立体几何初步11.3空间中的平行关系11.3.3平面与平面平行学案新人教B版必修第四册

11．3.3平面与平面平行课程标准1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的平行关系，归纳出以下性质定理，并加以证明.◆如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.2．从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的平行关系，归纳出以下判定定理．◆如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．3．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．4．重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行________________________两平面相交________________________状元随笔如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？[提示]如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．知识点二平面与平面平行的判定与性质(1)平面与平面平行的判定①文字语言：如果一个平面内有两条________直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．②符号语言：a⊂β，b⊂β，________，a∥α，b∥α⇒β∥α.③图形语言：如图所示．推论：如果一个平面内有两条________直线分别平行于另一个平面内的________直线，那么这两个平面平行．(2)平面与平面平行的性质定理①文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线________．②符号语言：α∥β，α∩γ＝a，________⇒a∥b③图形语言：如图所示．④作用：证明两直线________．(3)三个平面平行的性质两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段________．基础自测1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．不确定2．底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，与平面BB1C1C平行的平面是()A．平面AA1D1DB．平面AA1B1BC．平面DD1C1CD．平面ABCD3．过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．4.如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.课堂探究·素养提升——强化创新性题型1平面与平面间的位置关系例1已知下列说法：①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．方法归纳两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交．熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键．跟踪训练1如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能确定题型2平面与平面平行的判定【思考探究】1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？[提示]如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1.∴直线EG∥平面BDD1B1.2．上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1.[提示]连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G∴平面EFG∥平面BDD1B1.例2如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.方法归纳判定面面平行的常用方法(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.跟踪训练2如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.题型3面面平行的性质定理的应用(逻辑推理、直观想象)例3(1)已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a与平面β的位置关系为________；(2)如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.求证：BC＝2EF；状元随笔由平面EFG∥平面BCD，可得出线线平行，再利用点G为棱AD的中点，即可得出结论．(3)如图，已知平面α∥β，P∉α，且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________．状元随笔面面平行⇒线线平行⇒分线段比例相等．跟踪训练3(1)将本例改为：若点P位于平面α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．(2)将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C与D，E，F.已知AB＝6，DEDF＝25，求方法归纳1．应用平面与平面平行性质定理的基本步骤2．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．题型4平行关系的综合应用(逻辑推理、直观想象)例4如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.方法归纳空间中线、面平行关系的转化线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质，常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达．跟踪训练4如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF.(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC教材反思1．本节课的重点是空间两平面位置关系的判断和平面与平面平行的性质定理与判定定理，难点是平面平行的判定定理与性质定理的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)能够判断空间两个平面的位置关系．(2)平面与平面平行的判定定理．(3)平面与平面平行的性质定理．3．本节课的易错点是应用平面与平面平行的判定定理与性质定理进行证明时条件应用不全面致误．11．3.3平面与平面平行新知初探·自主学习[教材要点]知识点一α∥β0个α∩β＝l无数个点(共线)知识点二(1)①相交②a∩b＝P③相交两条相交(2)①平行②β∩γ＝b④平行[基础自测]1．解析：由面面平行的性质定理可知选项A正确．答案：A2．解析：根据图形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D.答案：A3．解析：由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.答案：平行4．解析：由于E，F分别是PC，PD的中点，所以EF是三角形PCD的中位线，所以EF∥DC，由于DC∥AB，所以EF∥AB，由于EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB.由于E，G分别是PC，BC的中点，所以EG是三角形PBC的中位线，所以EG∥PB，由于EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以EG∥平面PAB.由于EF∩EG＝E所以平面PAB∥平面EFG.课堂探究·素养提升例1【解析】①错．a与b也可能异面；②错．a与b也可能平行；③对．∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点；④对．由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；⑤错．a与β也可能平行．【答案】③④跟踪训练1解析：如图所示，由图可知C正确．答案：C例2【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E所以平面EFA1∥平面BCHG.跟踪训练2证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形．∴BC∥AD，∴MQ∥BC.又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又∵MQ∩NQ＝Q∴平面MNQ∥平面PBC.例3【解析】(1)因为α∥β，所以α与β无公共点，因为a⊂α，所以a与β无公共点，所以a∥β.(2)证明：因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG＝EG，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，又G为AD的中点，故E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，所以BC＝2EF.(3)因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以PAAC＝PBBD，即69＝8-BDBD【答案】(1)a∥β(2)见解析(3)24跟踪训练3解析：(1)与本例同理，可证AB∥CD.所以PAPC＝PBPD，即63＝BD-(2)由题图可知DEDF＝ABAC⇒AC＝DFDE·AB＝52例4【解析】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，PQ，PB⊂平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF跟踪训练4证明：(1)因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点，所以EF∥A1C1，因为A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，所以EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，