高中数学课时作业三十二有关球的综合问题新人教A版必修第二册

课时作业(三十二)有关球的综合问题练基础1.[2022·山东东营高一期末]一个棱长为1的正方体的8个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积和体积之比值为()A．2B．eq\f(3,2)C．eq\r(3)D．2eq\r(3)2．[2022·河北保定高一期末]某圆锥的母线长为4，高为3，则该圆锥外接球的表面积为()A．16πB．eq\f(196π,9)C．24πD．eq\f(256π,9)3．[2022·福建宁德高一期末]如图，“甜筒”状旋转几何体，由一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个组合体的表面积为________．4．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．提能力5.[2022·湖南常德高一期末]轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为eq\r(3)，则该圆锥的内切球体积为()A．4πB．eq\f(4π,3)C．πD．eq\f(π,6)6．(多选)[2022·福建龙岩高一期中]若正四面体外接球的表面积为eq\f(27π,2)，则()A．该正四面体的体积为eq\f(9\r(2),4)B．该正四面体的表面积为9eq\r(2)C．该正四面体内切球的半径为eq\f(\r(6),4)D．该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为eq\f(\r(6),2)7．[2022·湖南张家界高一期末]如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则eq\f(m,n)＝________．8．已知一个球的外切圆台的上、下底面半径分别为r、R，求出该球的表面积．9．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．10．如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是2cm，圆柱筒的高是2cm.(1)求这种“浮球”的体积；(2)要在100个这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要防水漆0.5g，共需多少防水漆？培优生11.[2022·河北石家庄高一期末]我国古代《九章算术》中将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图的刍童ABCD­EFGH有外接球，且AB＝4eq\r(3)，AD＝4，EH＝eq\r(15)，EF＝eq\r(5)，平面ABCD与平面EFGH间的距离为1，则该刍童外接球的表面积为()A.124πB．36πC．164πD．48π12．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球(球A和球B)，圆柱的底面直径为2＋eq\r(2)，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球B.(1)求球A的体积；(2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比．课时作业(三十二)有关球的综合问题1．解析：由题意知正方体外接球的直径为eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3)，所以eq\f(S球,V球)＝eq\f(4πR2,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,R)＝eq\f(3,\f(\r(3),2))＝2eq\r(3).故选D.答案：D2．解析：设该圆锥外接球的半径为R，则R2＝(3－R)2＋42－32，解得R＝eq\f(8,3)，故该圆锥外接球的表面积S＝4πR2＝eq\f(256π,9).故选D.答案：D3．解析：由题意，这个组合体的表面积为S＝eq\f(1,2)×4π×12＋π×1×2＝4π.答案：4π4．解析：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4π,3)×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).5．解析：轴截面如图所示，设内切球的半径为r，则OD＝OE＝r，由题意可得∠OCD＝eq\f(π,6)，CD＝eq\f(\r(3),2)，在Rt△OCD中，tan∠OCD＝eq\f(OD,CD)，所以OD＝CD·tan∠OCD＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,2)，即r＝eq\f(1,2)，所以内切球体积为eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(π,6)，故选D.答案：D6．解析：设正四面体的外接球半径为R，则4πR2＝eq\f(27π,2)，得R＝eq\f(3\r(6),4).把正四面体A­CFG补形为正方体ABCD­EFHG，则R＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(3\r(6),4)，得AB＝eq\f(3\r(2),2)，AF＝3.VA­CFG＝VABCD­EFHG－4VA­EFG＝(eq\f(3\r(2),2))3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(eq\f(3\r(2),2))3＝eq\f(9\r(2),4)，A正确．该正四面体的表面积为4S△AFG＝4×eq\f(1,2)×3×3×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3)，B错误．设正四面体的高为h，则VA­CFG＝eq\f(1,3)S△AFG·h＝eq\f(9\r(3),12)h＝eq\f(9\r(2),4)，得h＝eq\r(6)，因为正四面体的外接球球心与内切球球心重合，所以内切球半径r＝eq\r(6)－eq\f(3\r(6),4)＝eq\f(\r(6),4)，C正确．该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为eq\f(3\r(6),4)－eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(6),2)，D正确．故选ACD.答案：ACD7．解析：设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，于是m＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2)，n＝eq\f(2πr2＋2πr·2r,4πr2)＝eq\f(3,2)，则eq\f(m,n)＝1.答案：18．解析：如图所示圆台及内切球的轴截面ABCD，O1、O2、O分别为上、下底面中心及球心，设球半径为x，则O1O2＝2x，过C作CE⊥AB于E，则CE＝2x，BE＝R－r，BC＝R＋r，∴在Rt△CBE中，由CB2＝BE2＋CE2，得(R＋r)2＝(R－r)2＋(2x)2，x2＝Rr，∴球的表面积为4πx2＝4πRr.9．解析：如图所示，设正四棱锥P­ABCD的底面ABCD的中心为E，连接PE，AE，则PE为正四棱锥的高，PE＝4，AB＝2，AE＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)；设球心为O，则O一定在线段PE上，连接OA；设球的半径为R，在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2，即R2＝(eq\r(2))2＋(4－R)2，解得R＝eq\f(9,4)；所以球的体积为V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))3＝eq\f(243π,16).10．解析：(1)因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径r＝2cm，圆柱筒的高为2cm，所以两个半球的体积之和为V1＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32,3)π(cm)3，圆柱的体积V2＝πr2h＝8π(cm)3，∴该“浮球”的体积是V＝V1＋V2＝eq\f(56,3)π(cm)3.(2)根据题意，上下两个半球的表面积是S1＝4πr2＝16π(cm)2，而“浮球”的圆柱筒侧面积为S2＝2πrh＝8π(cm)2，∴“浮球”的表面积为S＝S1＋S2＝24π(cm)2；所以给100个这种浮球的表面涂一层防水漆需要100×24π×0.5＝1200πg．11．解析：如图，设上底面中心为O1，下底面中心为O2，刍童外接球的球心为O，则O，O1，O2共线，连接O1E，O2A，OE，OA，由已知可得O1E＝eq\r(5)，O2A＝4，O1O2＝1.设该刍童的外接球的半径为R，OO2＝h，则R2＝16＋h2，R2＝5＋(h＋1)2，联立解得R2＝41.∴该刍童的外接球的表面积为S＝4πR2＝164π.故选C.答案：C12．解析：(1)设圆柱的底面半径为R，小球的半径为r，且r<R，由圆柱与球的性质知AB2＝(2r)2＝(2R－2r)2＋(2R－2r)2，即r2－4Rr