福建省三明市永安名校2022-2023学年高二下学期返校考试数学试卷

永安名校2022-2023学年高二下学期返校考试

数学

完卷时间120分钟；满分150分;

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分.

1.已知点A是点4（2,9,6）在坐标平面。町内的射影，则点A的坐标为（）

A.(2,0,0)B.(2,9,0)C.(2,0,6)D.(O,9,6)

2.直线Jix—y+l=0的倾斜角的大小为（)

A.30B.60C.120D.150

22

.经过点网回@且与双曲线?一方

321有共同渐近线的双曲线方程为（）

9222

A.匚匕=1B.匕-土=1

6868

22

y2x2D.工-匕=1

lcx・--------=1

8686

4.设/(x)=xln¥.若/'(%)=2,则%)

1ln2

A.-B.---C.eD.In2

22

5.圆厂+y?—6y+8=0与圆尸+»—8x=0的位置关系为（）

A.内切B.相交C.外切D.外离

6.在棱长均为1的平行六面体ABC。—AgGQ中,ZBAD=ZBAA,=ZDAA,=60,

则可卜（）

A.73B.76C.3D.6

7.等差数列｛4｝的公差”<0,%%=35,q+6=12,数列的前〃项和为5“,则S,,的最大

值为（）

A.72B.66C.132D.198

22

X

8.椭圆E:—+上=1（。>8>0）的左、右焦点分别为F4E上存在两点A、B满足

/b2

F{A=2F2B,\AF2\=^a,则£的离心率为（）

A.—B.-C.—D.-

3322

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得

0分.

9.已知空间向量a=（A+l,女,—2）,b=（—2,l,2）,且d_!_〃，则（）

A.k=-6B.k=6C.|/?|=3D.|/?|=9

J?

10.已知双曲线a一丁=m2（加工o）,则不因”的值改变而改变的是（）

A.焦距B.顶点坐标

C.顶点坐标离心率D.渐近线方程

11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角

垛“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，..，设第〃层有明个球,

从上往下〃层球的总数为S“，则（）

嬴

A.a、=35B.S5=35

11112022

C.a„+l-ari=n+lD,—+—+—+H------------=------------

4Q?。3“20222023

12.如图，直三棱柱ABC-48cl中，C4_LC5,C4=C8=CG，D,E,M分别为

B£,cq,AB1的中点，点N是棱AC上一动点，则()

A.MNLBC]B.存在点N,MNL平面BC|N

C.MN//平面\DED.存在点N,MN//DE

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.写出直线2x+2y+l=0的一个方向向量m=.

丫221

14.双曲线C：三一£=1(“>0/>0)的右焦点F(c,0)到C的渐近线的距离为]c,则C

渐近线方程为.

22

15.已知椭圆C：=+]=l(a>0>0)的右顶点为A，直线x=@与椭圆C交于两

a~b~2

点，若AM-AN=（），则椭圆。的离心率为.

16.如图的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，图案的做法是：把一个正方形分成9个

全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）；在第1个图案

中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）；以此类推，每进行一次

操作，就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1,记第〃个图案中所有着色的正

方形的面积之和为%,则数列｛4｝的通项公式&=.

图1图2图3图4

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.数列｛4｝的前n项和为S“,S“=n2.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）令b“=-----,求数列也｝的前〃项和7；.

18.如图，在四棱锥S—A3CD中，SAL底面A3C0,底面A3CD是梯形，其中

AD//BC,AD=-BC,AD1AB,且AD=1,5A=AB=2.

2

（1）求四棱铢S—ABC。的侧面积;

（2）求平面SCD与平面S45的夹角的余弦值.

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(2,0),ZOAB=ZABC=120,|AB|=2

(1)求直线的方程；

(2)记Q43的外接圆为圆M，若直线OC被圆M截得的弦长为4,求点C的坐标.

20.如图，在正四棱锥尸―ABCD中，O为底面中心，PO=AO=3,M为尸O中点，

PE=2EB

(1)求证：DM〃平面E4C；

(2)求：(i)点尸到平面EAC的距离；

(ii)求直线M4与平面E4C所成角的正弦值.

21.已知数列｛。“｝的前〃项和Sn=2an-2.

(1)证明｛%｝是等比数列，并求｛%｝的通项公式;

(2)在/和。田之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列，求数列

<--，的前〃项和Tn.

22.已知抛物线C:V=2px(p>0)焦点F的横坐标等于椭圆备气=1的离心率.

(I)求抛物线。的方程；

(2)过(1,0)作直线/交抛物线。于两点，判断原点与以线段AB为直径的圆的位置

关系，并说明理由.

答案

1-8BBDCCBBA

9.AC10.CD11.BC12.AD

13.【答案】(1,—1)14.【答案】>=±弓X

15.【答案】916.【答案】1—仁)

17.【答案】(1)a„=3n-2.(2)7；=1———.

3«+1

18.【答案】(1)12+872+476(2)也

3

19.【答案】(1)+x+y-4下)=0；(2)(2,25/3

【小问I详解】

延长CB交x轴于点N,如图，因/Q4B=120，则/N48=60，

又|AB|=|Q4|=2,则有B（3,G）,又=

>0，于是得/ANB=60，

-6因此，y-6=—g(x-与,

则直线BC的倾斜角为120，直线8C的斜率kBC

即

x/3x+y-4A/3=0

所以直线3C的方程为氐+>-46=0.

【小问2详解】

依题意，设圆M的方程为/++尸=0,。2+£2-4/>0,

F=0D=-2

由(1)得:<4+2Z)+F=0,解得<E=—2g

9+3+30+百E+F=OF=0

于是得圆M的方程为丁+/一2%一2百^=0,即(x—l)2+(y—G)2=4,圆心

M(1网,半径r=2，

因直线0C被圆M所截的弦长为4,则直线0C过圆心M(1,6),其方程为y=JIx,由

所以点C的坐标是(2,2g1

20.【答案】(1)证明见解析:

(2)(i)(ii)

55

【小问1详解】

证明：连接BD，则。为8。的中点，且ACLBO,

在正四棱锥P—A3CZ)中，平面ABC。，

以点。为坐标原点，Q4、QB、OP所在直线分别为XX

z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则。（0,0,0）、A（3,0,0）、P（0,0,3）、8（0,3,0）、C（—3,0,0）、D（0,—3,0）、M（0,0，T）、

E（0,2,1）,OM=（0,3,|）

设平面E4C的法向量为，〃=（x，Xz）,C4=（6,0,0）,AE=（-3,2,l）,

则〈，取y=l,则加=（0,1,-2）,

m-AE--3x+2y+z-0

因为。M•比=3-3=0,则DM，机，又因为W平面及1C,所以，DM〃平面

EAC.

【小问2详解】

/八...-

解：（ii）加（3,。闻，贝户如…喇MAm32

2%

2

因此，直线M4与平面E4c所成角的正弦值为

〃+3

21.【答案】（1）证明见解析，%=2"（2）3——-

T

【小问1详解】

因为S“=2a“-2,

当〃22时，S,T=2《I-2,

所以，当〃22时，an=2<7„_],又4=2q-2,解得q=2,

所以｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，故=2"

【小问2详解】