福建省厦门2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试卷含答案

2023届厦门市双十中学高三年级第一次月考

、、乙、一•幺

数-学I试h卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答

题卡上的指定位置。

2.请在答题卡上各题号对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效。

3.选择题用2B铅笔把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔作答。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.若集合用={即2<1},'=卜|呼<2},则〃nN=()

A.{x\x>l}B.{x|l<x<e}C.{x|x<e}D.0

2.已知复数z=*-空，则z的共扼复数的虚部为()

2+12-1

88.〃88.

A.——B.——1C.-D.-1

5555

3.从3男2女共5名医生中，抽取2名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为().

A.-B.-C.—D.1

55102

4.已知〃x),g(x)是定义在R上的函数，则“尸/*)+g(x)是R上的偶函数”是“/(x),g(x)都是R上的偶函数”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知且ax<sinx<以恒成立，则b-a的最小值为()

222

A.1B.一C.---1D.1---

冗冗乃

6.已知〃=1lnl.2,Z；=O.2e02,c=则()

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

7.设/(x)是函数/(x)的导函数，y=/'(x)的图像如图所示，则y=的图像最有可能的是()

8.已知圆锥S01的顶点和底面圆周均在球。的球面上，且该圆锥的高为8.母线SA=12,点8在S4上，且SB=2BA,

则过点B的平面被该球。截得的截面面积的最小值为（）

A.27加B.32万C.45〃D.81万

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，已知正方体ABCD-ARCQ的棱长为2,设点P,。分别为44，。口的中点，则过点P,。的平面a与正

方体的截面形状可能为（）

A.三角形B.矩形

C.五边形D.六边形

10.已知/（X）是定义在R上的函数，且满足〃3x-2）为偶函数，f（2x-l）为奇函数，则下列说法正确的是（）

A.函数f（x）的周期为2B.函数/（x）的周期为4

C.函数“X）关于点（TO）中心对称D./（2023）=0

11.已知a,b,ceR,下列命题为真命题的是（）

A.若a<b<0,贝B.若a>b,贝ljac2>bc2

C.若4c2>秘2,则D.若贝

a+\a

xex,x<l

12.己知函数/（x）=e"，函数g（x）=4（x）,下列选项正确的是（）

~^X—1

lx

A.点（0,0）是函数f（x）的零点B.肛e（0,1）,々e（1,3）,使〃幻>/伍）

C.若x的方程［g（x）f-2ag（x）=0有两个不等的实根，则实数〃的取值范围是信口。惇+8）

D.函数/*）的值域为［-eL”）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知+的展开式中的各项系数和为-3,则该展开式中的常数项为.

14.正态分布概念是由德国数学家和天文学家"oiwe在1733年首先提出的，由于德国数学家高斯率先把其应用

于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布.早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据,

对这些数据进行分析，发现这些数据变量X近似服从N（9,/）.若尸（X<10）=0.91,贝iJP（X48）=.

15.将6名同学分成两个学习小组，每组至少两人，则不同的分组方法共有种.

-sin^-%,-1<J：<0........a+b

16.已知函数，(x)=|logM19x|,x)0’若"b<c<d,且”4)=〃。)=/©=/⑷，则寸的值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图多面体A3CDEF中，四边形ABCO是菱形，ZABC=60°,E4_L平面4BCO,EA//BF,AB=AE=2BF=2

⑴证明：平面EAC,平面EFC；

⑵在棱EC上有一点使得平面与平面A8C。的夹角为45。，求点M到平面8c尸的距离.

18.一个袋子中有7个大小相同的球，其中有2个红球，2个蓝球，3个黑球，从中随机取出3个球.

(1)求至少取到2个黑球的概率；

(2)设取到一个红球得2分，取到一个蓝球得1分，取到一个黑球得0分，记总得分为X,求X的分布列和均值.

19.在二项式卜+击)展开式中，第3项和第4项的系数比为，

(1)求”的值及展开式中的常数项；

(2)求展开式中系数最大的项是第几项.

20.甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为

本队得1分，答错或不答都得o分，己知甲队3人每人答对的概率分别3为2乙1队每人答对的概率都是;?,

设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分.

⑴求X=2的概率；

(2)求甲队和乙队得分之和为4的的概率.

21.致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动，并从中抽取100

位学生的竞赛成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.规定：成绩在［80,100］内为优秀，成绩

低于60分为不及格.

优秀非优秀合计

男5

女35

合计

(1)求〃的值，并用样本估算总体，能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20%”的要求;

(2)根据以上数据完成2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关.

n\ad-bc\

附：K2〃=a+6+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(/+d)

P(RN即)0.1500.1000.0500.0100.005

2.0722.7063.8416.6357.879

22.已知实数。＞0,函数/a)=xln4-41nx+(x-e『，e是自然对数的底数.

⑴当。二e时，求函数〃力的单调区间；

⑵求证：〃力存在极值点不，并求飞的最小值.

厦门市双十中学高三年级第一次月考

数学试卷参考答案

一、选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给;H的四个选项中,

只有项是符合题目要求的.

1.B2.C3.C4.B5.D6.A7.C8.B

二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有

多项符合题11要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.BCD10.BCD11.BCD12.BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13,-12014.0.0915.2516.T

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（1）证明：取EC的中点G,连接BD交4c于N,连接GN,GF,

因为4BCD是菱形，所以且N是4c的中点，

所以GN/旌且GN=：.或，又AE”BF,AE=2BF=2,

2

所以GM〃B尸\[GN=BF,所以四边形及MGF是平行四边形，

所以Gf〃BN,

又及4_1_平面48cD,5Nu平面4BCD,所以EH_LBN,

又因为/CpIEX=A,4C,以u平面E4C,

所以NB_L平面E.4C,所以G尸，平面E4C,

又G尸u平面EFC,所以平面EFC_L平面E.4C；

（2）解：取的中点H,由四边形4BCD是菱形，乙45c=60。，则乙4DC=60。，

数学参考答案第1页（共6页）

是正三角形，：.AHLCD,:.AH±.4B,又,在1•平面488,

所以以A为原点，AH,AB,/E为坐标轴建立空间直角坐标系，

设在楂EC上存在点初■使得平面MBD与平面4BCD的夹角为45。，

则。(71-1.0),8(020),C(V3.1.0),E(0,0.2),尸(0,2」)，4(000),

则设俞=/瓦,二必医,42-22),

所以南=(&-75>+1,2-2力，而=(原,2-2,2-22),前=(4,一1,0),BF=(0.0.1),

设平面OBM■的一个法向量为力=（x,y,二）,

则,QM=0即］(抬力—/)x+(2+l)y+(2—2儿)二=0

令，=

、［力询=0,Ax+(2-2)y+(2-2A)z=0x=51,

平面48co的法向量可以为记=（0.0,1）,

2Z-1

・"无"磊邛，解得人（，

所以M（孚制，则瓦并）

设平面BC尸的一个法向量为〃=（ab*c）,

则/箓=1即E"o"°'取。=1,加小"。）,

l»-CM

所以点M到平面BCF的距离d=

H

18.⑴记4=“至少取到2个黑球，，

事件4包含：①取到2个黑球，1个红球或蓝球；②取到3个黑球.

所以P（4）=等£=圣，故至少取到2个黑球的概率为圣.

7DJ3D

（2K的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.

X=5即取到2个红球，1个蓝球，则尸（工=5）=谈C2cl=卷2；

X=4即取到1个红球，2个蓝球，或取到2个红球，1个黑球，

数学参考答案第2页（共6页）

则尸(x=4)=c；cqcC=4=;；

C1r1c112

X=3即取到1个红球，1个蓝球，1个黑球，则尸(X=3)=上沪一弓；

X=2即取到1个红球，2个黑球，或取到2个蓝球，1个黑球，

则P(X=2)=型洋空=高

X=1即取到1个蓝球，2个黑球，则尸(X=l)=萼=(；

X=0即取到3个黑球，则P(X=O)=|^q.

所以的分布列为

X012345

16912£2

P

35353535735

所以E(X)=OxL+lx巨+2x2+3xU+4x」+5x2=丫.

353535357357

19.(1)

二项式0+金)展开式的通项公式为：4+1=CX-'(短)=c(1)因为第3项和

第4项的系数比其，所以飞1V

化简得10C：=3C：,解得"=12,

鸣

所以4.I=C；2(；)令12_?=0,

得,=9,所以常数项为C：.

2)128

(2)

设展开式中系数最大的项是第，叶1项,

数学参考答案第3页(共6页)

解得54厂4个，因为rwN,所以r=4,所以展开式中系数最大的项是第5项.

20.（1）

X=2,则中队有两人答对，一人答错,

故P(X=2)=%|x(l-/11

24

(2)

设甲队和乙队得分之和为4为事件设乙队得分为匕则工〜司\,：）.

尸—1）=+（1一|）“一扑（1一业|“一升（1一羽1一|久4

321

P(X=3)=±x±x士J.

4324

P（y=i）=呜©$p（y=2）=近方―，

NEV©号

尸（z）=p（x=i）p（y=3）+p（x=2）p（y=2）+p（x=3）p（y=i）

18114121

=—X------1-----X--1--X—=—.

427249493

21.（1）

（0.004+a+0.011+0.036+0.023+0.014+cr）xl0=l,解得a=0.006,

成绩不及格的频率为（。004+0.006+0.01l）x10=0.21,

.丁成绩不及格”的概率估计值为21%,

721%>20%,

•••不能认为该校参加本活动的学生成绩符合4不及格的人数低于20%”的要求.

（2）

由（1）可得成绩在［80.100］的人数为：（0.014+0.006）x10x100=20,

即样本中成绩优秀有20人，由此完成2x2列联表如下所示：

优秀非优秀合计

男54550

数学参考答案第4页（共6页）

女153550

合计2080100

假设々：此次竞赛成绩与性别无关，则

叱，100(35x5-15x45?一“

K~=——'--------------=625<6.635.

50x50x20x80

二没有99%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关.

22.(1)

当a=e时，/(x)=x-elnx+(x-e)2,

则/'(x)=l--+2(x-e)=2『+(l-2e)x-e=(2x+l)(x-e)&>0)

XXX

令，(x)>o,得x>e；

令/(x)<0,得X<e；

所以，函数y=g(x)的单调增区间为(e,+8),