广雅中学届高三月月考数学理试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精广东广雅中学2014—2015学年度上学期高三10月月考数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。【注意事项】1．答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。2．选择题的答案一律做在答题卡上,每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则A．B． C． D．2．若复数，,则A．B．C．D．3．下列函数中，在区间上为增函数的是 A． B． C． D．4．已知，则 A． B． C． D．5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面,下列命题中错误的是A．若,,,则 B．若，,,则C．若，，则 D．若,，,则6．巳知双曲线的中心在坐标原点，实轴在轴上,离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之差为12，则双曲线的方程为A．B．C．D．7．在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为A．B．C．D．38．若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于,属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合,对于下面给出的四个集合:①；②;③；④．其中是集合上的拓扑的集合的序号是开始输入输出结束是否第11题A.①B。②开始输入输出结束是否第11题二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一）必做题（9～13题）9。计算．10．函数的单调递增区间是．11．执行如图所示的程序框图,若输入的值为，则输出的值为______.12．曲线过点的切线方程为．第13题图13．某同学为研究函数第13题图的性质,构造了如图所示的两个边长为1的正方形和,点是边上的一个动点，设,则．请你参考这些信息，推知函数的值域是．（二)选做题（14~15题,考生只能从中选做一题）第15题图14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为，则曲线和交点的直角坐标为_________．第15题图15．(几何证明选讲选做题）如图所示，圆的直径,为圆周上一点，,过作圆的切线，过作的垂线，垂足为，则线段的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）第16题图已知函数（，,）的图象与轴的交点为,它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为第16题图和．(1)求函数的解析式；(2）若锐角满足,求的值．17.（本小题满分12分） 每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠,优惠方案如下:选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元,选择套餐三的客户可获得优惠300元。根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.（1)求某两人选择同一套餐的概率;(2）18。（本小题满分14分）如图，在四棱柱中,侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中，，为中点。(1）求证：平面；(2)求锐二面角的余弦值．19．(本小题满分14分）已知数列满足，(1)设试用表示(即求数列的通项公式)；（2）求使得数列递增的所有的值．20.(本题满分14分)已知椭圆经过点,且椭圆的离心率．(1）求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及,设线段，的中点分别为．求证：直线恒过一个定点．21.(本题满分14分)已知函数。（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（2)在（1)的条件下,且，,，求的极小值；（3）设（）,若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴?若能,求出该切线方程，若不能，请说明理由.广东广雅中学2014—2015学年度上学期高三10月月考数学（理科)试题参考答案及评分标准命题：杨志明统审：赖淑明一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分。题号12345678答案ACAADBCD二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9。10。（或)11。1512。13.14.15。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1．A.【解析】易得，,所以，故选A．2．C．【解析】3．A．【解析】B、C为减函数，D为双钩函数，双钩函数在上先减后增.4．A．解析：,即，5．D．解析】ABC是正确命题，选D．6．B．【解析】,，，，则所求双曲线方程为.7．C．作出可行域，由图像知,当点的坐标为或时，的最大值为．8．D.解析：①不是拓扑,因为，,但；②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；③不是拓扑，因为全集；④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足．二、填空题：9．.解：10．【解析】．，即，，即。11．15。解析：第一次循环后：；第二次循环后:;第三次循环后：；第四次循环后:；故输出15。12．，解析:设切点为,则切线为，把代入上式，得，故切线方程为13．解析：根据图形可知,当时（点P在BC中间），，当或时（点P在B点或C点），，∴的值域是．14．.考查极坐标方程。，联立方程很快得出结果15．.解：在中，，故，故，.由是圆的切线知，，故，。三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16。解：（1)由题意可得，即，…………3分，由且,得………5分函数．…………6分（2）由于，即且为锐角，所以…………8分…………10分．即的值为…………12分(本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.解：(1）由题意可得某两人选择同一套餐的概率为 。 …………4分(2)由题意知某两人可获得优惠金额的可能取值为400,500,600，700，800，1000.，，， …………8分综上可得的分布列为:4005006007008001000 …………10分.即的数学期望为775. …………12分18.(1）证明：如图，连接，则四边形为正方形，所以，且，…………2分故四边形为平行四边形,所以．…4分又平面，平面，所以平面。……………6分(2)因为为的中点，所以，又侧面⊥底面,交线为，故⊥底面。…………7分以为原点,所在直线分别为轴,轴，轴建立如图所示的坐标系,则，，……8分设为平面的一个法向量，由，得,令,则．……10分又设为平面的一个法向量，由，得，令，则，…………12分则，故所求锐二面角的余弦值为．…………14分注:第2问用几何法做的酌情给分．19．解：(1）…………1分即变形得，…………3分若，则…………4分若，则数列是以为首项的，为公比的等比数列…………5分故,因而，；……6分（2）法一：……7分为奇数时，，令，……8分得，即对所有的正奇数恒成立，…9分因为对单调递减,所以，即。………10分为偶数时，，令，……11分得，即对所有的正偶数恒成立，…12分因为对单调递减，所以，即。………13分综上，时，数列递增。…………14分法二：由（1）知，从而，……7分故，…………8分设，则，下面说明，……9分讨论：若，则A<0，此时对充分大的偶数n，，有,这与递增的要求不符;…………11分若，则A〉0,此时对充分大的奇数n，，有,这与，递增的要求不符；…………13分若，则A=0，，始终有。综上，。…14分注意：直接研究通项，只要言之成理也相应给分。20。解：（1)由,得，即,即．…1分由椭圆过点知,．……2分联立（1）、（2）式解得。……3分故椭圆的方程是．……4分(2）直线恒过一个定点．……5分证明椭圆的右焦点为，分两种情况．1°当直线的斜率不存在时，:，则：．由椭圆的通径易得,又，此时直线恒过一个定点；……6分2°当直线的斜率存在时，设：，则：．又设点．联立方程组消去并化简得,………8分所以．．．…………10分由题知，直线的斜率为，同理可得点．…………11分．，…………12分即．令，解得．故直线恒过一个定点;…………13分综上可知，直线恒过一个定点．…………14分21．(本题满分14分）解:（1)由题意，知恒成立,即.…………2分又，当且仅当时等号成立。故，所以.…………4分(Ⅱ)由（Ⅰ）知，令,则，则…………5分由，得或(舍去），,①若，则单调递减；在也单调递减；②若，则单调递增.在也单调递增；故的极小值为。…………8分（3)法一：设在的切线平行于轴，其中结合题意，，相减得，即.…………9分,又,所以设，…………11分设，所以函数在上单调递增，因此，，即也就是，，……13分所以无解。所以在处的切线不能平行于轴.……14分法二:分析：即证是否存在使，因为时单调递减，且，所