高二理科数学秋季讲义第9讲双曲线与抛物线的基本量问题典型考法

第9讲双曲线、抛物线基本

-------量问题的典型考法

9.1双曲线

考点1:双曲线及其标准方程

■等防暑假知识回顾

1.双曲线的定义：平面内与两个定点片，鸟的距离的差的绝对值等于常数(小于|月心|且不等于零)

的点的轨迹叫做双曲线.

这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

2.双曲线的标准方程：

①W■一方■=，焦点坐标为耳(一C，0)，E(c,0),c2=a2+b2；

2

p-=l(a>0,/?>0),焦点坐标为耳(0,-c),.(0,c),c2=a2+b\

r22

3.双曲线的几何性质（用标准方程三v-多=13>0">0）来研究）：

ab~

⑴范围：x'a或xW-a；如图.

⑵对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心.

⑶顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点.

⑷实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴.如图中，％，4为顶点，线段为双曲

线的实轴.在y轴上作点线（0,-6）,B式0,b）,线段8也叫做双曲线的虚轴.

⑸渐近线：直线y=±纥；

a

⑹离心率：e=£叫做双曲线的离心率，e>\.双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.

4.等轴双曲线与共轨双曲线：

⑴等轴双曲线：实轴长、虚轴长相等的双曲线.

焦点在X轴上，标准方程为Y—卜2=/（〃*0）；

焦点在y轴上，标准方程为了2-苫2=42（4X0）.

渐近线方程为y=±x,离心率e=&.

⑵共钝双曲线：

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共辄双曲线，共枕是相互的.

222）

互为共朝双曲线二-4=1和4-==1（。>0,10）有相同的渐近线，他们的四个焦点共圆,

a~b~h~a~

且它们的离心率乌、e2满足与+上=1.

练习]：⑴设P是双曲线*-与曰上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,耳，鸟分别

是双曲线的左、右焦点，若|尸月|=3,贝/「乙卜（）

A.1或5B.6C.7D.9

22

⑵（2012湖南理5）已知双曲线C:±]=l的焦距为10,点P（2,1）在C的渐近线上，则

C的方程为（）

【解析】⑴C

双曲线乌―段=1中，渐近线方程为3x—2y=0,.*.3=』，a=2.

a9a2

22

J双曲线方程为E—E=l.

49

2

根据双曲线定义，||Pf；\-\PF2\\=2a=4,\PFt|=3,/.\PF2\=1.

⑵A

•.•二-与=1的焦距为10,：.c^5=>]a2+b2①，又双曲线渐近线方程为y=±2x,且

a"ba

P（2,1）在渐近线上，，a=l,即a=2A②，由①②解得a=2。，8=6.

经典精讲..

〈教师备案〉暑假时我们预习过双曲线的方程的求法，这里借助例1进行总结.

【例1】⑴*★与双曲线看告=1有相同的渐近线且过点4（26,-3）的双曲线方程是

22

⑵*★与双曲线看-嘉=1有相同焦点，且经过点（-5,2）的双曲线的标准方程是,

⑶*★与椭圆三+21=1有公共焦点，且经过点（3&,2）的双曲线的标准方程是一

4936

⑴北一t=1

【解析】

94

利用有相同渐近线的双曲线系去做.

2222

与双曲线工—21=1有相同的渐近线的双曲线方程为二一汇=4,

169169

仅何(-3)2

1

将点A（2g,-3）代入，得:X=-------------

1694

X2V214V2

.・・所求双曲线的方程为土—21=-上，即竺，一±=1.

169494

22

⑵设所求双曲线方程为二-----J=1（-20<2<16）

16-/120+A

25

・・,双曲线过点（—5,2）,-----=1,解得4=—4或4=—29(舍去)

16—220+4

.♦•所求双曲线方程为工-匕=1.

2016

22

⑶设所求双曲线方程为一一+二一=1（36<2<49）

49-436-/1

:双曲线过点（30,2）,.•.』—+'—=1,，/1=40或4=23（舍去）.

49-/136-A

22

J所求双曲线方程为三—二=1.

94

22

【点评】几种特殊情况的标准方程的设法：①与双曲线=1（a>0,b>0）有相同渐近线的双^

a~tr

曲线方程为「一马=义（2*0）②渐近线为y=±'x的双曲线方程为当•—马=4（2^0）

abtnmn

③与双曲线餐—2=1（a>0,b>0）有共同焦点的双曲线方程为二一

aba-2b2+A

22

(-b2<A<a2)④与椭圆二+1=1（6Z>Z?>0）有共同焦点的双曲线方程为

ab

2

y

丸=1(Z?2<2<a2).

a2=1+b2_

双曲线方程还有一个常见的设法，是已知双曲线上两个点，但没有其它信息时，可以统一设

双曲线的方程为zn/=1（祖〃<o）,如已知双曲线上有两点p（6,46），。（2夜，后），求

双曲线方程.就可以不讨论焦点位置，直接设为,n/+〃y2uigyjvo）,从而得到方程组

1

36〃?+48/2=1m=­

解得，,可以有效减少计算量.

+6/7=1n=—

6

提高班学案1

22

【拓1】⑴己知实数X,y满足二-马=13>0,b>0）,则下列不等式中恒成立的是（）

ab~

A.\y\<^xB.一刍MC.|y|」xD.y斗

aa

⑵（2010朝阳一模理6）已知点尸（3,-4）是双曲线5-4=13>0,6>0）渐近线上的一点,

ab-

E,尸是左、右两个焦点，若EP・FP=O,则双曲线方程为（）

2222。)20

A.-X-^v=1B.三-工=1C.上上=1D.—--^-=1

3443916169

【解析】⑴D

因为工均可取负值,排除A;由（-*0）在双曲线上排除C;而双曲线的焦点在x轴上,

且渐近线为y=±^x知y<2|x|成立，故D正确，B错误.

⑵C

解法一：不妨设E（-c,O）,P（c,O）,

于是有EP.FP=（3+c,-4>（3-c,-4）=9-c?+16=0.

于是c?=25.排除A,B.

由D中双曲线的渐近线方程为y=±』x,点P不在其上.排除D.

4

解法二：

如图，•••|。目=|。户|,“.口=o,•••|。”=|。同=|。石，

又：尸（3,-4）,.70P|=5,即c=5,后面同解法一.

尖子班学案1

22

［拓2］（2010浙江理8）设耳、£分别为双曲线二-1=1（心0,6>0）的左、右焦点，若在双曲线

CTZr

右支上存在点P,满足归鸟|=|£E|,且6到直线P耳的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲

线的渐近线方程为（）

A.3x±4y=0B.3x土5y=0C.4x±3>-=0D.5x±4y=0

［解析］C__________

据题意得|「用=2J（2C）2-（2a）2=4b,又点P在双曲线的右支上，据双曲线的定义可得

\PFl\-\PF2\=4b-2c=2a,整理得a+c=2Z?,又+从，故有/+/=（4,整理

h44

得3b=而，即2=上，故双曲线的渐近线方程为y=±±x,即4x±3y=0.

a33

考点2：双曲线的离心率求法

4

〈教师备案〉双曲线的离心率决定双曲线的开口的开阔程度，如果一个双曲线方程是确定的，可以直接

求离心率，但大多数时候，双曲线的方程都是不确定的，只能通过所给的几何条件得到“

与C的比值关系，进行得到离心率满足的方程，求得离心率.

经典精讲

【铺垫】双曲线虚轴的一个端点为〃，两个焦点为广、F2,g=120。，则双曲线的离心率为（）

A.6B.亚C.逅D.近

233

【解析】B

V22

设双曲线方程为二一v彳=1,ZXM4鸟为等腰三南形，/耳/工=120。，AZMF,F=30°,

ab2

・,_1.c2-a2._V6

・・tan30=—=—,Rf1——=—,••------=—,・・e=—.

c3c23c232

【例2】⑴内如图，已知ABCDEF为正六边形，若以C,E为焦点的双曲线恰好经过A,B,D,E

四点，则该双曲线的离心率为.

⑵鼻（2010辽宁理9）设双曲线的一个焦点为尸，虚轴的一个端点为B,如果直线总与该

双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率为（）

22

⑶由（2012湖北14）如图，双曲线马=1（“，6>0）的两顶点为％,A,,虚轴两端点为不

ab

B2,两焦点为E，F,.若以A4为直径的圆内切于菱形£48与，切点分别为A,B,C,

D.则双曲线的离心率e=.

【解析】⑴75+1

设正六边形边长为1,则以FC为X轴，中垂线为），轴建立直角坐标系，则尸（-1,0）,

C(1,0),故c=l,因为|FC|=2,|BC|=1,所以忸日=石，即忸尸|_忸4=有_1=2”,

故所以e=£=T—=-3—=6+1.

2aV3-1V3-1

2

⑵D

上2

设双曲线方程为—=1(6?>0,Z?>0),贝”尸（C,0）,8(0,b),

直线在5:云+①一历=0与渐近线y=垂直,

所以—4.2=—1,即Z;2=,得c?—a?=ac,

ca

即/一6—1=0,解得e=""或e=，——（舍去）.

22

/nx加+1

（3）e=---------;

2

由题意知：在RtA与O玛中，OA±B2F2f

又用（c,0）,为（。，加，\OA\=\OA2\=a9

RtAOAE^RtAB.OF；,于是有匕"=上”,

周

|0\B2F2\

A224

即g=—7=匕，两边平方将82=d一a?代入整理得：a_3t/C*+C=0,

CJ/+c2

得1—3/+1=0,解得/=三@（e2>1,舍去一根），

2

,,V5+1

故e=----.

2

目标班学案1

r2V24

【拓3】设双曲线:■-斗=l（a>0,。>0）的右焦点为/，直线*■与两条渐近线交于尸、。两

a:b~c

点，如果△尸。尸是直角三角形，则双曲线的离心率e=.

【解析】72

22.

设双曲线3-马=13>0,6>0）的右焦点为尸（c,0）,渐近线方程为y=±9x,

aba

又直线》=幺与两条渐近线交于p、。两点，p

•；△PQF是直角三角形，AFPFQ=0,即---c-巴，-=0,即

cC-

.•.双曲线的离心率e=0.

考点3：双曲线离心率的取值范围问题

〈教师备案》有些问题是给定双曲线一些限制，求离心率的范围.有时需要用到双曲线的一个性质，若

22

双曲线今―g=l的一个右（左）焦点为尸，P为双曲线右（左）支上任一点，则|PF|的

最小值为c-a,当P为右（左）顶点时取到.

证明很简单，设尸（内,%）,F（c,0）,

则=（4—。2+呼=（%一、）2+/（去_]=-2cx„+c2-b2=,

从而|PF|=?卜0-合（其实这就是双曲线焦半径公式之一）

又因为天）》。，故当天）=。时，有归目而“=。一。.

有这个天然的限制，解决一些问题时需要注意:

例双曲线亮*=1的左右焦点分别为片、F2,双曲线上一点P满足仍用=9,求|P周.

解：由双曲线的定义可知归名|=1或17,但前者必须舍去.

下面例3的⑵⑶都用到这个限制.

22

【例3】⑴内设则双曲线二-一J=1的离心率e的取值范围是______

a2(a+l)2

⑵由已知双曲线三-斗=1(。>0,6>0)的左，右焦点分别为耳，鸟，点P在双曲线的右支上,

ab

且|尸白卜4|尸入|,则此双曲线的离心率e的最大值为.

⑶恭已知双曲线§-方=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为片(-c,0),F2(C,0),若

双曲线上存在一点P使吧幺型.=4,则该双曲线的离心率的取值范围是________.

sinZPF2F}C

【解析】⑴(0,右)

e=加+)+1)2而0<^<1，故3<e(石.

Q2

由定义知|出|-|「工|=2〃，又已知|尸甲=4|尸名|,解得|尸用=；〃，|P周=丁,

\PF,\.=c-a,从而只要*a'c—a,就能得到尸点存在，解得eW工

Izimin33

等号可以取到，即e的最大值为*.

3

⑶(1,0+1);

因为在△尸与E中，由正弦定理得一圈一归用

sinNPKE

则由已知得即仍用=£|户用，由双曲线的定义知归周_|尸周|=2a,

附1M

则泉产周―俨玛=2a,即|尸周=三，

2

由双曲线的几何性质知|P用〉c-a,则上——>c-a,c2—2ac-a2<0,

所以e2-2e-l<0,解得一0+l<e<应+1,又ee(l,+8),

故双曲线的离心率ee(l,V2+1).

提高班学案2

22

【拓1】已知双曲线二-三=l(a>0,分>0)的右焦点为尸，若过点尸且倾斜角为60。的直线与双曲线

a'b~

的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()

A.(1,2]B.(1,2)C.[2,+oo)D.(2,+8)

【解析】C

22

如图，4与/，分别为与双曲线=-4=1的渐近线平行的两条直线,

a2b2

直线/为过下且倾斜角为60。的直线，要使/与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使

—二tan60°=6,e22.

a

尖子班学案2

V-2V2

【拓2】双曲线)-与=1(“>1”>0)的焦距为2c,直线/过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线/

ab

的距离与点(-1,0)到直线/的距离之和s、1c.求双曲线的离心率e的取值范围.

【解析】直线/的方程为四+,=1,即bx+4-必=0.

ab

由点到直线的距离公式，且1,得到点(1,0)到直线/的距离d=

4a2+h2

伙4+1),,2ab2ab

同理得到点(-1,0)到直线/的距离4=s=a.+a-,=,=--.

y1a2+b2■5/777rc

由s2±c,得辿》M,即57炉-标22c2.

5c5

于是得5“2一122/,即464-25/+25・0.

解不等式得由于e>l>0,所以e的取值范围是近6.

42

目标班学案2

［拓3］若椭圆或双曲线上存在一点p到两个焦点的距离之比为2:1,则称此椭圆或双曲线上存在“r

点”，下列曲线中存在“「点”的是()

222■>

A.—+—=iB.—+—=1D.x2-y2=1

16152524

【解析】D:

在椭圆中，附2"阀|+熙H，|如2陶,即圈等又圈泊

(椭圆上的点到焦点距离的最值为a+c,a-c,分别对应椭圆的端点，推导类型双曲线)

故幺2a—cnce幺ne，,，又0<e<l,故

3333

\PF\

在双曲线中扁=2>1,|Pg|=2a,|尸周》c-a,故2aze,-a=3a，c=eW3,

又e>l,所以l<eW3.

22

..xy.Ui=)史错误;

由A:----F--=1,e=—^1|,错误：由B:—+1|,

16154_3Jh2524_，533)

由C:x2-^=l,e=4e(1,3],错误；由D:x2-y2^l,e=J5e(l,3],正琉

考点4：双曲线的焦点三角形

知识点睛

双曲线的焦点三角形：以双曲线的两个焦点耳、鸟与双曲线上任意一点P为顶点组成的三角形.

8

22

〈教师备案〉月、居为双曲线［-二=1的两个焦点，尸在双曲线上，且/居尸居=0,的面积

a~b~~

1n

S=5附卜俨闾sin，=c.|%|=火co「.

证明：,:4F\PF[=e,'2|P£||P工|2\PF}\\PF2\

||PKITPKI|=2。，②

4a2+21PF,||PF1-4c2

将②平方代入①式，得cos®=2,解之得

2\PFt\\PF2\l-cos”

4F\PFz的面积为3PE||「巴卜in6>=；•—-sin0==b2-cot-.

tan一

2

例4的三个小题都可以直接用推导后的公式做，如果不直接用公式，就需要用双曲线的定

义+余弦定理进行推导计算，相当于又推导了一遍面积公式.

2

【例4】⑴内设片、后为双曲线!-9=1的两个焦点，点2在双曲线上且满足N6P6=90。，贝IJ

丛F\PF【的面积是（）

A.1B.—C.2D.75

2

⑵禹E和鸟为双曲线:-丁=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足NEPE=60。，则

△片尸鸟的面积是.

（3）内设6,6是双曲线3/-5y2=15的两个焦点，点4在双曲线上，且MAE的面积等于

2&,则的正切值为.

【解析】⑴A

,.h21

M•法'：s=-----=------=1；

“PF?tan45°

tan——!——-

2

解法二：设尸（X。，%）,由面积公式=gw鸟1」为1知：要先求得P点纵坐标.

利用点P在双曲线上和/¥；_LPR列出方程组，可以获解.

设尸（%,%）,•.•点P在双曲线\-y2=i上，.冷-y：印①

又匕（一石，0）,尺（行，0）,由尸耳工/58知一.—汉尸=一1②

\）\）Xo+V5Xo-V5

解①②得％=±g.；.4F,PF］的面积S=g|耳EH%|=；X2石X《=l.

解法三：

由三角形面积公式右哲和=31P/"尸鸟|smZFtPF2,需要先求得|「片|•|Pg|的值.

由勾股定理有IPfjF+l尸入『斗耳片匕再由双曲线的定义有||P耳「玛||=4……②,

22

对②两边平方|尸耳|-2\PFi\\PF2\+\PF11=16,

1,,

2

\PFt\-\PF2\=-（\PF^+\PF2^-S.

由双曲线方程得1耳鸟1=2逐.在Rt△6p6中，

，IP"I•|尸鸟|=2,，△/;；尸后的面积S=g|「片|•|PR|=1.

⑵G；

由已知：a=2,b=l,c=#).

在△片Pg中，由余弦定理得

I耳一『=|PF^+\PF^-COS^PF

^\PFX\-\PF2\2

2

=(\PFl\-\PF21)+2\PFl\-\PF2\il-cos^FlPF2).

又耳玛|=2c=2q,\\PF1\-\PF2\\=2a=4,N4P5=60。，

(2石/=42+2|P£||P6M1-COS60。)，从而|尸耳卜|"|=4,

,S4PFF=~\PF\\PF,\^nZFPF,=-x4xsin60°=^.

122ll2

⑶-12上；

丽/耳

双曲线即三一匕=1,故从=3,于是5旷"=〃.cot刍空!3

即tan—~二

53,2222夜’

c093

2tan$

设/64用=。，则tan(9=-----%=—半=-12&.

1-tan—1——

28

目标班学案3

V-2V2

【拓3】（2010浙江10）设O为坐标原点，耳，F,是双曲线二-与=1（a>0,匕>0）的焦点，若在双

ab

曲线上存在点P,满足/耳/55=60。，|。尸|=缶，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.x+\/3y=0B.yfix±y=0C.x±>/2_y=0D.夜x±y=0

【解析】D

由余弦定理得：cos60°=1'耳「+10々「n|尸片||PE1=4/，

2\PFX\\PF2\

la2+c2-\PF^

2\Jlac

2。耳=7九”『②

2\/lac

①+②得14a2+2C2-(|PK|2+|PK|2)=0

,2»

即14a2+2,2=4/+画，即从=26,所以1=2,-=±72,

a"a

故y=±\[lx.

考点5：双曲线中的最值问题

提高班学案3

2222

【铺1】设连结双曲线「-4=1与与-[=1（4>0,/?>0）的四个顶点所得四边形面积为不连

abba

结四焦点所得四边形面积为s2,则R:S2的最大值为.

【解析】-

2

10

S.=--2a-2b=2ab,S,=--(2c)2=2c2=2(a2+b2),故'+6，=L

1222

22S2a+b2(/+〃)2

【例5】⑴』若P是双曲线。-丁=]右支上一个动点，/是双曲线的右焦点，已知点A的坐标是

(3,5),贝IJ|PA|+1|的最小值是_______.

⑵内若尸是双曲线1-丫2=1右支上一个动点，F是双曲线的右焦点，已知点A的坐标是

(3,1),则|弘|+|/^|的最小值是.

【解析】(1)医

v-2

双曲线5-y2=i中，/=3,b2=l,c=2,F(2,0).

如图，要求|PA|+|P用的最小值，只需把折线段拉直，即当点P运动到A尸与双曲线的

交点尸'时，|PA|+|P可取得最小值，并满足|2A|+|产尸HA用，

最小值为|AF|=J(3-2)2+(5-0)2=而.

⑵回_2逝

双曲线1->2=i中，/=3,层=],c=2,尸(2,0),如

图所示.找到其左焦点片(-2,0),\2/

如图，根据双曲线第一定义，|P/"-|PF|=24=2G,一

因此|尸用=|PF、|-2>/3,-<^1*

\PA\+\PF\^PFl\-2y/3+\PA\^PFt\+\PA\-2^.

故此题转化为求|尸耳|+1241的最小值问题.

求|P/"+|P4|的最小值仍然是拉直，

当点尸运动到A耳与双曲线右支的交点P时，|PfJ|+|PA|取得最小值，

并满足||+|PARA耳|=J(3+2『+(1-0)2=病.即最小值为V26.

则|/M|+|PF|=|尸甲-26+1PA\=\PFX|+|PA|一23的最小值为后-2G.

仁二\[92抛物线

考点6：抛物线及其标准方程

暑假知识回顾

1.平面内与一个定点下和一条定直线/(F任/)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线

的焦点，定直线/叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程：y2=2px(p>0),焦点在x轴正半轴上，坐标是《，0),准线方程是x=",

其中p是焦点到准线的距离.

3.抛物线的几何性质(根据抛物线的标准方程V=2px(p>0)研究性质)：

⑴范围：抛物线在y轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸.

⑵对称性：以X轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.

⑶顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.此处为原点.

⑷离心率：抛物线上的点与焦点利准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e表示，e=l.

4.设抛物线的焦点到准线的距离为p(p>0),抛物线方程的四种形式如下:

标准方程图形对称轴焦点坐标准线方程

y

I

y2=2px

(pO)一£

(P>0)02

X轴

/

y2=-2px

(苫,0)x=E

(P>0)0X2

J

x2=2py

(。，争

y=

(P>0)上-2

y轴

7

x2=-2py

(。，-9>甘

(P>0)

练习斗⑴动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为.

⑵(2010浙江理13)设抛物线V=2px(p>0)的焦点为尸，点A(0,2),若线段£4的中点8在

抛物线上，则3到该抛物线准线的距离为.

⑶(2012四川理8)已知抛物线关于无轴对称，它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,%),

若点M到该抛物线焦点的距离为3,贝U|OM|=()

A.272B.2>/3C.4D.26

【解析】(1)y2=8x

由定义知p的枕迹是以尸(2,0)为焦点的抛物线，p=4,所以其方程为丁=8》.

⑵%

4

利用抛物线的定义结合题设条件可得出0的值为Ji,3点坐标为―,1，所以点8到

\/

抛物线准线的距离为3夜.

4

(3)B

12

由题意设抛物线方程为/=2px(p>0),则M到焦点的距离为xM+-^=2+^=3,

：.p=2,：.y2=4x,；.y；=4x2,二％=±2夜，：