等腰三角形的证明及计算大题训练（50道）（人教版）（解析版）

专题13.6等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）

【人教版】

考卷信息：

本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具的应用及构造等

腰三角形！

解答题（共50小题）

1.（2022秋•勃利县期末）如图：ZVIBC的边AB的延长线上有一个点。，过点。作。FLAC于F,交BC

于E,且求证：ZVIBC为等腰三角形.

【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证NA=NC,而由题中已知条件，DF±AC,BD=BE,因此，可

以通过角的加减求得/A与/C相等，从而判断△A8C为等腰三角形.

【详解】证明：•.•。凡LAC,

:.NDFA=NEFC=90°.

：.ZA^ZDFA-ZD,/C=NEFC-NCEF,

,:BD=BE,

：.ZBED=ZD.

'：ZBED=ZCEF,

:.ND=NCEF.

：.ZA=ZC.

...△ABC为等腰三角形.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键.

2.（2022秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB=AC,乙4=50°,A8的垂直平分线交AC于点D,

交AB于点E,求NO8c的度数.

E,

【分析】分别求出NABC,ZABD,可得结论.

【详解】解：:△ABC中，AB=AC,ZA=50°,

：.ZABC=ZC=-2(1800-NA)=65°,

\,AB的垂直平分线MN交AC于D,

：.AD=BD,

：.ZABD=ZA=50°,

AZDBC=AABC-ZABD=65°-50°=15°.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形

的性质，灵活运用所学知识解决问题.

3.(2022秋•林州市期末)已知△ABC的两边长a和〃满足佝与+(b-4)2=0.

(1)若第三边长为c,求c的取值范围.

(2)若△ABC是等腰三角形，求△A8C的周长.

【分析】(1)利用非负数的性质可求得“、〃的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；

(2)分腰长为9或4两种情况进行计算；

【详解】解：(I)VVa^9+(b-4)2=0,

.,.a-9=0,b-4=0»

解得a=9,b=4,

V9-4<c<9+4,

即5<c<13；

(2)当腰长为9时，

此时三角形的三边为9、9、4,满足三角形三边关系，周长为22；

当腰长为4时，

此时三角形的三边长为4、4、9,4+4<9,不满足三角形三边关系.

综上可知，△A8C的周长为22.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键.

4.（2022秋•河东区校级期中）如图1,点A、。在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，C。平分/AC8

（1）求证：AC=BC；

（2）如图2,点C的坐标为（4,0），点E为4c上一点，且=求BC+EC的长.

【分析】（1）由题意NCAO=90°-NBDO,可知NCAO=/C8O,CO平分NAC8与y轴交于。点，

所以可由AAS定理证明△ACD丝△BCD,由全等三角形的性质可得AC=BC；

（2）过。作CW_L4C于N点，可证明RlZ\BDOgRtZ\E£）N、△OOC丝△ONC,因此，BO=EN、OC=

NC,所以，BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC,即可得8C+EC的长.

【详解】（1）证明：：NC4O=90°-NBDO,

：.ZCAO=ZCBD.

AACD=乙BCD

在△AC。和△"?£)中'Z.CAO=“BD,

CD=CD

：./\ACD^/\BCD(AAS).

：.AC=BCi

(2)由(1)知NCAD=NDEA=/DBO,

:.BD=AD=DE,过。作。NJ_ACTN点，如右图所示:

,/ZACD=ZBCD,

：.DO=DN,

在RtABDO和Rt^EDN中｛嚣:嚣，

.•.RtABDO^RtA££)/V(HL),

：.BO=EN.

ZDOC=Z.DNC=90°

在△OOC和△ONC中，zOCD=乙NCD

DC=DC

:.△DOg/XDNC(A4S),

可知：OC=NC；

：.BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC=8.

v

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线,正确作出辅助线是解决问

题的关键.

5.(2022秋•武冈市期中)已知如图，△ABC中，EF//BC,交AB、AC于E、FNB的平分线交E尸于O

点.

(1)求证：EO=BE；

(2)若EF=BE+CF,求证：OC平分N4CB.

【分析】(1)利用平行线以及角平分线的定义证明NEOB=NEBO即可.

(2)想办法证明ZOCF=ZOCB即可.

【详解】证明：(1)'：EF//BC,交AB、AC于E、F.

:"BOE=NCBO,ZCOF^ZBCO,

VZB的平分线交EF于O点,

：.ZEBO=ZCBO,

：.ZEBO=ZBOE,

：.EO=BE.

(2)'：EF=BE+CF,KEF=OE+OF,

：.OE+OF=BE+CF,

"：EO=BE,

OF=CF,

：.ZCOF=ZFCO,

'：ZCOF=ZBCO,

：.NBCO=ZFCO,

，0C平分/AC8.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识.进行线段的等量

代换是正确解答本题的关键.

6.(2022秋•盘龙区期末)如图，在△ABC中，A8=AC,点。、E、尸分别在48、BC、AC边上，且BE

=CF,BD=CE.

(1)求证：是等腰三角形：

(2)当NA=50°时，求NOE尸的度数.

【分析】(1)根据等边对等角可得N8=/C,利用“边角边”证明△8/)E和△CEF全等，根据全等三

角形对•应边相等可得DE=EF,再根据等腰三角形的定义证明即可：

(2)根据全等三角形对应角相等可得N8DE=NCEF,然后求出NBED+NCEF=/BED+NBDE,再利

用三角形的内角和定理和平角的定义求出/B=ZDEF.

【详解】(1)证明：•.•ABMAC,

:./B=NC,

在△BDE和△CEF中，

BD=CE

乙B=Z.C,

BE=CF

：./\BDE^/\CEF(SAS),

:・DE=EF,

，△。七尸是等腰三角形;

(2)解：VABDE^ACEF,

:・/BDE=/CEF,

:./BED+/CEF=NBED+/BDE,

VZB+(/BED+NBDE)=180°,

NDEF+(NBED+NBDE)=180°,

:./B=NDEF,

VZA=50°,AB=AC,

：.ZB=-(180°-50°)=65°,

2

:.NDEF=65°.

【点睛】本题考杳了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟记

各性质并确定出全等三角形是解题的关键.

7.(2022秋•大石桥市期末)如图，ZxABC是等边三角形，延长8c到点E,使CE=»C,若。是4c的

中点，连接M并延长交A8于点F.

(1)若A尸=3,求的长；

(2)证明：DE=2DF.

【分析】(1)根据已知条件，易证CD=CE,从而求出N£=NCOE=30°,然后再根据N3=60°,

求出/4/。=90°,最后放在直角三角形AFZ)中，即可解答；

(2)根据等腰三角形的三线合一性质，想到连接8D,易证8£>=。瓦然后放在直角三角形8尸力中，即

可解答.

【详解】(1)解：•••△ABC为等边三角形,

：.AC=BC,NA=NAC8=60°,

・・♦。为AC中点,

：.CD=AD=^AC,

VCE=|BC,

:.CD=CE,

:・NE=NCDE,

VNACB=NE+NCDE,

:・NE=NCDE=30°,

ZADF=ZCDE=30°,

,/ZA=60°

ZAFD=180°-NA-NAZ)/=90°,

VAF=3

：.AD=2AF=6；

(2)证明：连接5Q,

•••△A8C为等边三角形，。为AC中点，

・・・3£>平分NA8C,ZABC=60°,

ZDBC=ZABD=iZABC=30°,

2

•；NBFD=90°

：.BD=2DF

•/ZDBC=ZE=30°

：.BD=DE

；.DE=2DF.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一添加辅助线是解题的关键.

8.（2022春•大埔县期末）如图，△A8C是等边三角形，AACE是等腰三角形，ZAEC=\20°,AE=CE,

产为BC中点，连接A尸.

(1)直接写出ZBAE的度数为90°；

(2)判断4F与CE的位置关系，并说明理由.

【分析】(1)分别求出N8AC,NC4E即可解决问题.

(2)证明AFA.BCEC±BC即可判断.

【详解】解：(1);△ABC是等边三角形，

：.ZBAC=ZACB=60°,

'：EA=EC,ZAEC=120°,

.•./E4C=/EC4=30°,

N8AE=ZBAC+ZCAE=90°.

故答案为90°.

(2)结论：AF//EC.

理由：'：AB=AC,BF=CF,

：.AF1BC,

VZACB=60°,ZACE=30°,

AZfiCE=90°,

：.ECVBC,

C.AF//EC.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练学

握基本知识，属于中考常考题型.

9.(2022秋•宁明县期末)如图，在△ABC中，AC=BC,ZACB=120°,CE_LA8于点。，JiDE=DC.求

证：△CE8为等边三角形.

4E

CR

【分析】根据CE_LA8丁点。，且。E=OC得出8C=8E,根据角的关系得出/EC8=60°,即可证得

△CEB为等边三角形.

【详解】证明：•.•CELAB于点D,且。E=OC,

：.BC=BE,

\"AC=BC,ZACB=120°,CELAB于点D,

ZECB=60°,

.；△CEB为等边三角形.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

10.（2022春•二七区校级期中）在△ABC中，AB=AC,。是直线BC上一点，以AO为一边在AO的右侧

作△AOE,使AE=AZ）,ZDAE^ZBAC,连接C£设N8AC=a,ZBCE=p.

（1）如图（1），点。在线段BC上移动时，①角a与。之间的数量关系是a+B=180°；

②若线段BC=2,点4到直线BC的距离是3,则四边形4DCE周长的最小值是8；

（2）如图（2）,点。在线段8c的延长线上移动时，

①请问（1）中a与。之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；

②线段8C、DC、CE之间的数量是CE=BC+CD.

图（1）图⑵

【分析】（1）①先证再证明△A8O丝△4CE,得出对应角相等NACE,即可

得出结论；

②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；

（2）①如图2,根据等式的性质就可以得出就可以得出就可以得出/

ABD=ZACE,就可以得出结论；

②根据全等三角形的性质即可得到结论.

【详解】解:（1）①a+p=180°；理由如下:

NDAE=ABAC,

AZDAE-ZDAC=ZBAC-ZDAC

：.ZCAE=ZBADf

在△ABO和△ACE中，

AB=AC

/-BAD=乙CAE,

AD=AE

：./\ABD^/\ACE(SAS),

・•・ZABD=NACE,

・・・NA4C+NA8O+NACB=180°,

AZBAC+ZACE+ZACB=180°,

：.ZBAC+ZBCE=180°,BPa+p=180°,

故答案为：a+0=18O°；

②由①知，△ABO丝△ACE,

：.BD=CE,AD=AE,

：.CD+CE=BD+CD=BC=2,

当AOLBC时，4。最短，

即四边形AQCE周长的值最小，

•.•点A到直线8c的距离是3,

.\AD=AE=39

：.四边形ADCE周长的最小值是2+3+3=8,

故答案为：8；

(2)①成立，理由如下：

,/ZDAE=ZBACf

：.ADAE+ACAD=NBAC+NCAD,

・•・NBAD=NCAE,

在△3AO和△CAE中，

AB=AC

Z-BAD=乙CAE,

AD=AE

：./\ABD^/\ACE(SAS),

・・・ZABD=ZACE,

,/ZACD=ZABD+ZBAC=ZACE+ZDCE,

：.ZBAC=ZDCE,

：.ZBAC+ZBCE^/£)CE+N3CE=180°,

即a+p=180°；

②.•.△AB。出/XACE(SAS),

；.NABD=NACE,BD=CE,

\"BD=BC+CD,

：.CE=BC+CD,

故答案为：CE=BC+CD.

图(I)图(2)

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质：证明三角形全等得出对应角相等、

对应边相等是解决问题的关键.

11.(2022秋•台江区期末)如图，已知NABC=NAZ)C=90°,BC=CD,CA=CE.

(1)求证：NACB=NACD；

(2)过点E作ME〃AB,交AC的延长线于点过点M作MP_LOC,交OC的延长线于点尸.

①连接PE,交AM于点N,证明AM垂直平分PE；

②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点。与点E重合.

【分析】(1)证明RizMBC丝RtzMOC(HL)即可;

(2)①证明丝△川氏?(SAS)即可；

②延长PC、ME交于。点，结合①推导出/"O=N£)QE=30°,则PE=EQ,则ME+PE=QE+ME2

M。，止匕时ME+PE的值最小，再由点0是直线4E上的动点，可得当MO+PO的值最小时，，E点与。点

重合.

【详解】证明：（1）VZABC=ZADC=90°,BC=CD,AC=ACf

ARtAABC^RtAADC(HL),

:.ZACB=ZACD；

(2)@VRtAABC^RtAADC,

・•・ZBAC=ZCADf

*：CA=CE,

：.ZCAE=ZCEAf

VZ£BA=90°,

AZBEA=ZBAC=ZCAE=30°,

♦；PD上AE,MP.LPD,

：.AE//MP,

：.ZPMC=ZMAE=30°,

•:ME"kB,

：.ZMEB=ZABE=90°,

/.ZMEA=900+30°=120°,

・・・/MAE=30°,

：.ZEMA=30°,

•:CPLMP,CEA.ME,NMCP=NMCE=60°,

:ANEg4NPC(SAS),

:.EN=PN,

・・・N是"的中点，NCLPE,

・・・AM垂直平分尸E；

②延长P。、ME交于。点，

由①知，ZBEA=30°,NMEB=90。,

AZMEA=120°,

AZDEQ=60°,

VPD±AE,

：.NEOQ=90°,

：.ZEQD=30°,

；NCPN=30°,

:.NEPD=NDQE,

：.PE=EQ,

；.ME+PE=QE+ME》MQ,此时ME+PE的值最小,

;点O是直线AE上的动点，

当MO+PO的值最小时，E点与0点重合.

【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，线段垂直平

分线的性质，全等三角形的判定及性质，轴对称求最短距离是解题的关键.

12.（2022春•市南区期末）如图，RtZXABC中，ZACB=90°,。是A2上一点，BD=BC,过点。作AB

的垂线交AC于点E,求证：BE垂直平分CZX

【分析】证明RSDE丝RSCE,根据全等三角形的性质得到EO=EC,根据线段垂直平分线的判定

定理证明.

【详解】证明：\'ZACB=90°,DELAB,

：.ZACB=ZBDE=90°,

在RtABDE和RtABCE中,

(BD=BC

(BE=BE'

LRtABDE学RtABCE,

：.ED=EC,

:ED=EC,BD=BC,

.•.BE垂直平分CD.

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂宜平

分线上是解题的关键.

13.（2022秋•平房区期末）如图，点。、E在△ABC的边8C上，AD=AE,BD=CE.

（1）求证：AB=AC；

（2）若NBAC=108°,ZDAE=36°,直接写出图中除aABC与△4£>“外所有的等腰三角形.

【分析】（1）首先过点A作AnL8C于点凡由根据三线合一的性质，可得。F=EF,又由

BD=CE,可得8尸=（?尸，然后由线段垂直平分线的性质，可证得A8=4C.

（2）根据等腰三角形的判定解答即可.

（详解】证明：（1）过点A作AFLBC于点F,

\"AD=AE,

：.DF=EF,

,;BD=CE,

：.BF=CF,

：.AB=AC.

（2）；NB=NBAD,ZC^ZEAC,NBAE-BEA,ZADC=ZDAC,

...除△ABC与△4DE外所有的等腰三角形为：△ABO、△4EC、△A8E、△4OC,

【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形

结合思想的应用.

14.（2022秋•河西区期末）如图，在△ABC中，AB=AC,点。在AC上，且B£»=BC=AQ,求△ABC各

角的度数.

【分析】设NA=x,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数.

【详解】解：设NA=x.

"：AD=BD,

ZABD—ZA=x；

\"BD=BC,

：.NBCD=NBDC=NABD+NA=2x；

'：AB=AC,

：.ZABC=ZBCD^2x,

：.ZDBC=x；

VJC+2X+2JC=180°,

；.x=36°,

：.ZA=36°,NABC=NAC8=72°.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质：利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正

确解答本题的关键.

15.（2022秋•巩义市期末）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,/A=60°,AB=12cm,若点P从点B

出发以2cm/s的速度向点A运动，点。从点A出发以Icro/s的速度向点C运动，设尸、。分别从点8、A

同时出发，运动的时间为此

（1）用含f的式子表示线段AP、A。的长；

（2）当f为何值时，△4P。是以PQ为底边的等腰三角形？

（3）当r为何值时，PQ//BC1?

B

P

【分析】(1)由题意，可知N8=30°,AC=6cm.BP=2t,AP=AB-BP,AQ=t.

(2)若△AP0是以P。为底的等腰三角形，则有AP=AQ,即12-2f=f,求出f即可.

(3)先根据直角三角形的性质求出入8的度数，再山平行线的性质得出/。用的度数，根据直角三角形

的性质即可得出结论.

【详解】解：(1)；RtZ\ABC中，/C=90°,NA=60°,

：.ZB=30Q.

又,.♦A8=12cvn,

：.AC=6cm,BP=2t,AP=AB-BP^\2-2t,4Q=f；

(2);△AP。是以PQ为底的等腰三角形，

：.AP=AQ,即12-2f=f,

.•.当t=4时，△4尸。是以PQ为底边的等腰三角形；

(3)当PQ_L4C时，PQ//BC.

VZC=90°,/A=60°,

二ZB=30°

■:PQ//BC,

：.ZQPA=30°

：.AQ=I尸，

(12-2r),解得r=3,

.•.当r=3时，PQ//BC.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此

题的关键.

16.(2022秋•清江浦区校级月考)如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=\6cm,BC=\2cm,AC=20cm,

P、。是aABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A-8方向运动，且速度为每秒1。〃?，点。从

点8开始沿B-C-4方向运动，且速度为每秒2c〃?，它们同时出发，设出发的时间为r秒.

(1)BP=(16—)。"(用t的代数式表示)

(2)当点Q在边8c上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？

(3)当点。在边C4上运动时，出发11秒或12秒后，△BCO是以BC或8。为底边的等腰三角形?

备用图

【分析】(I)根据题意即可用t可分别表示出BP；

(2)结合(1),根据题意再表示出8Q,然后根据等腰三角形的性质可得到8尸=BQ,可得到关于f的

方程，可求得八

(3)用/分别表示出8。和C。，利用等腰三角形的性质可分CQ=8C和BQ=CQ三种情况，分别得到

关于，的方程，可求得r的值.

【详解】解：(1)由题意可知BQ—It,

'：AB=\6cm,

：.BP=AB-AP=(16-r)cm,

故答案为：(16-r)cm-.

(2)当点。在边8c上运动，/XPOB为等腰三角形时，则有8P=80,

即16-r=2f,解得

出发竽秒后，△PQ8能形成等腰三角形；

(3)①当△BCQ是以8c为底边的等腰三角形时：CQ=BQ,如图1所示，

VZ/1BC=90°,

.../CBQ+NABQ=90°.

ZA+ZC=90°,

：.ZA=ZABQ,

：.BQ=AQ,

：.CQ=AQ=\O(an),

...BC+CQ=22(cm),

.1=22+2=11：

②当，aBCQ是以3Q为底边的等腰三角形时：CQ=8C,如图2所示,

图2

则BC+CQ=24（cm）,

；"=24+2=12,

综上所述：当/为11或12时，ABC。是以8c或8。为底边的等腰三角形.

故答案为：II秒或12.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.用时间/表示出相应线段的

长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用.

17.（2022春•渠县校级期末）已知：如图，AB=AC,。是AB上一点，OEJ_8c于点E,的延长线交

CA的延长线于点F.求证：△AQF是等腰三角形.

【分析】根据等边对等角得出再利用等角的余角相等和对顶角相等得出NEFC=/AD凡进

而证明即可.

【详解】解：：AB=AC,

（等边对等角），

'：DELBC^E,

:.NFEB=NFEC=90°，

：.ZB+ZEDB=/C+/EFC=90°,

：.NEFC=NEDB（等角的余角相等），

（对顶角相等），

二ZEFC=NADF,

：.AD=AF,

...△A。尸是等腰三角形.

【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是利用等角的余角相等和对顶角相等得出NEFC=NAD?

18.（2022秋•北仑区期中）（1）如图1,△ABC中，作/ABC、/4C3的角平分线相交于点O,过点O

作EF〃BC分别交48、AC于E、F.

①求证：OE=BE；

②若△4BC的周长是25,BC=9,试求出AAE尸的周长；

（2）如图2,若/ABC的平分线与/ACB外角/AC£＞的平分线相交于点P,连接AP,试探求/B4C与

的数量关系式.

【分析】（1）①由等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；

②根据三角形的周长公式即可得到结论；

（2）根据角平分线的性质即可得出答案.

【详解】解：（1）①'.♦BO平分NABC,

/EBO=ZOBC,

'：EF//BC,

：.ZE0B=Z0BC,

：.ZEOB=ZEBO,

：.OE=BE；

②△AEF的周长=AE+A尸+EF=AE+A尸+EB+FC=AB+AC=25-9=16；

(2)解：延长8A,做PN_L8。，PFLBA,PM±AC,

•..CP平分NACO,

：.ZACP=ZPCD,PM=PN,

平分乙ABC,

AZABP=ZPBC,PF=PN,

:.PF=PM,

：.ZFAP^ZPAC,

：.ZFAC=2ZPAC,

VZMC+ZBAC=180°,

；.2/B4C+/84c=180°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解

题的关键.

19.（2022秋•余干县期中）如图，在四边形4BCD中，AB=AD,ZABC^ZADC.

【分析】连接8。，根据A8=AO,可得再根据/A8C=/4OC,可证NCBO=/COB

即可.

【详解】证明：连接8D,

'：AB=AD,

，ZAHD=ZADB,

又•.♦&%=NADC,

ZCBD=ZABC-NABD,ZCDB=ZADC-AADB,

:.NCBD=NCDB,

：.BC=DC

【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，连接BD,求证△A3。是等腰三

角形，这是解答此题的关键.

20.（2022春•焦作期末）如图，在等边三角形ABC中NB,NC的平分线相交于点。，作80,CO的垂直

平分线分别交于点E和点F.小明说：“E,尸是3c的三等分点.”你同意他的说法吗？请说明理

由.

【分析】连接OE、OF,根据等边三角形角平分线的性质，可得/OBC=/OCB=30°,由8c的垂直

平分线，可知8E=0E,NEBO=NEOB=30°,ZOEF=60°,再证，NOFE=60°,得出△OEF为

等边三角形，从而可知EF=OE=BE=OF=FC,得出结论.

【详解】解：连接OE、OF,

为80垂直平分线上的点，且NO8c=30°,

：.BE=OE,NEBO=NEOB=30°,

：.NOEF=NEBO+NEOB=60°,

同理，NOFE=NFCO+NFOC=60°,

.♦.△OEF为等边三角形，

即EF=OE=BE,EF=OF=FC,

故E、F为8c的三等分点，

故该说法正确.

A

【点睛】本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了垂直平分线的性质，本题中根据勾股定理

求BE、C/的值是解题的关键.

21.(2022秋•工业园区期末)已知：如图，在四边形A8CD中，/ABC=/ADC=90°,点E是AC的中

点.

(1)求证：△8EO是等腰三角形:

(2)当NBCD=150°时，△BED是等边三角形.

【分析】⑴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=/C,DE=^AC,从而得到8E=

DE.

(2)利用等边对等角以及三角形外角的性质得出即可得出ND4B=30°,然后根据

四边形内角和即可求得答案.

【详解】证明：(1),••NABC=/AOC=90°,点E是AC边的中点，

：.BE=^AC,DE=^AC,

：.BE=DE,

...△8EZ)是等腰三角形；

(2)'：AE=ED,

：.ZDAE=ZEDA,

"：AE=BE,

:.NEAB=NEBA,

'：ZDAE+ZEDA-ZDEC,

ZEAB+ZEBA=ZBEC,

：.ZDAB=-ZDEB.

2

*//\BED是等边三角形，

：.ZDEB=60°,

：.ZBAD=30°,

AZBCD=360°-90°-90°-30°=150°.

故答案为：150.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出］/力破

=ND4B是解题关键.

22.(2022春•梅州校级期末)如图，在RtZiABC中，ZACB=90Q,ZA=30°,8c=1.将三角板中30°

角的顶点。放在A8边上移动，使这个30°角的两边分别与△A8C的边AC,BC相交于点£,F,且使

OE始终与A8垂直.

(1)△3OF是什么三角形？请说明理由；

(2)设A£>=x,CF=y,试求y与x之间的函数关系式；(不用写出自变量x的取值范围)

(3)当移动点。使EF〃AB时，求A。的长.

【分析】(1)由已知可得//。8=60°,N8=60°,从而可得到△8。尸是等边三角形.

(2)由/4=30°,ZACB=90°可得A8=2BC=2,再将Cr=»BF=1-y,代入即可得出x,y的关

系；

(3)当E尸〃AB时，ZC£F=30°,NFED=NEDA=90°,CF=汐,EF=^DF,代入计算即可求得

AD的长.

【详解】解：(1)ABDF是等边三角形,证明如下：

'JEDLAB,Z£DF=30°,:.NFDB=60°,

VZA=30°,NAC8=90°,AZB=60°,

AZDFB=60°,.♦.△8/)尸是等边三角形.

(2)VZA=30°,ZACB=90°,：.AB=2BC=2,

'：CF^y,：.BF=\-y,又△BQF是等边三角形，.•.8D=8F=1-y,

••A,==2-(1-y)1+y,«•y~~x~1,

(3)当所〃A8时，NCEF=30°,ZFED=ZEDA=90°,

CF=^EF,EF=|Z)F,

'：DF=BF=\-y,；.y=：(l-y),.,.y=I，

.,.x=y+l=g,即A£>=g.

【点睛】本题考查的知识点比较多，难度较大，要熟练地掌握等边三角形的判定与性质.

23.(2022秋邛日新县校级期末)如图1,在RtZ\AC8中，/ACB=90°,/A8C=30°AC=1点。为AC

上一动点，连接8。，以80为边作等边△BDE,E4的延长线交BC的延长线于凡设C£>=〃，

(1)当”=1时，则AF=2；

(2)当0</<1时，如图2,在84上截取B4=A£>,连接EH,求证：AAEH为等边三角形.

【分析】(1)根据三角形内角和定理求出/B4C=60°,再根据平角等于180°求出/用C=60°,然

后求出2尸=30°,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；

(2)根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用NC8。表示出NAOE=30°+Z

CBD,又NHBE=30°+ZCBD,从而得到NADEn/HBE,然后根据边角边证明△相>£与全等，

根据全等三角形对应边相等可得AE=HE,对应角相等可得然后推出/BE。

=60°,再根据等边三角形的判定即可证明.

【详解】(1)解：・・・△BOE是等边三角形，

：.ZEDB=60°,

VZACB=90°,ZABC=30°,

AZBAC=180°-90°-30°=60°,

.•.MC=180°-60°-60°=60°,

/.ZF=180°-90°-60°=30°,

VZACB=90°,

ZACF=180°-90°,

：.AF=2AC=2X\=2；

(2)证明：是等边三角形，

:・BE=BD,ZEDB=ZEBD=60°,

在△8CO中，NADE+NEDB=NCBD+NC,

BPZADE+600=ZCBD+90°,

AZADE=30°+NCBD,

•；/HBE+/ABD=60°,ZCBD+ZABD=30°,

；・NHBE=30°+NCBD,

：.NADE=NHBE,

在△4£)£：与中，

BH=AD

/.ADE=乙HBE,

BE=BD

:.AADE乌AHBE(SAS),

：.AE=HE,NAED=NHEB,

:.NAED+NDEH=/DEH+NHEB,

即乙4七"=/痛)=60°,

・•・△?!£//为等边三角形.

【点睛】本题考查了30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角

形的性质与判定，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，(2)中求出NAOE

=是解题的关键.

24.(2022•宁德一模)如图，已知△A8C中，ZABC=ZACB,以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交

AC,A8于点。，E,连接BD,ED.

(1)写出图中所有的等腰三角形；

(2)若/AEZ)=114°,求NA8。和/ACB的度数.

【分析】(1)根据等腰三角形的判定，两底角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，即可找出图中

所有的等腰三角形；

(2)根据邻补角的性质可求得/8E£)=66°,在中可求得乙48。=180°-2NBED=48°,设/

ACB=x°,则/ABC=NACB=x°,求得NA=180°-2x°,又根据三角形外角的性质得出N8OC=N

A+ZABD,贝！］x=180-2r+48,求得/ACB=76°.

【详解】解：(1),.•/ABC=/4CB,

：.AB=AC,

...△ABC是等腰三角形：

,:BE=BD=BC,

:.△BCD,△BE。是等腰三角形；

图中所有的等腰三角形有：△ABC,△BCQ,ABED；

(2)解：VZA£D=114°,

.*.ZBED=1800-ZAED=66°.

,:BD=BE,

:./BDE=NBED=66°.

；.NA8D=180°-66°X2=48°.

解法一：设N4C8=x°,

r.ZABC=AACB=x°.

：.Z/4=18O°-2x°.

,:BC=BD,

:.NBDC=NACB=x°.

又,:ZBDC为△ABO的外角，

：.ZBDC=ZA+ZABD.

...x=180-2x+48,解得：x=76.

：.ZACB=J6°.（10分）

解法二：设/AC3=x°,

/ACB=x°.

:.NDBC=x°-48°.

,:BC=BD,

：.ZBDC=ZACB=x，".

又ZDBC+ZBCD+ZBDC=180°,

...x-48+x+x=180,解得：x=76.

；./4C8=76°.

【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，难度一般.

25.(2022秋•平舆县期末)如图，在aABC中，NABC=45°,点P为边BC上的一点，BC=3BP,且/

以8=15°,点C关于直线的对称点为。，连接8£>,又△APC的PC边上的高为AH

(1)求NBP3的大小；

(2)判断直线8。，A”是否平行？并说明理由；

(3)证明：ZBAP^ZCAH.

【分析】(I)根据点C关于直线PA的对称点为D,即可得到△A。尸丝△ACP,进而得出

=60°,即可得到N8P£>=180°-120°=60°；

(2)先取PZ)中点E,连接8E,则△BEP为等边三角形，△8OE为等腰三角形，进而得到/。8尸=90°,

即80_L8c.再根据的尸C边上的高为4H,可得AH_L8C,进而得出

(3)过点A作出入/)P的垂线，垂足分别为G、尸.根据NGBA=NC84=45°,可得点A在/G8C的

平分线上，进而得到点A在/GOP的平分线上.再根据/GOP=150。，即可得到/C=/4OP=75°,

进而得到RtZ\AC”中，/C4"=15°,即可得出/84尸=NCAH.

【详解】解：(I)VZMB=15°,ZABC=45°,

：.ZAPC=15°+45°=60°,

点C关于直线PA的对称点为D,

：.PD=PC,AD=AC,

：.△AOPdACP,

.•./4PC=/”n=60°,

.,.ZBPD=180°-120°=60°；

(2)直线BD,平行.理由：

;BC=3BP,

:.BP=-PC=-PD,

22

如图，取P。中点，连接8E,则△8EP为等边三角形，△8OE为等腰三角形,

：.ZBEP=60°,

:.NBDE=LBEP=30°,

2

：・NDBP=90°,EPBD±BC.

又,/AAPC的PC边上的高为AH,

：.AHLBC,

(3)如图，过点A作3。、。尸的垂线，垂足分别为G、F.

VZAPC=ZAPD,即点A在NDPC的平分线上，

：.AH=AF.

VZCBD=90°,ZABC=45°,

：.ZGBA=ZCBA=45°,

即点A在NG8C的平分线上，

：.AG=AH,

：.AG=AF,

・••点A在/GDP的平分线上.

又・.・NBDP=30°,

：.ZGDP=\50°,

ZADP=-x\50°，

A2=75°

.,./C=/A4P=75°,

.♦.RtzXAC〃中，ZCAH=\5°,

：.ZBAP=ZCAH.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质的运用，

解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题.

26.(2022春•本溪县期中)如图，/XABC中，ADLBC,EF垂直平分AC,交AC于点凡交BC于点E,

且BD=DE.

(1)若NBAE=40°,求/C的度数；

(2)若aABC周长为2(kro,AC=Scm,求。C长.

A

【分析】(1)根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出A8=AE=CE,求出NAE8和NC=NEAC,

即可得出答案；

(2)根据已知能推出2£>E+2EC=12cw,即可得出答案.

【详解】解：

(1)垂直平分BE,E尸垂直平分AC,

：.AB=AE=EC,

.•./C=/CAE,

VZfiAE=40°,

AZAED=70°,

.\ZC=-Z/1ED=35O；

2

(2)•••△ABC周长20。小AC=8cm,

：,AB+BE+EC=l2cmf

即2DE+2EC=12cm,

DE+EC=DC=6cm.

【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是

解题的关键.

27.(2022秋•澧县期末)如图，一只船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过10小时到达3

处.分别从4、B处望灯塔C,测得/M4C=42°,NNBC=84度.求8处与灯塔C距离.

N

【分析】本题的关键是利用题中给出的角的度数，求得BC=AB,再速度乘时间就是路程，从而求出8c

的长.

【详解】解：；NN8C是△48C的外角

：.ZC=ZNBC-/NAC=42°

.•./C=/BAC

：.BC=BA=]SX10=180（海里）

因此8处与灯塔C距离是180海里.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；利用数学知识来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，画

出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.

28.（2022春•西安期末）如图，在△ABC中，是AC的垂直平分线，AE=5cm,△A8D的周长为17a”，

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到D4=£>C，AC=2AE=l0cm,根据三角形的周长公式计算.

【详解】解：•..DE是AC的垂直平分线，

.,.DA=DC,AC=2AE=]0cm,

;△A3。的周长为17cm,

：.AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=17cm,

：.△ABC的周长=48+BC+AC=27CVM.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距

离相等是解题的关键.

29.(2022春•嵩县期末)如图所示.点P在N40B的内部，点M、N分别是点P关于直线04、08的对

称点，线段交。A、。8于点E、F.

(1)若MN=20cm,求的周长.

(2)若乙408=35°,求NEPF的度数.

【分析】(1)根据轴对称的性质得出ME=PE,NF=PF,再由MN=20c»?即可得出结论；

(2)要求/EP尸的度数，要在尸中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与NA/PN的

关系，利用已知/408=35°可求出/EPF,答案可得

【详解】解：(1)•点M、N分别是点P关于。A、的对称