北师版八下数学第一章第三节线段的垂直平分线同步练习

专训十四、线段的垂直平分线应用

1.（2022・武汉六中上智中学月考）如图，己知」48c的三条内角平分线相交于点/,三边的

垂直平分线相交于点0.若口50。=148。，则口以。：（）

A.120°B.125°C.127°D.132°

2.（2022•湖南永定•期中）如图，A5C中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm,AABD

的周长为16cm，则一A6c的周长为（）

B.24cm

C.26cmD.36cm

3.（2022•海南海口•初三三模）如图，在2kABC中，DE垂直平分AC,若BC=6,AD=4,

则BD等于（）

2C.2.5D.3

4.（2022•长沙市望城区郡维学校初二月考）如图，A5C中，A3=io,AC=4,点O

在边BC上,OD垂直平分BC,AD平分/BAC,过点D作DMJ_A8于点M,则BM=（）

A.3B.4C.5D.6

5.（2022•黑龙江南岗•期中）如图，DE是AB的垂直平分线，D是垂足，DE交BC于E,若

BC=32,AC=18,则aAEC的周长为

6.（2022•山西月考）如图，在AABC中，AB的垂直平分线交AC于点D,如果AC=5cm,

BC=4cm,那么zsDBC的周长为cm.

7.（2022•二连浩特市第二中学期中）如图，Z\ABC中，AC=25cm,DE垂直平分AB,垂足

为E,交AC于D,若ADBC的周长是35cm,则BC边的长为.

8.（2022•厦门市瑞景中学期中）如图，在④ABC中，AB^AC,ABAC=55°,ABAC

的平分线与A3的垂直平分线交于点。，将NC沿用（E在上，尸在AC上）折叠,

点C与点。恰好重合，则ZOEC为度.

9.（2022•厦门市瑞景中学期中）如图，在...ABC中，AB=AC,3C=4,面积是10,AC

的垂直平分线EF分别交AC,A3边于E,尸点，若点。为边的中点，点M为线段

EF上一动点，则7CDM周长的最小值为.

10.（2022•常州市武进区星辰实验学校月考）如图，在ABC中，AB、AC边的垂直平分

线分别交BC边于点M、N.若BMZ+CN'MM,贝ijNBAC=°,

11.（2022•广西民族大学附属中学初二月考）如图，AABC中，AB=11,AC=5,UBAC的

平分线与边BC的垂直平分线相交于点D,过点D分别作DE1AB,DFnAC,垂足分别为E、

F,则BE的长为.

ER

专训十四、线段的垂直平分线应用

1.(2022•武汉六中上智中学月考)如图，已知EIN5C的三条内角平分线相交于点/,三边

的垂直平分线相交于点。若口5。。=148。，贝！()

A.1200B.1250C.127°D.132°

【答案】C

【解析】

【分析】

连接OA,根据点。为各边中垂线的交点，可得NBAC=74°,再根据/8C的三条内角平

分线相交于点I，即可求解.

:点O为各边中垂线的交点

/.OB=OC=OA

AZCBO=ZBCO,ZBAO=ZABO,ZCAO=ZACO

又・.・NBOC=148°

・•・ZOBC=ZOCB=16°

ZBAC=ZBAO+ZCAO

=g(NBAO+—ABO+NCAO+NACO)

=g(180。—NO5C—N0C6)

=74°

・・・Q48C的三条内角平分线相交于点I

/BIC=180°-(/IBC+NICB)

=180°-1(180°-ZBAC)

=127°

故选：C.

【点睛】

此题主要考查线段的垂直平分线性质和角平分线性质，熟练进行逻辑推理是解题关键.

2.（2022•湖南永定•期中）如图，ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm,△AB。

的周长为16cm,则..A6C的周长为（）

A.20cmB.24cm

C.26cmD.36cm

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据垂直平分线的定义与性质可得AE=CE,AD=CD,再根据三角形的周长公式即可

得.

【详解】

。“是AC的垂直平分线，R.AE=4cm,

AE=CE=4cm,AD=CD,

：.AC=AE+CE-8cm，

ABD的周长为16CT?Z,

:.AB+BD+AD-16cm,

/.AB+BD+CD-16cm,即AB+BC=16cm,

ABC的周长为AB+BC+AC=16+8=24（cw）,

故选：B.

【点睛】

本题考查了垂直平分线的定义与性质、三角形的周长公式等知识点，熟练掌握垂直平分线的

定义与性质是解题关键.

3.（2022•海南海口•初三三模）如图，在AABC中，DE垂直平分AC,若BC=6,AD=4,

则BD等于（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DA=4,计算即可.

【详解】

解：EIDE垂直平分AC,

口DC=DA=4,

□BD=BC-DC=2,

故选B.

【点睛】

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的

距离相等是解题的关键.

4.（2022•长沙市望城区郡维学校初二月考）如图，A5c中，AB=10,AC=4,点O

在边BC上，OD垂直平分BC,AD平分NBAC,过点D作。M，AB于点M,则=

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

如图(见解析)，先根据角平分线的性质可得DW=OV,再根据直角三角形全等的判定定

理与性质可得AM=4V,然后根据垂直平分线的性质可得比＞=CD，又根据直角三角形

全等的判定定理与性质可得3M=CN，陵BM=CN=x,从而可得40=10—x,

AN=4+x,最后根据AM=AN建立等式求解即可得.

【详解】

如图，过点D作。NJ.AC，交AC延长线于点N,连接BD、CD,

DM上AB，AD平分44C,

/.DM=DN，

AD=AD

在用△AO河和RfZvlIW中，…，

DM=DN

Rt_ADMsRt_ADN(HL),

：.AM^AN,

OD垂直平分BC,

BD-CD，

BD=CD

在Rt^BDM和Rt_CDN中，〈八〜，，

DM=DN

Rt_BDM=Rt_CDN(HL),

：.BM=CN,

设BM=CN=x,

AB=10,AC=4,

.-.AM=AB-BM=10-x,AN=AC+CN=4+x,

又AM=4V,

.1.10—x=4+x,

解得x=3,

即3M=3,

故选：A.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识

点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.

5.（2022•黑龙江南岗•期中）如图，DE是AB的垂直平分线，D是垂足，DE交BC于E,若

BC=32,AC=18,则AAEC的周长为.

【答案】50

【解析】

【分析】

利用垂直平分线的性质计算即可;

【详解】

DE是AB的垂直平分线，

/.AE=BE，

,：BC=32,

EC+AE=32,

...△AEC的周长=+原+熊=18+32=50.

故答案是50.

【点睛】

本题主要考查了垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键.

6.（2022•山西月考）如图，在AABC中，AB的垂直平分线交AC于点D,如果AC=5cm,

BC=4cm,那么ADBC的周长为cm.

【答案】9.

【解析】

【分析】

运用垂直平分线的性质，得AD=DB,可得ADBC周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=AC+BC,

问题可解.

【详

解：：AB的垂直平分线交AC于点D

；.D是AB的垂直平分线上一点

Z.AD=BD

^BDC=BD+CD+BC^AD+CD+BC=AC+BC（把AC=5cm,BC=4cm代入）

=5cm+4cm

=9cm.

故答案为:9.

【点睛】

本题考查垂直平分线的性质.运用垂直平分线的性质，把三角形的周长转化为两条已知

线段的和是解决此题的关键.

7.（2022•二连浩特市第二中学期中）如图，△ABC中，AC=25cm,DE垂直平分AB,垂

足为E,交AC于D,若△DBC的周长是35cm,则BC边的长为.

【答案】10cm

【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线的性质，将回DBC的周长转化为AC+BC,则问题可解•

【详解】

解：由DE垂直平分AB

0BD=AD

00DBC的周长是35cm

0BD+DC+BC=35

团AD+DC+BC=35

即AC+BC=35

团AC=25cm

0BC=lOcm

故答案为：10cm.

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质，解答关键是将三角形的周长转化为两边之和.

8.（2022•厦门市瑞景中学期中）如图，在.A5c中，AB=AC,ZBAC=55°,ZBAC

的平分线与AB的垂直平分线交于点。，将NC沿EE（£在3c上，尸在AC上）折叠，

点C与点。恰好重合，则/OEC为_______度.

B

E

【答案】no

【解析】

【分析】

连接OB、OC,根据角平分线的定义求出BAO,根据等腰三角形两底角相等求出ABC,

再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB,根据等边对等角可得

□ABO=BAO,再求出!OBC,然后判断出点O是DABC的外心，根据三角形外心的性质

可得OB=OC,再根据等边对等角求出nOCB=C)OBC,根据翻折的性质可得OE=CE,然后

根据等边对等角求出COE,再利用三角形的内角和定理列式计算即可

【详解】

如图，连接OB、OC,

BAC=55°,AO为BAC的平分线，

BAO=—BAC=—X55°=27.5°,

22

XDAB=AC,

ABC=—(180°-BAC)=—X(18O°-55°)=62.5°,

22

DO是AB的垂直平分线，

OA=OB,

□□ABO=BAO=27.5°,

□□OBC=IABC-ABO=62.5°-27.5O=35°,

AO为BAC的平分线，AB=AC,

OB=OC,

I点。在BC的垂直平分线上，

又一DO是AB的垂直平分线，

□点0是［ABC的外心，

□□OCB=nOBC=35°,

将DC沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点。恰好重合，

OE=CE,

□□COE=OCB=35。，

在JOCE中，OEC=180°-EiCOE-OCB=180°-35°-35°=l10°.

故答案为：110。.

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的

性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关

键.

9.（2022•厦门市瑞景中学期中）如图，在一A6C中，AB=AC,3c=4,面积是10,AC

的垂直平分线所分别交AC,AB边于E,F点,若点。为BC边的中点，点M为线段

EF上一动点，则NCDM周长的最小值为.

【答案】7

【解析】

【分析】

连接AD,AM,由于ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADBC,再根据三

角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF

的对称点为点A,故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论.

【详解】

连接AD,AM.

口♦ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

□ADOBC,

SAABC=—BC*AD=—x4xAD=10,

22

解得AD=5,

EF是线段AC的垂直平分线，

点C关于直线EF的对称点为点A,

□MA=MC,

□ADWAM+MD,

□AD的长为CM+MD的最小值，

CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+—BC=5+—x4=5+2=7.

22

故答案为口7.

【点睛】

本题考查的是垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

10.(2022•常州市武进区星辰实验学校月考)如图，在ABC中，AB、AC边的垂直平分

线分别交BC边于点M、N.若BM2+CN2=MN2,贝！|NBAC=1

【答案】135°

【解析】

【分析】

连接AM,AN,由勾股定理的逆定理证出匚AMN是直角三角形，ZMAN=900,证出

ZAMN=24B,ZANM=2NC,得出N4a「+AANM=2HB+Z<7)=90°,证

出N8+NC=45°,由三角形内角和定理可得出答案;

【详解】

如图，连接AM,AN,

AB,AC边的垂直平分线分别交BC边与点M,N,

ZBM=AM,CN=AN,

NB=/BAM，4c=4CAN、

BM2+CN2=MN2，

AM2+AN2=MN"

AMN是直角三角形，NM4N=90°，

AAMN=Z27+/BAM,AANM=NO+ACAN，

AZAMN^2ZB,ZANM=2NC，

AAMN+