人教版九年级上册数学圆专题讲义

1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做——，其固定的端点O叫做——，线段叫做.2．连接圆上任意两点的线段叫做，经过圆心的弦叫做.3．圆上任意两点间的部分叫做.例题讲解O基础题训练AB2．下列说法正确的是()A．直径是弦，弦是直径B．过圆心的线段是直径C．圆中最长的弦是直径D．直径只有一条3．下列说法：①半圆是弧；②弧是半圆；③圆中的弧分为优弧和劣弧．其中正确的个数有4．如图，点C在以AB为直径的半圆上，O为圆心，∠A＝20°,则∠BOC等于()度数()6．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°,∠C＝70°,则∠BOD的度数()AAODOABOABCDCCBADODABACAOOB点在同一圆上．DC综合题训练NM2．平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦.例题讲解【例】如图，AB是两同心圆中大圆的弦，交不圆于C、D两点，求证：AC＝BD.OO基础题训练1．下列说法正确的是().A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线必过圆心C．垂直于弦的直径平分弦D．平分弦的直径平分弦所对的弧2．如图，已知直径MN⊥弦AB，垂足为C，下列结论：①AC＝BC；②EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(⌒),AN)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),BN)；③EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),AM)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(⌒),BM)；④AM＝BM．其中正确的个数为()5．已知⊙O的半径为4，则垂直平分这条半径的弦长是()AMCNBAABCDADEDOBAOBONAMB综合题训练12．小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：CCNODMABADFF2．平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦.例题讲解=OF.O基础题训练AEFB .3．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为()宽AB＝160cm，则油的最大深度为()OAB的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm，则此小孔的直径为.______________=6.AO=8，求ABODCAPCBOD处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为()NM上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°,则四边形MANB的面积的最大值MAONlB综合题训练CADOB（2）现有一艘宽3m、船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，问此货船能2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的.例题讲解AOCDB基础题训练1．下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②相等的弧所对的弦相等；③相等的弦所对的弧相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的个数有()2．如图，在⊙O中EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),AB)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),AC)，∠A＝30°,则∠C=.4．如图，弦AE∥直径CD，连AO，∠AOC＝40°,则DE所对的圆心角的度数为()EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),AC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),BC)CACABDEOAOAAEADBEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),AC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),BC)BABCEACODBGE=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(⌒),EF).GAEDEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),EC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),BE)CADO=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(⌒),EF)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(⌒),BE=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(⌒),EF)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(⌒),BE)；FFEABAABEOFGD综合题训练EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),CD)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),FB)1．顶点在上，并且两边都与圆角叫做圆周角.2．一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半.3．圆弧或等弧，所对的相等.例题讲解EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),C)基础题训练EEABD则∠AOC的大小是()OOACAC）（AAO5．如图，∠A＝25°,∠E＝30°,则∠BOD的度数为.E6．如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=.EAABODADADABDEC）（EEOEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),BC)AFOEBOOABEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),BC)AAOBP于点D.（2如图②,若∠CAB＝60°,求BD的长.CACDDOO综合题训练EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(⌒),AC)（3）探究：EM与BN之间的数量关系和位置关系.yDENFAA预习归纳OD._____________E2.圆内接四边形的.求证：∠BAE=∠CAD.基础题训练=()2.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝90°,则∠BCD＝.CABAABDODADDBDBD等于()4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°,那么∠BOD的度数为()5.如图，AB是半圆O的直径，D为AC的中点，∠B＝40°,则∠C的度数为()6.如图，在⊙O中，∠AOC＝100°,则∠ABC的度数为()DACOBOOBAAOBC8.如图，△ABC中，∠A＝60°,以BC为直径作⊙O分别交AB、AC于D、E.ADBOE连接AE，∠E＝36°,则∠ADC的度数是()的圆周角是——.综合题训练B（2）①求式子的值；②求式子的值.BAAEBDAEBEAC专题利用转化的思想求角度（方法归纳）利用圆的有关性质转化角度是求角度常用的方法.1.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OBC＝70°,则∠A的度数是——.则∠C＝——.3.如图，AB为⊙O的直径，C为AB的中点，D为半圆ABBCAOCEODBACCD4.如图，AB为⊙O的直径，D为AC的中点，∠ABC＝40°,则∠C＝——.CCCDAABAABBOAC6.如图，AB为⊙O的直径，C、D在⊙O上，∠AOD＝AAEOOCBCCOOAB专题利用垂径定理求长度（方法归纳）利用垂直于弦的直径得到直角，借助勾股定理沟通弦与半径之间的关系.=30°,⊙O的半径为4，则弦AB的长为.CCDEOOAODEB6.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB＝.EEABBABBDOAB9.如图，工程上常用钢珠测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB＝.CNPAOABMPAOABMD9（方法归纳）圆中两垂直弦常结合自己构造直角三角形解题AACODODBBAB（4）若点M为AC的中点，求证：ME⊥BD；CMODODBBAOND12（方法归纳）由弧的中点产生与弦垂直的半径，再用勾股定理构建方程O⑴求证：AF＝CF；连AD.EECBA长.CEAOCNBMD（方法归纳）内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形.圆与外角平分线问题往往与线段的差有关.ACOBDQ2.如图，过O、M(1,1)的动圆⊙O1交y轴、x轴于A、B，求OA+OB的值.AAOC4.如图，A(4,0)，B(0,4)，⊙O'经过A、B、O三点，点P为OA上一动点(异于求的值.A5.已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，(1)如图1，求证：AE=BE；OECDAOOECAxP(2)如图2，若CE＝4，求四边形ACBE的面积.上今，点P在圆内今.的中点.AAD04．过一点可以作个圆，过两点可以作圆，过三点可以作个圆.置关系是.08．对于三角形的外心，下列说法错误的是().A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它是三角形外接圆的圆心C．它是三角形三条边垂直平分线的交点D．它一定在三角形的外部直径作⊙D.(3)当∠A的度数在什么范围时，点A在⊙D内.10．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中().A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于至少有一点在⊙A外，求⊙A的半径r的取值范围.CDA、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论.度数.1．设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线l和⊙⊙O相切今dr，直线l和⊙O相离今dr.基础题训练2.若⊙O的半径为6，如果一条直线和圆相切，P为直围是().位置关系是长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是().为圆心，2．4为半径作⊙C，则⊙C与斜边AB位置关系是.7.∠ACB＝60°,点O在∠ACB的平分线上，AC的位置关系是.BC的中点，以D为圆心，2．5为半径作圆，则⊙D与直线AC的位置关系是.根，则直线l与⊙O相切时，m的值为共点的圆，则R的取值范围是.E两点，设AD＝x.综合题训练⑴如图1，以CD为直径作⊙O，求证：AB与⊙O相切；1．过半径的，并且垂直于是圆的切线.2．圆的切线垂直于过切点的半径.求证：AC与⊙D相切.线.25°,则∠D＝度.则∠ADC=.40°,∠E=.AEDDOCB⑵如果∠ACB＝75°,⊙O的半径为2，求BD的长.求证：DE是⊙O的切线.PDBAOCOBDAC已知点A(0,8),求圆心M的坐标.BCACAEAMFOxCPOB专题切线证明的常用方法【方法归纳】连半径证垂直或作垂直证半径是证明圆的切线常用的方法.一、有切点，连半径，证垂直(一)利用角度转换证垂直求证：AD是⊙O的切线.（二）利用全等证垂直求证：CD是⊙O的切线.（三）利用勾股定理逆定理证垂直二、无切点，作垂直，证半径直径作⊙O，求证：CD是⊙O的切线.求证：AC与⊙D相切.1．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长，这一 .2．与三角形圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形的交点，叫三角形的内心.则∠BOC=.4．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F,若∠C＝80°,则∠EDF=.ECFOABDAADFOCBECBAPBO8．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠P＝50°,点C是⊙O上异于AACB=.ABCAAOPCBAOBP9．如图，△ABC中，∠C＝90°,⊙I为△ABOOAC半径.DDOAEOC为半径作圆与AB相切于点D.OOCHABOB与EF相交于点M，OC与FG相交于点N，连接MAAMONDGGFCDFAOCEBABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D，交直线AC于E、(1)试判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明.(2)若∠BAC为钝角，其余条件不变，则∠BAC与∠CBE之间又有何关系？试画图并证AAEOEOBDC2.已知AB为⊙O的直径，弦EF所在的直线与直线AB交于点M.(1)如图1，若M在⊙O内，写出∠AEF与∠BAF的数量关系，(2)如图1，若M在⊙O外，写出∠AEF与∠BAF的数量关系，并证明.BEMOOAF⌒=PE＋PB，请证明你的结论；AE、PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论.ACEOPBDAPPOB4.如图，直线AB经过⊙O的圆心，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=的度数.BOCA【方法归纳】抓住三角形内心，外心的性质进行证明与计算C长.CAMOCABOBO求OI的长.BABOOI接圆相交于点D，AD、BC交于F.CAAMCOBD12AAAGEECFCCFCDD专题与切线有关的角度计算D【方法归纳】连过切点的半径是解与切线有关的问题的关键.一、一条切线APB=.APB交AB于点D，则∠ADP=.AACDOPOOCPBADD等于若四边形ABCD为平行四边形，则∠A的度数为.二、两条切线.PPAACABCOA.8．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°,则∠BOC=.AMB=PBCOABACOCOCDDBO【方法归纳】利用切线构造直角三角形是解决与切线有关的计算的常用方法.B一、连过切线的半径构造直角三角形BAMOPAA二、通过直径对直角构造直角三角形AOOA三、作垂线构造直角三角形CCAOO【方法归纳】构造圆中的基本图形来实现角度的转化是证明角度问题常用的方法.12AOCE=∠BFD.EE二、构造直角三角形斜边上的高的基本图形转化角求证：∠AEC=∠D.三、构造切线长定理的基本图形转化角交⊙O于E，求证：∠B＝2∠BDE.BADABABOCDA四、利用直径构造直角三角形转化角OEADOBC【方法归纳】综合运用圆的有关性质是证线段关系的关键.AD为半径的⊙D与直线BC相切于点E，求证：BC＝CD.BPAOEEDABDC，DB交AC于F，求证：BC＝CF.DAFCBC二、证线段和差点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F．求证：AF＋CF＝AB.AOCBCFF13CBECBEDOFOGD【方法归纳】在圆中证平行或垂直，实质上还是通过基本图形转化角度来实现.一、利用基本图形证平行于D，求证：AD∥BC.BEAADOCCBABODCBDBDO二、利用基本图形证垂直⊙O的切线交AC于E，求证：DE⊥AC.CBDBDEAO中点，AM平分∠BAC交BC于M，求证：AM⊥CE.EB6．如图，⊙O中，弦CD垂直于直径AB，E为AB=EF，求证：FB⊥DE.EDFOACCA专题切线与垂径定理【方法归纳】连过切点的半径，作垂直于弦的直径，得到直角，通分配勾股构建方程.5OADBAOB的切线，且PH⊥OH.PMHMODEDCPC专题切线与勾股定理【方法归纳】连过切点的半径，通过勾股定理构建方程.E为切点，连接CE交AB于点F.BDABDOE2．如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径作圆，过A点作圆的切线，交DC切点为F.DADFECOBCOCEBABOAAECDOB专题切线与等腰三角形【方法归纳】抓住等腰三角形的性质，结合圆的切线进行证明与计算.交于点E，过D作DF⊥AC于点F.上一动点，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交直线AC于点E.DK3专题圆中的动态问题(二)(含切线)I.试证明.二、点在线段上→点在线段的延长线上(2)若D为MB延长线上一点，其余条件不变论.三、直径→弦1．把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的——，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的.例题讲解【例】如图，正△ABC外接圆的半径为R，求正△ABC的边长，边心距，周长和面积.AAOBC基础题训练1．下列正多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是().A．正三角形B．正方形C．正2．下列多边形中，是正多边形的是().3．下列正多边形中，对称轴条数是6条的为().4．正五边形的中心角是度.5．正多边形的中心角等于其内角的是正边形.6．正五边形的ABCDE的对角线AC、BD相交于点P，则∠APB的度数是.7．一个正多边形的中心角为90°,则它的边数为.329．(2014呼和浩特)已知⊙O的面积为2π,则其内接正三角形的面积22AEOPB11．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长比为.中正确的结论是().A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④DCBPAEODCDODADCBC综合训练题⑶试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).MBAONCAOMBDANCEOMNBDACFMBEONCD1．n°的圆心角对对的弧长为，所对的扇形两边为.例题讲解则图中阴影部分面积为()基础题基础2．钟面上的分针长6cm．经过25分钟，分