湖南省永州市禾亭镇琵琶中学高二数学理测试题含解析

湖南省永州市禾亭镇琵琶中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知原命题：“若，则关于的方程有实根，”下列结论中正确的是（

）A．原命题和逆否命题都是假命题

B．原命题和逆否命题都是真命题

C．原命题是真命题，逆否命题是假命题

D．原命题是假命题，逆否命题是真命题参考答案：B2.抛物线的焦点到准线的距离是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B

解析：，而焦点到准线的距离是3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半球与半圆柱的组合体．【解答】解：由三视图可知几何体半球与半圆柱的组合体，半球的半径为1，半圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=+=．故选B．4.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图），则旗杆的高度为（）A．10m B．30m C．10m D．10m参考答案：B【考点】解三角形的实际应用．【分析】作图，分别求得∠ABC，∠ACB和∠BAC，然后利用正弦定理求得AC，最后在直角三角形ACD中求得AD．【解答】解：如图，依题意知∠ABC=30°+15°=45°，∠ACB=180°﹣60°﹣15°=105°，∴∠BAC=180°﹣45°﹣105°=30°，由正弦定理知=，∴AC=?sin∠ABC=×=20（m），在Rt△ACD中，AD=?AC=×20=30（m）即旗杆的高度为30m．故选：B．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．5.若的展开式中所有二项式系数的之和为32，则展开式中的常数项是（

）A.－270 B.－90 C.270 D.90－参考答案：B【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：，由的展开式的通项为，令得，即可求得展开式中的常数项．【详解】解：由的展开式中所有二项式系数的之和为32，得，解得，由的展开式的通项为，令得，即该展开式中的常数项是，故选：B．【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属于基础题．6.若复数为纯虚数，则实数的值为（

）

A．-1

B．0

C．1

D．-1或1

参考答案：A略7.已知函数f（x）=，若f（x）+5≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，2）参考答案：A【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】要找m的取值使f（x）+5≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的最小值点，得到函数f（x）的最小值，即可求出m的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）=x3﹣2x2+3m，所以f′（x）=x2﹣4x．令f′（x）=0得x=0或x=4，经检验知x=4是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（4）=3m﹣．不等式f（x）+5≥0恒成立，即3m﹣+5≥0恒成立，解得m≥．故选：A．8.若，则（

）A.1 B.2 C.4 D.6参考答案：C分析：由导函数定义，，即可求出结果.详解：∵f′（x0）=2，则===2f′（x0）=4．故选C．点睛：本题考查了导函数的概念，考查了转化的思想方法，考查了计算能力，属于中档题.9.设函数，则(a≠b)的值为A.a

B.b

C.a，b较小的数

D.a，b中较大的数参考答案：D10.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A.144 B.120 C.72 D.24参考答案：D试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种考点：排列、组合及简单计数问题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2﹣2x﹣6=0的两根，则a4a7=

．参考答案：﹣2【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据韦达定理可求得a1a10的值，进而根据等比中项的性质可知a4a7=a1a10求得答案．【解答】解：∵a1，a10是方程3x2﹣2x﹣6=0的两根，∴a1a10=﹣2∵数列{an}为等比数列∴a4a7=a1a10=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题主要考查了等比数列的性质．考查了学生对等比中项性质的灵活运用．12.已知关于面的对称点为，C（1，-2，-1），则__

参考答案：略13.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为____.参考答案：试题分析：总的数对有，满足条件的数对有3个，故概率为考点：等可能事件的概率．点评：本题考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式14.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是______参考答案：54设圆台的上、下底面半径分别为r，R，截去的圆锥与原圆锥的高分别为h，H，则＝，又πR2＝9·πr2，∴R＝3r，∴H＝3h.∴πR2·H－πr2h＝52.

即πR2·H－π·R2·H＝52，∴πR2H＝54.15.用辗转相除法可求得的最大公约数为

参考答案：5716.一个矩形的周长为l，面积为S，给出：①（4，1）②（8，6）③（10，8）④（3，）其中可作为（l，S）取得的实数对的序号是

．参考答案：①④考点：进行简单的演绎推理．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式，确定周长l，面积S之间的关系，代入验证可得结论．解答： 解：设矩形的长、宽分别为a、b，则a+b=，S=ab∵a+b≥2∴≥2∴l2≥16S∵四组实数对：①（4，1）②（8，6）③（10，8）④（3，）∴代入验证，可知可作为（S，l）取得的实数对的序号是①④故答案为：①④点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．17.等比数列的前项和，若，为递增数列，则公比的取值范围

．参考答案：时，有，恒成立，若，，即成立，若只要，若，需要恒成立，当时，恒成立，当时，也恒成立，当时，若为偶数时，也不可能恒成立，所以的取值范围为

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求证:.参考答案：（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.【分析】(1)先对求导，通过导函数与0的大小比较即可得到单调区间.(2),从而利用（1）中相关结论求出极值点证明不等式.【详解】（1），．，函数在，上单调递增，在上单调递减．（2）证明：．由（1）知在，上单调递增，在上单调递减，且时，，且时，，在时取得最小值，即，故.【点睛】本题主要考查利用导函数求解函数增减区间，利用导函数证明不等式，意在考查学生的分析能力，转化能力及逻辑推理能力，难度中等.19.新高考3+3最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关决定从某学校高一年级的650名学生中随机抽取男生、女生各25人进行模拟选科经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人（1）请完成下面的2×2列联表；

选择全理不选择全理合计男生

5

女生

合计

（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由．附：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：（1）见解析（2）有99.5%的把握认为选择全理与性别有关【分析】（1）根据男、女生人数以及选择全理的人数比不选全理的人数多10人填写表格；（2）计算的值，然后与表格所给数据作比对，从而得出有多大把握认为选择全理与性别有关.【详解】（1）依题意可得列联表：

选择全理不选择全理合计男生20525女生101525合计302050

（2），∴有99.5%的把握认为选择全理与性别有关．【点睛】本题考查独立性检验，难度较易.计算出的值后，要找到表格中最大的且比小的数值，从而计算出相应百分比的把握.20.如图，已知椭圆（a＞b＞0），A（2，0）是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且=0，|=2||．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P、Q为椭圆上异于A，B且不重合的两点，且∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，是否存在实数λ，使得=λ，若存在，请求出λ的最大值，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出△AOC是等腰直角三角形，C（1，1），由点C在椭圆上，得，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）对于椭圆上两点P，Q，由∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，知PC与CQ所在直线关于x=1对称，kPC=k，则kCQ=﹣k，PC的直线方程为y=k（x﹣1）+1，QC的直线方程为y=﹣k（x﹣1）+1，由此求出PQ∥AB，从而得到存在实数λ，使得=λ，求出||的最大值，即可得出结论．【解答】解：（I）∵=0，∴∠ACB=90°，又|=2||，即||=2||，∴△AOC是等腰直角三角形

…∵A（2，0），∴C（1，1），而点C在椭圆上，∴∴b2=，∴所求椭圆方程为；

…（II）对于椭圆上两点P，Q，∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，∴PC与CQ所在直线关于x=1对称，kPC=k，则kCQ=﹣k，…∵C（1，1），∴PC的直线方程为y=k（x﹣1）+1，①QC的直线方程为y=﹣k（x﹣1）+1，②将①代入得（1+3k2）x2﹣6k（k﹣1）x+3k2﹣6k﹣1=0，③∵C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程③的一个根，∴xP=…以﹣k替换k，得到xQ=．∴kPQ==∵∠ACB=90°，A（2，0），C（1，1），弦BC过椭圆的中心O，∴A（2，0），B（﹣1，﹣1），∴kAB=，∴kPQ=kAB，∴PQ∥AB，∴存在实数λ，使得=λ

…||==≤当时即k=±时取等号，又||=，λmax==