高数课件第三章第七节曲率

第七节

曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径四、小结 思考题一、弧微分MTRM0x0Mxx

+

Dx设函数f

(x)在区间(a,b)内具有连续导数.基点:M0

(x0

,y0

),M

(x,y)为任意一点,xyo【规定】(1)曲线的正向与x

增大的方向一致;(2)

M0

M

=s,当M

0

M的方向与曲线正向一致时,s取正号,相反时,s取负号.s

=

s(

x).单调增函数如图，以下求s(的x)导数或微分设M

(x

+Dx,y

+Dy),MMTRM00xxx

+

DxxyoDs

=

M⌒M=

Dx

Dx

Ds

2

MM

¢

=

M⌒M

¢2

M⌒M

¢22(Dx)MM

¢2(Dx)2(Dx)2

+

(Dy)2

MM

¢=

M⌒M

¢2)2

][1

+

(DxDy

MM

¢=

M⌒M

¢2dxds

=

lim

Ds

=

–

1

+

y¢2Dxfi

0

Dx弧微分公式又可写为

ds

=

(dx)2

+

(dy)2要求熟记弧微分公式定积分应用中用它求曲线的弧长；曲线积分中用来求对弧长的曲线积分.RMxx

+

DxxyoQdxdyds的长.【几何意义】ds是以

dx、dy

为直角边的直角三角形的斜边MQ

=

ds

s

=s(x)为单调增函数,故

ds

=

1

+

y¢2

dx.

弧微分公式二、曲率及其计算公式1、【曲率的定义】曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．M3Da

222DSDS1M1MM1DSDS2NNDa弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1DaM【结论】弯曲程度与切线转角成正比；与曲线弧段的长成反比.Ds弧段MM

¢的平均曲率为

K

=

Da

.S)

aM

.DS

Daa

+

Da.MCM0yxo设曲线C是光滑的，M0

是基点.MM

=

Ds

,M

fi

M

切线转角为Da

.【定义】Dsfi

0

DsK

=

lim

Da曲线C在点M处的曲率Dsfi

0

Dsds

ds在lim

Da

=

da

存在的条件下,

K

=

da

.定义公式【注意】两个特例直线的曲率处处为零;（直线不弯曲）圆上各点处的曲率都等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.（自己推导）2、【曲率的计算公式】设y

=f

(x)二阶可导,

tana

=

y

,dx,1

+

y¢2y有a

=

arctan

y

,

da

=.y3(1

+

y¢2

)2\

k

=ds

=

1

+

y¢2

dx.曲率的计算公式：要求熟记二阶可导,设

x

=j

(t

),

y

=y

(t

),3[j

¢2

(t

)

+y

¢2

(t

)]2\

k

=

j

(t

)y

(t

)

-

j

(t

)y

(t

)

.

dy

=

y

(t

)

,dx

j

¢(t

).j

¢3

(t

)d

2

y

j

(t

)y

(t

)

-

j

(t

)y

(t

)dx2=此公式不要求记住，但要求会推导.【例1】抛物线y

=ax2

+bx

+c

上哪一点的曲率最大?【解】y

=

2ax

+

b,

y

=

2a,[1

+

(2ax

+

b)2

]22a\

k

=

3

.显然,

当x

=

-

b

时,

k最大.)为抛物线的顶点,2ab

b2

-

4ac4a又(-2a

,-\抛物线在顶点处的曲率最大.点击图片任意处播放\暂停到1

(R为圆弧轨道R的半径).弯道之间接入一段缓冲段(如图),使曲率连续地由零过渡【例2】铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平稳，往往在直道和.1106RlRRA

的曲率近似为(l

<<1)时，在终端R为零,并且当

l

很小缓冲段OA，其中l

为OA

的长度，验证缓冲段OA

在始端O

的曲率通常用三次抛物线

y

=

x3，x

˛

[0,

x

]．作为xyRA(

x0

,

y0

)o

C(

x0

,0)lBxyoRA(

x0

,

y0

)C(

x0

,0)【验证】

如图x的负半轴表示直道，OA是缓冲段,AB是圆弧轨道.在缓冲段上,2Rl1y¢=x2

,

y¢=

1

x.Rl=0,故缓冲始点的曲率k0

=0.在x

=

0处,

y

=

0,

y实际要求l

»

x0

,lB012Rl=

x2»y¢x=

x0有l

22Rl1l

,2R=0Rl=

1

xy¢x=

x0RlR»

1

l

=

1

,故在终端A的曲率为x=

x0Ay3(1

+

y¢2

)2k

=3)24R2l

2(1

+1R»l

<<

1,R1得kA

»R

.l

2略去二次项

,4R2xyoRA(

x0

,

y0

)C(

x0

,0)lBk作圆(如图),称此圆为曲线在点M

处的曲率圆.=1

=r.以D

为圆心,r

为半径【定义】设曲线y

=f

(x)在点

M

(x,y)处的曲率为k(k„0).在点M

处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,使DM三、曲率圆与曲率半径y

=

f

(

x)MD

1r

=

kD

---曲率中心,r

---曲率半径.xyo在M处曲率圆与曲线：同切线、同曲率、同凹向曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.rk即r

=1

,k

=1

.【注意】曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).y

相同

k

相同y

相同(单位为米)俯冲飞行,在原点O

处速度为v=400米/秒,飞行员体重70千克.求俯冲到原点时,飞行员对座椅的压力.x2飞机沿抛物线y

=4000【例3】xyoQP【解】

如图,受力分析F

=

Q

-

P,.mv

2r视飞行员在点o作匀速圆周运动,\F

=O点处抛物线轨道的曲率半径2000

x=0x=0=y¢x=

0,.20001x=0=y¢.20001x=

x0得曲率为

k

=曲率半径为r

=2000

米.200070

·

4002\

F

==5600(牛)»571.4(千克),\Q

»70(千克力)+571.4(千克力),=641.5(千克力).即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.【例4】设工件内表面的截线为抛物线，y

=0.4

x2现要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适？xyoy

=

0.4

x21.25【分析】为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的部分磨去太多，砂轮半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值。抛物线在顶点处的曲率最大，从而在顶点曲率半径最小，故只需求出顶点处的曲率半径即可.【解】 （略）四、小结运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学.基本概念:

弧微分,曲率,曲率圆.曲线弯曲程度的描述——曲率;曲线弧的近似代替曲率圆(弧).【思考题】椭圆上哪些点处曲率最大？x