吉林省长春市光华学院附属中学高三数学理联考试卷含解析

吉林省长春市光华学院附属中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在的展开式中，的系数是

（）A．－55

B．45

C．－25

D．25参考答案：答案：A2.下列四个命题中的真命题为（

）A.，使得

B.，总有C.，，

D.，，参考答案：D略3.已知椭圆的一个焦点到相应准线的距离等于椭圆长半轴的长，则这个椭圆的离心率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D4.（09年宜昌一中10月月考文）关于的函数的极值点的个数有

（

）A．2个

B．1个

C．0个

D．由确定参考答案：C5.若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，则函数y=的大致图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】利用指数函数的性质求出a的范围，判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，可得a＞1，则函数是奇函数，可知B不正确；当x→0+，时，函数＜0，排除A，当x=a10时，函数=→0，排除D，故选：C．6.设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（

）A.2

B.-2

C.

D.－参考答案：D∵，又∵成等比数列，∴，解之得.7.对于三次函数（），定义：设是函数的导数，若方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数，则=（

）

（A）2010

（B）2011

（C）2012

（D）2013参考答案：A8.已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是A．9

B．10

C．11

D．12参考答案：B略9..角的终边与单位圆交于，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知，，，则（

）A．a＞b＞c B．b＞c＞a

C．c＞a＞b D．a＞c＞b参考答案：D由指数函数的性质可知：，，由对数函数的性质可知，据此可得：.本题选择D选项.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若是夹角为的两个单位向量，，则的夹角为

．参考答案：.

因为是夹角为的两个单位向量,,所以||=|2+|=,||=|-3+2|=,·=则cos<,>==,所以<,>=.12.若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是__________.参考答案：-90令，得，展开式常数项为13.若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是．参考答案：30°【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则：其底面积：S底面积=πR2，其侧面积：S侧面积=2πRl=πRl，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，∴l=2R，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有，cosθ==，∴θ=60°，母线与轴所成角的大小是：30°．故答案为：30°．14.在等比数列中，若，则

．参考答案：3略15.不等式组表示的平面区域的面积是___________.参考答案：不等式组表示的区域为三角形，由题意知，所以平面区域的面积。16.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有_________个．（用数字作答）参考答案：54略17.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】半径为2的半圆的弧长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是2π，利用弧长公式计算底面半径后利用勾股定理求圆锥的高即可求解圆锥的体积．【解答】解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的高为h==．所以圆锥的体积为：V=πr2h=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数(1)若在区间［1，+）上是增函数，求实数的取值范围(2）若是的极值点，求在［1，］上的最大值(3）在（2）的条件下，是否存在实数b,使得函数的图象与的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.参考答案：（1）

在是增函数，

在上恒有，即

在［1，+）上恒成立，

则必有且

(2）依题意，即令，得.则当经变化时，与变化情况如下表1(1,3)3(3,4)4

-0+

-6

-18

-12

在［1，4］上的最大值是.C．函数的图象与函数的图象恰有3个交点，即方程恰有3个不等实根.

有两个非零不等实根.

是其中一个根，且.存在满足条件的b的值，b的取值范围是且.19.为抗议日本“购买”钓鱼岛，某汽车4S店计划销售一种印有“钓鱼岛是中国的”车贴，已知车贴的进价为每盒10元，并且车贴的进货量由销售量决定.预计这种车贴以每盒20元的价格销售时该店可销售2000盒，经过市场调研发现：每盒车贴的价格在每盒20元的基础上每减少一元则销售增加400盒，而每增加一元则销售减少200盒，现设每盒车贴的销售价格为x元．（1）求销售这种车贴所获得的利润y（元）与每盒车贴的销售价格x的函数关系式；（2）当每盒车贴的销售价格x为多少元时，该店销售这种车贴所获得的利润y（元）最大，并求出最大值．20.（本小题满分13分）设的导数满足，其中常数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求函数的极值.参考答案：略20.(本小题满分12分)如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，.（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）设，求四棱锥的体积.参考答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）体积为3.在Rt△中，，，∴四棱锥的体积………12分21.（本小题满分14分）（文）已知函数f（x）＝x3－bx2＋2cx的导函数的图像关于直线x＝2对称.（1）求b的值;（2）若函数f（x）无极值，求c的取值范围;（3）若f（x）在x＝t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域.参考答案：（1）f′（x）＝3x2－2bx＋2c,∵函数f′（x）的图像关于直线x＝2对称,

∴－＝2,

即b＝6.（2）由（1）知,f（x）＝x3－6x2＋2cx,f′（x）＝3x2－12x＋2c＝3（x－2）2＋2c－12,当c≥6时,f′（x）≥0,此时函数f（x）无极值.（3）当c＜6时,则f′（x）＝0有两个互异实根x1,x2,不妨设x1＜x2,则x1＜2＜x2,当x＜x1时,f′（x）＞0,f（x）在区间（－∞,x1）内为增加的;当x1＜x＜x2时,f′（x）＜0,f（x）在区间（x1,x2）内为减少的;当x＞x2时,f′（x）＞0,f（x）在区间（x2,＋∞）内为增加的.所以f（x）在x＝x1处取极大值,在x＝x2处取极小值.因此,当且仅当c＜6时,函数f（x）在x＝x2处存在唯一极小值,所以t＝x2＞2,于是g（t）的定义域为（2,＋∞）,由f′（t）＝3t2－12t＋2c＝0得2c＝－3t2＋12t.于是g（t）＝f（t）＝t3－6t2＋（－3t2＋12t）t＝－2t3＋6t2,t∈（2,＋∞）,当t＞2时,g′（t）＝－6t2＋12t＝－6t（t－2）＜0,所以函数g（t）在区间（2,＋∞）内是减少的.故g（t）的值域为（－∞,8）.22.已知过点A（1，0）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于M，N两点．（I）求k的取值范围；（II）?=12，其中O为坐标原点，求|MN|．参考答案：【分析】（I）求出过A且与圆C相切的直线斜率，从而得出k的范围；（II）联立方程组消元，根据根与系数的关系和?=12列方程求出k，确定直线的方程，再计算弦长．【解答】解：（I）设过A（1，0）的直线与圆C相切，显然当直线无斜率时，直线x=1与圆C相切，当直线有斜率时，设切线方程为k0x﹣y﹣k0=0，圆C的半径r=1．则圆心C（2，3）到直线的距离为=1，解得k0=．∵过A且斜率为k的直线l与圆C有两个交点，∴k＞．（II）直线l的方程为y=k（x﹣1），代入圆C的方程得：（1+k2）x2﹣（2k2+6k+4）x+k2+