2021年福建省漳州市火田中学高二数学文联考试卷含解析

2021年福建省漳州市火田中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则A． B． C． D．参考答案：C略2.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】由离心率的值，可设，则得，可得的值，进而得到渐近线方程．【解答】解：∵，故可设，则得，∴渐近线方程为，故选C．3.函数y=x2﹣6x+10在区间（2，4）上是(

)A．减函数 B．增函数 C．先递减再递增 D．先递增再递减参考答案：C【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由于二次函数的单调性是以对称轴为分界线并与开口方向有关，但a=1＞0抛物线开口向上故只需判断对称轴与区间的关系即可判断出单调性．【解答】解：∵函数y=x2﹣6x+10∴对称轴为x=3∵3∈（2，4）并且a=1＞0抛物线开口向上∴函数y=x2﹣6x+10在区间（2，4）上线递减再递增故答案为C【点评】此题主要考查了利用二次函数的性质判断二次函数在区间上的单调性，属基础题较简单只要理解二次函数的单调性是以对称轴为分界线并与开口方向有关即可正确求解！4.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中）上存在点P，使线段PF1的垂直平分线经过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：C分析】由题意得，，设点，由中点公式可得线段的中点，可得线段的斜率与的斜率之积等于，可得，可得e的范围.【详解】解：由题意得，，设点，则由中点公式可得线段的中点，线段的斜率与的斜率之积等于，即，，，，，或舍去，．又椭圆的离心率

，故，故选：C．【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的相关问题，根据题意列出不等式是解题的关键.5.已知定义在R上的可导函数的导函数为，对任意实数x均有成立，且是奇函数，不等式的解集是（

）A.(1,+∞) B.(e,+∞) C.(－∞,1) D.(－∞,e)参考答案：A【分析】构造函数，利用导数和已知条件判断出在上递增，由此求解出不等式的解集.【详解】要求解的不等式等价于，令，，所以在上为增函数，又因为是奇函数，故，所以，所以所求不等式等价于，所以解集为，故选A.【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查导数的运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.6.设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】分别判断a，b，c与0,1的大小关系得到答案.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了根据函数单调性判断数值大小，01分界是一个常用的方法.7.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（）A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜ex∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．8.已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为（

）A．4

B．6

C．8

D．12参考答案：C设正四棱锥S?ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，则：，整理可得：，而正四棱锥的高为h=6+x，故正四棱锥体积为：当且仅当，即x=2时，等号成立，此时正四棱锥的高为6+2=8.本题选择C选项.

9.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A. B. C. D.参考答案：B解法一：由排列组合知识可知，所求概率；解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故.【考点定位】本题考查古典概型的概率运算，考查学生的基本运算能力.10.设f(x)＝，则的定义域为（

）A．

B．C．

D．(－4,－2)(2，4)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值一定比零(填“大”或“小”).

参考答案：大略12.已知,且,则的最小值是

▲

．参考答案：【分析】由基本不等式可得，设，，利用函数的单调性可得结果.【详解】因为,且，所以，设，则，，，即，，设，，在上递减，，即的最小值是，故答案为.

13.若虛数、是实系数一元二次方程的两个根，且，则______.参考答案：1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【详解】由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R且），又则a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）由根与系数关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1?z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1.【点睛】本题考查实系数一元二次方程在复数集的根的问题，考查了两个复数相等的充要条件，属于基础题．14.一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是______________cm2．参考答案：略15.展开式中的一次项系数为

▲．参考答案：55

16.过双曲线的右焦点F作直线与双曲线交于A、B两点，若则这样的直线有______条。参考答案：2略17.定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…xn，…，若，则x1+x2+…+x2n=．参考答案：6×（2n﹣1）【考点】数列与函数的综合；函数零点的判定定理．【分析】利用已知当x∈[1，2）时，；?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．可得当x∈[2，4）时的解析式，同理，当x∈[4，8）时，f（x）的解析式，分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3，依此类推：x3+x4=2×6，…，x2013+x2014=2×3×2n﹣1．利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵①当x∈[1，2）时，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．当x∈[2，4）时，∈[1，2），f（x）=2f（x）=2（﹣|﹣|）=1﹣|x﹣3|，x∈[4，8）时，∈[2，4），f（x）=2f（x）=2（1﹣|x﹣3|）=2﹣|x﹣6|，同理，则，F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有1个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3=6，依此类推：x3+x4=2×6=12，x5+x6=2×12=24…，x2n﹣1+x2n=2×3×2n﹣1．∴当时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=6×（1+2+22+…+2n﹣1）=6×=6×（2n﹣1），故答案为：6×（2n﹣1）．【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在长方体中，已知，求异面直线与所成角的余弦值..参考答案：连接，为异面直线与所成的角.连接，在△中，，

则略19.已知（x+）n的展开式中前三项的系数成等差数列，设（x+）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，求：（1）a0﹣a1+a2﹣a3+…+（﹣1）nan的值；（2）ai（i=0，1，2，…，n）的最大值．参考答案：【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质．【分析】（1）运用二项式展开式的通项，结合等差数列的中项性质求出n，再在等式两边同时取x=﹣1，即可求出所求和；（2）设第r+1项的系数最大，那么第r+1项的系数大于等于第r项的系数和第r+2项的系数，由此得出两个关于r的不等式，解出r，计算即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题设，得+=2××，即n2﹣9n+8=0，解得n=8，n=1（舍）．即有（x+）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，在等式的两边取x=﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8=；（2）设第r+1项的系数最大，由Tr+1=x8﹣r?（）r，则，即，即为即2≤r≤3，由r为整数，解得r=2或r=3．即有?（）r=?=28?=7或?=7．所以ai系数最大值为7．20.设命题p:实数x满足(x－a)(x－3a)＜0，其中a＞0，命题q:实数x满足.（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围.（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.参考答案：对于命题p:，其中，∴，则，.由，解得，即.

（6分）（1）若解得，若为真，则同时为真，即，解得，∴实数的取值范围

（9分）（2）若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，∴，即，解得

（12分）21.正方形的边长为1，分别取边的中点，连结，以为折痕，折叠这个正方形，使点重合于一点，得到一个四面体，如下图所示。

（1）求证：；（2）求证：平面。参考答案：证明：（1）由是正方形，所以在原图中

折叠后有…………2分

所以

所以…………7分（2）.由原图可知，

所以…………10分

又

，所以…………14分略22.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形．参考答案：【考点】GZ：三角形的形状判断；8F：等差数列的性质；8G：等比数列的性质．【分析】先根据A，B，C成等差数列和三角形内角和定理求出B的值，进而根据等比中项的性质可知b2=ac代入余弦定理求得a2+c2﹣ac=ac，整理求得a=c，判断出A=C，最后利用三角形内角和气的A和C，最后证明原式．【解答】解：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1）因为A，B