江苏省常州市河心中学高三数学理模拟试题含解析

江苏省常州市河心中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，集合（

）A. B. C. D.参考答案：D2.已知命题p：；命题q：函数有一个零点，则下列命题为真命题的是（

）A．pq B． pq C．q

D．p(q)参考答案：B3.已知复数在复平面上对应点为，则关于直线的对称点的复数表示是（

）．A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.设不等式组表示的平面区域为表示区域Dn中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=(

)A.1012

B.2012

C.3021

D.4001

参考答案：C因为，所以令,又为整数，所以.当x=1时，，有3n个整数点；当x=2时，，有2n个整数点；当x=3时，，有n个整数点.综上，共有6n个整数点，所以.则数列是以为首项，公差为12的等差数列.故.5.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=﹣e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】①根据f（x）为奇函数，可设x＞0，从而有﹣x＜0，从而可求出f（x）=e﹣x（x﹣1），②从而可看出﹣1，1，0都是f（x）的零点，这便得出①②错误，③而由f（x）解析式便可解出f（x）＜0的解集，从而判断出③的正误，④可分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导数，根据导数符号可判断f（x）的单调性，根据单调性即可求出f（x）的值域，这样便可得出?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．【解答】解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴故①错误，②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；又f（0）=0；∴f（x）有3个零点；故②错误，③当x＜0时，由f（x）=ex（x+1）＜0，得x+1＜0；即x＜﹣1，当x＞0时，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＜0，得x﹣1＜0；得0＜x＜1，∴f（x）＜0的解集为（0，1）∪（﹣∞，﹣1）；故③正确，④当x＜0时，f′（x）=ex（x+2）；∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；当x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；故④正确，∴正确的命题为③④．故选：C6.已知函数，给出以下四个命题，其中为真命题的是

（

）A．若，则B．在区间上是增函数高考资源网C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到

参考答案：C略7.若不等式组，所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则=A． B． C．

D．参考答案：C8.函数的一个单调递增区间是

A.

B.

C.

D.参考答案：C9.某班在5男生4女生中选择4人参加演讲比赛，选中的4人中有男有女，且男生甲和女生乙最少选中一个，则不同的选择方法有

A．91种

B．90种

C．89种

D．86种参考答案：D略10.如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形，直角三角形两直角边的比为1:2，小正方形的边长为2，作出小正方形的内切圆，现在大正方形内随机取-点，则此点取自圆内部分的概率为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】求得大正方形的边长，得到大正方形的面积为5，再求得小正方形为为1，得打内切圆半径为，内切圆的面积为，最后根据面积比的几何概型，即可求解.【详解】设直角三角形的直角边为，则大正方形的边长为，所以大正方形的面积为5，四个直角三角形的面积和为，所以小正方形的面积为，所以小正方形边长为1，内切圆半径为，内切圆的面积为，由面积比的几何概型，可得概率为，故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，且为第三象限角，则_________.参考答案：【知识点】三角求值C7因为，且为第三象限角，所以，则.【思路点拨】直接利用两角和的正弦公式解答即可.12.方程有解，则________.参考答案：略13.已知R上的不间断函数满足：（1）当时，恒成立；（2）对任意的都有。奇函数满足：对任意的,都有成立，当时，。若关于的不等式对恒成立，则的取值范围

。参考答案：14.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中．如图，点F0,F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2，分别是“果圆”与x，y轴的交点． （I）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则“果圆”的方程为

;（II）当|A1A2|>|B1B2|时，的取值范围是

. 参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）15.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则

．参考答案：由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点，所以，所以，所以，，所以。16.已知为不等式组所表示的平面区域，为圆（）及其内部所表示的平面区域，若“点”是“点”的充分条件，则区域的面积的最小值为_________.参考答案：17.已知数列满足a1=1，，则=______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx+ax﹣x2（0＜a≤1）（I）时，求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的方程（II）设函数f（x）单调递增区间为（s，t）（s＜t），求t﹣s的最大值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）利用导数的几何意义求出切线的斜率f′（1），再计算f（1），代入点斜式方程化简即可；（II）令f′（x）＞0可得2x2﹣ax﹣1＜0，根据二次函数的性质及根与系数的关系可得s=0，t=，再利用函数单调性和a的范围得出t﹣s的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，又，∴y=f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为y+=﹣（x﹣1），即．（Ⅱ），令f′（x）＞0得2x2﹣ax﹣1＜0，∵△=a2+8＞0，∴2x2﹣ax﹣1=0有两根x1，x2（x1＜x2），又，∴（s，t）=（0，x2），则，而在（0，1]上单调递增，∴a=1时，取得最大值1，∴a=1时t﹣s取得最大值1．19.在党的第十九次全国代表大会上，习近平总书记指出：“房子是用来住的，不是用来炒的”．为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令．某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区50户住户进行调查，各户人平均月收入（单位：千元，）的户数频率分布直方图如下图：其中，赞成限购的户数如下表：人平均月收入[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)赞成户数4912631

(1)求人平均月收入在[9,13)的户数，若从他们中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；(2)求所抽取的50户的人平均月收入的平均数；(3)若将小区人平均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人平均月收入低于7千元的住户称为“非高收入户”．根据已知条件完成如图所给的2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.

非高收入户高收入户总计赞成

不赞成

总计

附：临界值表50.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考公式：.参考答案：(1)；(2)6.4千元；(3)答案见解析.试题分析：（1）根据均值公式计算即可；（2）住户共有8户，赞成楼市限购令的有4户，从中随机抽取两户，随机变量的取值可能为0,1,2，分别计算其概率即可；（3）根据卡方公式计算即可得出结论.试题解析：（1）千元(1)由直方图知：月收入在的住户共有8户，赞成楼市限购令的有4户，从中随机抽取两户，设为赞成楼市限购令的用户数.则所以的分布列为：

012P

（3）依题意，列联表如下

非高收入户高收入户总计赞成251035赞成51015总计302050

所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.20.(12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：(x≥1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？参考答案：当t＝时，可获最大利润万元．此时，投入乙种商品的资金为万元，甲种商品的资金为万元．21.如图，在△ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），CD、BE分别是△ABC的两条中线且相交于点G，且|CD|+|BE|=6．（Ⅰ）求点G的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）直线l：y=x﹣1与轨迹Γ相交于M、N两点，P为轨迹Γ的动点，求△PMN面积的最大值．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设BE与CD交于G点，则G为△ABC的重心，，根据椭圆定理为椭圆方程．（Ⅱ）设直线y=x+b，当直线与椭圆相切时，切点即为P，此时三角形面积最大，因为相切，故△=0．列式求得面积最大值，并求得该值．解答： 解：（Ⅰ）设BE与CD交于G点，则G为△ABC的重心，…由于|CD|+|BE|=6，则BG+CG=4，根据椭圆的定义，故G是以B，C为焦点，长轴长为4的椭圆（除x轴上点外），…即G满足的轨迹方程为…（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由得到7x2﹣8x﹣8=0，得到……设直线y=x+b，当直线与椭圆相切时，切点即为P，此时三角形面积最大，因为相切，故△=064b2﹣28（4b2﹣12）=0，b2=7，（舍）

…h=||=……备注：也可以用两平行线距离公式d=点评：本题主要考查了轨迹方程的求解方法和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题．22.已知△ABC的面积S满足，的夹角为θ．（Ⅰ）求θ