吉林省长春市光华学院附属中学高二数学理期末试卷含解析

吉林省长春市光华学院附属中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假

C．p真q假

D．p假q真参考答案：B略2.已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A.13，1

B.13，2C.13，

D.，参考答案：C略3.已知复数满足，则的虚部是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D4.若，则下列不等式：①；②；③；④中正确的不等式是(

)A.①②

B.②③

C．①④

D．③④参考答案：C5.已知f（x）=x2+2x?f′（1），则f′（0）等于（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣4参考答案：D【考点】导数的运算．【分析】首先对f（x）求导，将f′（1）看成常数，再将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x=0代入即可．【解答】解：因为f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=﹣2，∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4，当x=0，f′（0）=﹣4．故选D．6.已知函数在区间（）上存在极值，则实数a的取值范围是

（）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（

）A、至少有一个黑球与都是黑球

B、至少有一个黑球与至少有一个红球C、恰好有一个黑球与恰好有两个黑球

D、至少有一个黑球与都是红球参考答案：C8.有下列四个命题①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；④“若A∪B＝A，则A?B”的逆否命题．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4参考答案：A9.函数

则（

）

A.3

B.2

C.4

D.0参考答案：C略10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则a=（）A.5 B. C.4 D.3参考答案：D【分析】已知两边及夹角，可利用余弦定理求出。【详解】由余弦定理可得：，解得.故选D.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c=，∠C=，则△ABC的面积是．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】由余弦定理列出关系式，将b，c及cosC的值代入求出a的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵b=1，c=，cosC=﹣，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得：3=a2+1+a，即（a+2）（a﹣1）=0，解得：a=1，a=﹣2（舍去），则S△ABC=absinC=×1×1×=．故答案为：12.设平面的法向量为(1,－2,2)，平面的法向量为，若∥，则的值为

▲

参考答案：－4设平面的法向量，平面的法向量，因为∥，所以，所以存在实数，使得，所以有，解得，故答案为.

13.若关于x的不等式mx2+2mx﹣4＜2x2+4x时对任意实数l均成立，则实数m的取值范围是

．参考答案：（﹣2，2]【考点】一元二次不等式的解法．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】根据题意，讨论m的取值范围，求出使不等式恒成立的m的取值范围即可．【解答】解：∵不等式mx2+2mx﹣4＜2x2+4x时对任意实数均成立，∴（m﹣2）x2+2（m﹣2）x﹣4＜0，当m﹣2=0，即m=2时，不等式为﹣4＜0，显然成立；当m﹣2≠0，即m≠2时，应满足，解得﹣2＜m＜2；综上，﹣2＜m≤2，即实数m的取值范围是（﹣2，2]．故答案为：（﹣2，2]．【点评】本题考查了不等式的恒成立问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目．14.已知函数（且），若有最小值，则实数a的取值范围是______________.参考答案：【分析】分析要使函数（且）有最小值，则最小值为，结合图像，列出满足条件的不等式，即可得到数的取值范围.【详解】函数（且）有最小值，根据题意可知最小值为，图像如图所示：或，解得：或；则实数的取值范围是【点睛】本题考查分段函数的最值问题，熟练掌握初等函数的图像是解题的关系，有一定的综合性，属于中档题。15.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,则曲线的直角坐标方程为

。参考答案：16.快递小哥准备明天到周师傅家送周师傅网购的物品，已知周师傅明天12:00到17:00之间在家，可以接收该物品，除此之外，周师傅家里无人接收。如果快递小哥明天在14:00到18:00之间随机地选择一个时间将物品送到周师傅家去，那么快递小哥到周师傅家恰好能够送出该物品的概率是________.参考答案：【分析】先设快递小哥明天到达周师傅家的时刻为，根据题意得到，再结合周师傅在家的时间，可得到，进而可得出结果.【详解】设快递小哥明天到达周师傅家的时刻为，由题意可得，又快递小哥到周师傅家恰好能够送出该物品，必须满足，所以，快递小哥到周师傅家恰好能够送出该物品的概率是.故答案为【点睛】本题主要考查几何概型的应用，将问题转化为与长度有关的几何概型，即可求解，属于常考题型.17.在各棱长都等于1的正四面体中，若点P满足,则的最小值为_____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.参考答案：19.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）在线段BC1上是否存在点D，使得AD⊥A1B？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明AA1⊥AC．利用平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，推出结果．（2）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出相关点的坐标，求出平面A1BC1的法向量，平面BB1C1的法向量，利用向量的数量积求解二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值．（3）设D（x，y，z）是直线BC1上一点，且=．求出=（4λ，3﹣3λ，4λ）．通过，求出．推出结果．【解答】解：（1）因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC．…．（2）由（I）知AA1⊥AC，AA1⊥AB．由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC．如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（0，3，0），A1（0，0，4），B1（0，3，4），C1（4，0，4），=（0，3，﹣4），=（4，0，0）设平面A1BC1的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=3，则x=0，y=4，所以=（0，4，3）．同理可得，平面BB1C1的法向量为=（3，4，0），所以cos==．由题知二面角A1﹣BC1﹣B1为锐角，所以二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．…（3）设D（x，y，z）是直线BC1上一点，且=．所以（x，y﹣3，z）=λ（4，﹣3，4）．解得x=4λ，y=3﹣3λ，z=4λ．所以=（4λ，3﹣3λ，4λ）．由，即9﹣25λ=0．解得．因为∈（0，1），所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B．此时，=λ=．…20.（本题满分12分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．参考答案：21.设函数的图像为曲线（Ⅰ）若函数不是R上的单调函数，求实数的范围。（Ⅱ）若过曲线外的点作曲线的切线恰有两条，（1）求的关系式。（2）若存在，使成立，