2022年广东省茂名市云潭第一高级中学高一数学理月考试卷含解析

2022年广东省茂名市云潭第一高级中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.任取，且，若恒成立，则称为上的凸函数。下列函数中①，②

，③，

④在其定义域上为凸函数是（

）A.①②

B.②③

C.

②③④

D.②④参考答案：D2.函数f（x）=loga2x（a＞0，且a≠1）的图象与函数g（x）=log22x的图象关于x轴对称，则a=（）A． B． C．2 D．4参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用两个函数的图象关于x轴对称，得到关系式f（x）=﹣g（x）．【解答】解：因为数f（x）=loga2x（a＞0，且a≠1）的图象与函数g（x）=log22x的图象关于x轴对称，所以f（x）=﹣g（x）．即loga2x=﹣log22x=log2x，所以a=．故选B．【点评】本题主要考查函数图象的关系以及对数的运算性质．3.设平面向量，，若，则等于（

）A. B. C. D.参考答案：D分析：由向量垂直的条件，求解，再由向量的模的公式和向量的数量积的运算，即可求解结果.详解：由题意，平面向量，且，所以，所以，即，又由，所以，故选D.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算和向量模的求解，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式和向量模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知的值等于（

）A．1

B．3

C．15

D．30参考答案：A5.若用半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A6.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F。若，则A、

B、

C、

D、参考答案：D略7.已知集合P={x∈Z|y=}，Q={y∈R|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（） A．P B．Q C．{﹣1，1} D．{0，1}参考答案：A【考点】余弦函数的定义域和值域；交集及其运算． 【分析】先化简求出集合P，Q，再利用交集即可求出． 【解答】解：对于集合P：要使y=，必须满足1﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤1，又x∈Z，∴x=﹣1，0，1，即P={﹣1，0，1}． 对于集合Q：由﹣1≤cosx≤1，可得Q=[﹣1，1]． ∴P∩Q={﹣1，0，1}=P． 故选A． 【点评】熟练求出函数的定义域和值域及掌握集合的运算性质是解题的关键． 8.已知向量a=(2,1)，a·b=10，︱a+b︱=，则︱b︱=

（A）

（B）

（C）5

（D）25参考答案：解析：本题考查平面向量数量积运算和性质，由知（a+b）2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5选C。9.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是

()A．a>1，b<0

B．0<a<1，b>0C．a>1，b>0

D．0<a<1，b<0参考答案：C10.已知中，AB=AC=5，BC=6，则的面积为A．12

B．15

C．20

D．25参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果满足∠ABC=60°，，的△ABC有且只有两个，那么的取值范围是

．参考答案：略12.已知函数f（x）的图象与函数g（x）=log2x的图象关于直线y=x对称，则f（﹣）=．参考答案：【考点】反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）的图象与函数g（x）=log2x的图象关于直线y=x对称，可得：函数f（x）与函数g（x）=log2x互为反函数，求出函数解析式，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）的图象与函数g（x）=log2x的图象关于直线y=x对称，∴函数f（x）与函数g（x）=log2x互为反函数，∴f（x）=2x，∴f（﹣）=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是反函数，熟练掌握同底的指数函数和对数函数互为反函数，是解答的关键．13.的值为________.参考答案：14.已知函数f（x）=sinx﹣cosx，则=． 参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；函数的值． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】由条件利用两角差的正弦公式化简函数f（x）的解析式，从而求得f（）的值． 【解答】解：∵函数f（x）=sinx﹣cosx=sin（x﹣）， 则=sin（﹣）=﹣=﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题． 15.经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为

参考答案：16.已知函数，当时，，则的取值范围为____________.参考答案：略17.若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=

．参考答案：﹣1【考点】分析法的思考过程、特点及应用．【分析】这是一个凑配特殊值法解题的特例，由f（2x+1）=x2﹣2x，求f（3）的值，可令（2x+1）=3，解出对应的x值后，代入函数的解析式即可得答案．本题也可使用凑配法或换元法求出函数f（x）的解析式，再将x=3代入进行求解．【解答】解法一：（换元法求解析式）令t=2x+1，则x=则f（t）=﹣2=∴∴f（3）=﹣1解法二：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x=∴∴f（3）=﹣1解法三：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x令2x+1=3则x=1此时x2﹣2x=﹣1∴f（3）=﹣1故答案为：﹣1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为80万元，维持系统正常运行的费用包括保养费和维修费两部分．每年的保养费用为1万元．该系统的维修费为：第一年1.2万元，第二年1.6万元，第三年2万元，…，依等差数列逐年递增.（1）求该系统使用n年的总费用（包括购买设备的费用）；（2）求该系统使用多少年报废最合算（即该系统使用多少年平均费用最少）.参考答案：（1）设该系统使用年的总费用为依题意，每年的维修费成以为公差的等差数列，则年的维修费为

………4分则

…………………7分（2）设该系统使用的年平均费用为则

…………………9分

…………………11分当且仅当即时等号成立.

…………………13分故该系统使用20年报废最合算.

…………………14分19.已知（Ⅰ）当a=时，解不等式f（x）≤0；（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．参考答案：【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】（I）将a的值代入不等式，利用二次不等式与二次方程根的关系写出不等式的解集．（II）通过对A的讨论，判断出相应的二次方程的两个根的大小关系，写出二次不等式的解集．【解答】解：（I）当时，有不等式，∴，∴不等式的解为：（II）∵不等式当0＜a＜1时，有，∴不等式的解集为；当a＞1时，有，∴不等式的解集为；当a=1时，不等式的解为x=1．【点评】求一元二次不等式的解集时，若不等式中含参数，一般需要讨论，讨论的起点常从以下几方面考虑：二次项系数的符号、判别式的符号、两个根的大小20.已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域，并证明f（x）是定义域上的奇函数；（2）用定义证明f（x）在定义域上是单调增函数；（3）求不等式f（x2﹣x）+f（1﹣x）＞0的解集．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据函数成立的条件结合函数奇偶性的定义进行证明即可，（2）根据函数单调性的定义进行证明即可，（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化进行求解即可．【解答】解：（1）由对数函数的定义得，得，即﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x），∴f（x）是定义域上的奇函数．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=lg（1+x1）﹣lg（1﹣x1）﹣lg（1+x1）+lg（1+x1）=lg，∵0＜x1＜x2＜1，∴0＜1+x1＜1+x2，0＜1﹣x2＜1﹣x1，于是0＜＜1，0＜＜1，则0＜＜1，则lg＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即函数在区间（﹣1，1）上的单调递增函数．（3）∵f（x）在（﹣1，1）上是增函数且为奇函数，则不等式f（x2﹣x）+f（1﹣x）＞0可转化为f（x2﹣x）＞﹣f（1﹣x）=f（x﹣1），则，解得，即0＜x＜．故不等式f（x2﹣x）+f（1﹣x）＞0的解集是（0，）．21.计算：（1）；（2）（log32+log92）?（log43+log83）参考答案：【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）根据指数幂的运算性质可得，（2）根据对数的运算性质可得．【解答】解：（1）原式=1+π﹣3=π﹣2，（2）原式=（log32+log32）?（log23+log23）=log32?log23=．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题．22.已知：以点为圆心的圆与x轴交于点