北京芳星园中学高三数学理上学期期末试卷含解析

北京芳星园中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中,为的对边,若则为(

)A

B

C或

D

或

参考答案：C2.若函数y=2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上的最小值是﹣2，但最大值不是2，则ω的取值范围是（）A．（0，2） B．[，2） C．（0，] D．[2，+∞）参考答案：B【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】根据x∈[﹣，]求出ωx的取值范围，结合题意列出ω的不等式组，从而求出ω的取值范围．【解答】解：函数y=2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上的最小值是﹣2，但最大值不是2，∴ωx的取值范围是[﹣ω，ω]；∴﹣ω≤﹣且ω＜，解得≤ω＜2，∴ω的取值范围是[，2）．故选：B．3.已知平面向量=（﹣2，m），=（1，2），且∥，则|+3|等于（）A． B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】平行向量与共线向量；向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量∥，求出m的值，再计算|+3|的值．【解答】解：∵平面向量=（﹣2，m），=（1，2），且∥，∴﹣2×2﹣1×m=0，解得m=﹣4；∴+3=（﹣2+1，﹣4+2）=（﹣1，﹣2），∴|+3|==．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了向量的平行与求向量模长的问题，是基础题．4.经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为，则点(a，b)与直线的位置关系是（

）A．

B．

C.

D．与100的大小无法确定参考答案：B5.若直线与曲线有四个公共点，则的取值集合是（

）A. B. C. D.参考答案：A略6.若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（

）A. B. C.

D.参考答案：B7.袋中有个大小相同的小球，其中记上号的有个，

记上号的有个（）.现从袋中任取一球.

表示所取到球的标号。则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D8.下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是（

）A、y＝－|x|

B、y＝x2－2

C、y＝－(x－1)

D、y＝－参考答案：A9.设，集合是奇数集，集合是偶数集，命题：，则，则?为

（

）

A.，则

B.，则

C.，则

D.，则参考答案：A略10.已知一次函数的图象过点（其中），则的最小值是（

）A.1

B.8

C.9

D.16参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是．参考答案：9【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】总体的个数是90人，要抽一个15人的样本，则每个个体被抽到的概率是，用概率去乘以男员工的人数，得到结果【解答】解：总体的个数是90人，要抽一个15人的样本，则每个个体被抽到的概率是=，男员工应选取的人数（90﹣36）×=9人，故答案为：9．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是注意在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据．12.已知函数的图像与直线有且只有两个交点，且交点的横坐标分别为，那么=_____________.参考答案：略13.若数列{an}满足：a1=1，an+1=2an（n∈N*），则a5=；前8项的和S8=．（用数字作答）参考答案：16，255．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先根据a1=1，an+1=2an通过分别求出a1，a2，a3，a4，a5；通过an+1=2an可推知数列为等比数列，根据求和公式进而求得S8．【解答】解：a1=1，a2=2a1=2，a3=2a2=4，a4=2a3=8，a5=2a4=16，∵an+1=2an，即=2∴数列{an}为等比数列，首项为1，公比为2．∴，∴故答案为：16，255．【点评】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题．属于基础知识、基本运算的考查．14.某同学从复旦、交大、同济、上财、上外、浙大六所大学中选择三所学校综招报名，则交大和浙大不同时被选中的概率为________参考答案：.【分析】先利用古典概型的概率公式计算出事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件“交大和浙大同时被选中”的概率，再利用对立事件的概率公式得出所求事件的概率.【详解】由题意知，事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件为“交大和浙大同时被选中”，由古典概型的概率公式得知，事件“交大和浙大同时被选中”的概率为，由对立事件的概率知，事件“交大和浙大不同时被选中”的概率为，故答案为：.【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及对立事件的概率，在求解事件的概率时，若分类讨论比较比较繁琐，可考虑利用对立事件的概率来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15.若数列满足“对任意正整数，恒成立”，则称数列为“差非增数列”．给出下列数列：①，②，③，④，⑤．其中是“差非增数列”的有________（写出所有满足条件的数列的序号）．参考答案：③④16.给定方程：，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；④若是该方程的实数解，则–1.则正确命题是

．参考答案：17.dx+

.参考答案：+1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,四棱锥P-ABCD的底面是菱形,PO⊥底面ABCD,O、E分别是AD、AB的中点，AB=6,AP=5,.(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)求直线PB与平面POE所成角的正弦值；(Ⅲ)在DC边上是否存在点F，使BF与PA所成角的余弦值为，若存在，确定点F位置；若不存在，说明理由.参考答案：连接，由已知及平面几何知识得两两垂直,如图建立空间直角坐标系，依题意可得,,，，,,.……(1分)

(Ⅰ)证明:∵,,

∴.∴，因此.

…………(4分)

(Ⅱ)解:设平面的法向量为，由,及得.令，得

………(6分)又求得.

…………(7分)设与平面所成角为,则.

……………(9分)

(Ⅲ)解:∵假设存在，使,设，计算得，则.…(10分)又，由异面直线与所成角的余弦值为,得，解得

……………（12分）

满足条件，因此，存在点在的中点处.

……………（13分）19.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.(Ⅰ）设AD=x(x0),ED=y，求用x表示y的函数关系式，并注明函数的定义域；(Ⅱ）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？

如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请给予证明.参考答案：（Ⅰ）在△ADE中，由余弦定理得：

，?

又.?

把?代入?得，

∴

∵

∴

即函数的定义域为.(Ⅱ）如果DE是水管，则，

当且仅当，即时“=”成立，故DEBC,且DE=.

如果DE是参观线路，记，则

∴函数在上递减，在上递增

故.

∴.

即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.20.在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AC1⊥平面ABC，，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D是AA1的中点．（1）求证：CD⊥平面AB1；（2）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E﹣A1C1﹣A的大小为．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AB⊥面ACC1A1，即有AB⊥CD；又AC=A1C，D为AA1中点，则CD⊥AA1．即可证明：CD⊥平面AB1；（2）求出平面的法向量，利用二面角E﹣A1C1﹣A的大小为，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵面ACC1A1⊥面ABC，AB⊥AC，∴AB⊥面ACC1A1，即有AB⊥CD；又AC=A1C，D为AA1中点，则CD⊥AA1．∴CD⊥面ABB1A1．（2）解：如图所示以点C为坐标系原点，CA为x轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则有A（a，0，0），B（a，a，0），A1（0，0，a），B1（0，a，a），C1（﹣a，0，a），设E（x，y，z），且，即有（x﹣a，y﹣a，z）=λ（﹣a，0，a），所以E点坐标为（（1﹣λ）a，a，λa）．由条件易得面A1C1A的一个法向量为．设平面EA1C1的一个法向量为，由可得，令y=1，则有，则=，得．所以，当时，二面角E﹣A1C1﹣A的大小为．21.（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18