高中数学-正弦函数的图像与性质教学设计学情分析教材分析课后反思

《正弦型函数的图象变换》教学设计一、内容与内容解析1．本课地位和作用三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要的作用．“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”是三角函数的一个重要内容，通过揭示参数A，ω，φ变化对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，有助于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．2．本课内容剖析“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”主要是探讨函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sinx的图象之间的关系．图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上点的变换，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点的坐标变化规律．本节课教学设计是先分别探讨φ、A、ω对函数y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律，再探究y＝sin(2x＋1)的图象和函数y＝sin2x的图象之间的变化关系．其中，φ对y＝sin(x＋φ)的图象的变化规律的探讨方法可以迁移到后续问题解决中去．本节课的重点是：分别探讨φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律．本节课的难点是：=1\*GB3①函数y＝sinωx的图象与正弦曲线的关系；=2\*GB3②函数y＝sin(2x＋1)的图象与函数y＝sin2x的图象的关系．二、目标与目标解析1．探索并发现φ对y＝sin(x＋φ)的图象的变化规律，A对y＝Asinx(A>0)的图象的变化规律，ω对y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律；2．在理解φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律的基础上，探究y＝sin(2x＋1)的图象和函数y＝sin2x的图象之间的变化关系；3．学生在活动中经历观察、归纳、验证的过程，体会从简单到复杂，从具体到抽象，由特殊到一般的思想．学生在问题的引导下，自主探究研究策略，从而培养学生的认知策略，发展元认识．教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个实例，增加供归纳的样本，让学生亲历从简单到复杂，具体到抽象，特殊到一般的探索过程，逐步概括图象变换的规律．学生通过充分地思考和探究，发现函数图象之间的关系，并对结论进行理性思考，从中学习解决问题的一般方法．三、教学问题诊断分析在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角函数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内容的延伸和拓展．1．参数φ引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？在教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对函数图象平移的理解；2．参数A和ω的取值，学生会忽视0＜A＜1和0＜ω＜1情况，为此，在这里注意引导，从而全面认识参数A和ω的变化引起的图象变化；3．理解y＝sinωx和y＝sinx的图象间关系是难点，教学中类比参数φ，A对图象影响的探讨思路，认识代数关系与几何关系后，回到图象上任意点的坐标变换上进行理性分析，从而理解变换的实质．如从y＝sinx到y＝sin2x，代数上是用2x代换x，因此是将y＝sinx图象上坐标为(x0，y0)的点变换到坐标为(eq\F(1,2)x0，y0)的点，所以是将y＝sinx图象上各点纵坐标不变、横坐标变为原来的eq\F(1,2)，得到y＝sin2x的图象；4．从y＝sin2x的图象变换到y＝sin(2x＋1)的图象是本课又一难点，究竟是向左平移1个单位还是eq\F(1,2)个单位？突破难点有二个途径：①画图观察；②从坐标变换理性分析．四、教学支持条件分析利用几何画板辅助教学，可以对图象上每个点进行分析，有利于学生突破本节课的难点．该探讨方法可以迁移到其他一般函数的图象和性质中去，有利于学生理解函数图象变换的数学本质．五、教学过程创设情境，引出课题创设情境，引出课题制定方案，分类探讨以问题为载体制定方案，分类探讨以问题为载体以活动为主线层层递进，探究结论层层递进，探究结论回顾总结，反思提高回顾总结，反思提高创设情境、引出课题如图，摩天轮的半径为Am(A>0)，摩天轮逆时针做匀速转动，角速度为ωrad／min(ω>0)，如果当摩天轮上点P从图中点P0处开始计算时间．请在如图所示的坐标系中，确定时刻xmin时点P的纵坐标y．【设计意图】函数y＝Asin(ωx＋φ)是刻画自然界周期现象的重要模型，具有丰富的自然背景，借助于实际意义来理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质是自然的、清楚的、明白的！师生活动：先将点P0置于x轴正半轴上，利用正弦函数的定义得到y＝Asinωx；再将点P0置于如图所示位置，得到在时刻xmin时点P的纵坐标y＝Asin(ωx＋φ)．小结：形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数在生活中经常可见，如弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移满足y＝Asin(ωx＋φ)，如图所示．再比如潮汐现象中水位的高度、单摆中的摆角等也满足这个解析式，因此今天我们来探讨这个函数，为了探讨方便，这里A>0，ω>0．设问1：按照我们以往的经验，一般我们通过什么方法探讨函数的性质呢？结论：图象．板书课题：函数y＝Asin(ωx＋φ)（A>0，ω>0）的图象设问2：显然，参数A，ω，φ取不同实数，我们就得到不同的函数表达式，进而函数图象就发生变化，在这个大家庭中，有你熟悉的函数吗？结论：函数y＝sinx．2．制定方案，分类探讨问题1：如何由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象？师生活动：引导学生制定研究方案，教师板书方案．小结：在比较讨论的基础上确定本节课的研究方案，即相对固定其中2个，仅一个变动，先分别探讨φ、A、ω对函数y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律，再综合．【设计意图】首先，强调面对一个问题，让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决问题的方法;其次，面对多变量问题，学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化，体会从简单到复杂的研究问题的一般方法．3．层层递进，探究结论根据上面制定的计划，分别探讨φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律．问题2：如何由y＝sinx的图象得到y＝sin(x＋1)的图象？师生活动：=1\*GB3①让学生们说一说，几何画板作图验证，追问学生“为什么？”；=2\*GB3②再举几个例子如：y＝sin(x－1)，y＝sin(x＋eq\F(π,3))；=3\*GB3③抽象到一般．向左向左平移1个单位板书：y＝sinx———————→y＝sin(x＋1)点M(x0，y0)———————→点N(x0－1，y0)向左向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y＝sinx———————→y＝sin(x＋φ)点M(x0，y0)———————→点N(x0－φ，y0)【设计意图】第一，人们总是借助具体的东西来理解抽象的东西，因此结合具体的实例说，增加供归纳的样本，具体的清楚了，抽象的就不难了；第二，引导学生说明为什么？从形上说图象变换是图象上每点的位置变化，从数上讲是点的坐标变化，这里找出是纵坐标相同的两点，从横坐标的变化关系解释变换．着重探讨清楚φ对y＝sin(x＋φ)的图象的变化规律，学生可以将探讨方法迁移到后续对A、ω的探讨中去．问题3：(1)如何由y＝sinx的图象得到函数y＝Asinx(A>0)的图象？(2)如何由y＝sinx的图象得到函数y＝sinωx(ω>0)的图象？师生活动：让学生类比之前的方法充分探讨，然后交流．①y＝Asinx(A＞0)的图象可以看作是把y＝sinx图象上所有点在横坐标不变的情况下纵坐标变为原来的A倍得到的．横坐标不变横坐标不变纵坐标变为原来的A倍板书：y＝sinx————————→y＝Asinx(A>0)点M(x0，y0)————————→点N(x0，Ay0)②y＝sinωx(ω＞0)的图象可以看作是把y＝sinx图象上所有点在纵坐标不变的情况下横坐标变为原来的EQ\F(1,ω)倍得到的．纵坐标不变横坐标变为原来的EQ\F(1,ω)倍板书：y＝sinx————————→y＝sinω纵坐标不变横坐标变为原来的EQ\F(1,ω)倍点M(x0，y0)————————→点N(EQ\F(x0,ω)，y0)【设计意图】类比前面的探讨方法，请学生独立探讨A、ω对y＝Asinx、y＝sinωx的图象有什么影响.此处与问题2的解决有所不同，更加突出代数角度分析．设问3：刚才我们分别探讨了φ、A、ω对函数图象影响的变化规律，我们是怎样研究的呢？师生活动：（1）控制变量；（2）作图比较；（3）理性分析．探究：如何由函数y＝sin2x的图象得到y＝sin(2x＋1)的图象呢？向左平移EQ\F(1,2)个单位师生活动：学生讨论后交流．这里是向左平移1个单位还是向左平移EQ\F(1,2)个单位？①利用几何画板画图观察，②从坐标关系理性分析．向左平移EQ\F(1,2)个单位板书：y＝sin2x————————→y＝sin(2x+1)点M(x0，y0)————————→点N(x0－EQ\F(1,2)，y0)小结：从中发现，横向变换只对x的变化而言，同理纵向变换仅对y的变化而言．y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到的函数图象对应的解析式是y＝sin2(x＋EQ\F(1,2))，而不是y＝sin(2x＋EQ\F(1,2))．【设计意图】探讨y＝sin(2x＋1)的图象与y＝sin2x的图象的关系，不仅是对本节课探讨的深入，也为下一课时的探讨拉开序幕．“为理解而学习、教学”是建构主义的核心目标．4．回顾总结，反思提高小结：今天我们分别探讨了φ、A、ω对函数y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律，下面探讨什么呢？【设计意图】培养学生反思的习惯，确定接下来的探讨内容和方法.布置作业：1．阅读课本（系统回顾本节课学习内容，学习规范表达）；2．书第44页第2题．六、教学设计说明1．本节课通过实例引入有利于学生感受学习新知识的必要性，体会y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是刻画周期现象的重要数学模型．2．本节课主要问题是认识y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与y＝sinx的图象的关系，因为这里参数A,ω,φ对函数图象都将产生影响，因此往往学生感到抽象和难于解决．为了突破此难点，在教学中引导学生制定探讨思路，并在此基础上确定探讨思路，即相对固定其中2个变量，只探讨1个变量的作用，体会探讨多变量问题的一般方法．值得指出的是，本节课学生在问题的引导下，自主探究研究策略，从而有利于培养学生的认知策略，发展元认识．3．本节课鼓励学生独立进行探索，并用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维，鼓励学生对出现的不同结论进行探讨，找出问题的正确解答．我认为这样做有利于培养学生的学习积极性，有利于培养学生的思维能力,对于教师，也能及时抓住学生的想法、及时引导，有效驾驭课堂．学情分析在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角函数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内容的延伸和拓展．1．参数φ引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？在教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对函数图象平移的理解；2．参数A和ω的取值，学生会忽视0＜A＜1和0＜ω＜1情况，为此，在这里注意引导，从而全面认识参数A和ω的变化引起的图象变化；3．理解y＝sinωx和y＝sinx的图象间关系是难点，教学中类比参数φ，A对图象影响的探讨思路，认识代数关系与几何关系后，回到图象上任意点的坐标变换上进行理性分析，从而理解变换的实质．如从y＝sinx到y＝sin2x，代数上是用2x代换x，因此是将y＝sinx图象上坐标为(x0，y0)的点变换到坐标为(eq\F(1,2)x0，y0)的点，所以是将y＝sinx图象上各点纵坐标不变、横坐标变为原来的eq\F(1,2)，得到y＝sin2x的图象；4．从y＝sin2x的图象变换到y＝sin(2x＋1)的图象是本课又一难点，究竟是向左平移1个单位还是eq\F(1,2)个单位？突破难点有二个途径：①画图观察；②从坐标变换理性分析．效果分析在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角函数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内容的延伸和拓展．1．参数φ引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？在教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对函数图象平移的理解；2．参数A和ω的取值，学生会忽视0＜A＜1和0＜ω＜1情况，为此，在这里注意引导，从而全面认识参数A和ω的变化引起的图象变化；3．理解y＝sinωx和y＝sinx的图象间关系是难点，教学中类比参数φ，A对图象影响的探讨思路，认识代数关系与几何关系后，回到图象上任意点的坐标变换上进行理性分析，从而理解变换的实质．如从y＝sinx到y＝sin2x，代数上是用2x代换x，因此是将y＝sinx图象上坐标为(x0，y0)的点变换到坐标为(eq\F(1,2)x0，y0)的点，所以是将y＝sinx图象上各点纵坐标不变、横坐标变为原来的eq\F(1,2)，得到y＝sin2x的图象；4．从y＝sin2x的图象变换到y＝sin(2x＋1)的图象是本课又一难点，究竟是向左平移1个单位还是eq\F(1,2)个单位？突破难点有二个途径：①画图观察；②从坐标变换理性分析．教材分析1．本课地位和作用三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要的作用．“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”是三角函数的一个重要内容，通过揭示参数A，ω，φ变化对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，有助于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．2．本课内容剖析“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”主要是探讨函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sinx的图象之间的关系．图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上点的变换，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点的坐标变化规律．本节课教学设计是先分别探讨φ、A、ω对函数y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律，再探究y＝sin(2x＋1)的图象和函数y＝sin2x的图象之间的变化关系．其中，φ对y＝sin(x＋φ)的图象的变化规律的探讨方法可以迁移到后续问题解决中去．本节课的重点是：分别探讨φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变化规律．本节课的难点是：=1\*GB3①函数y＝sinωx的图象与正弦曲线的关系；=2\*GB3②函数y＝sin(2x＋1)的图象与函数y＝sin2x的图象的关系．评测练习1、已知函数的图象为C：（1）为了得到函数的图象,只需把C上所有的点()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位（2）为了得到函数的图象,只需把C上所有的点()A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变2、把函数的图象上所有点的横坐标都缩短为原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，则所得函数的解析式为（）A.B.C.D.3、把函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式是课后反思1．本节课通过实例引入有利于学生感受学习新知识的必要性，体会y=A