2021年上海莘庄中学高三数学理期末试题含解析

2021年上海莘庄中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2013?兰州一模）已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（5+x）=f（5﹣x），在[0，5]上有且只有f（1）=0，则f（x）在[﹣2013，2013]上的零点个数为（）A．808B．806C．805D．804参考答案：B略2.函数的定义域是A.

B.

C.

D.R参考答案：C略3.某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．

甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元 B．45万元 C．50万元 D．55万元参考答案：C【考点】简单线性规划的应用．【分析】先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．【解答】C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．4.设函数，则下列结论错误的是（）A．的一个周期为

B．的图像关于直线对称C．的一个零点为 D．在单调递减参考答案：D函数的图象可由向左平移个单位得到，如图可知，在上先递减后递增，D选项错误，故选D.5.下列函数中为偶函数且在上是增函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C7.函数的图像大致为（

）参考答案：D8.已知函数的部分图象如图所示，其中N，P的坐标分别为，则函数f（x）的单调递减区间不可能为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】余弦函数的图象．【分析】解法一：根据题意，求出函数f（x）的解析式，得出f（x）的递减区间，再判定4个选项中是否为f（x）的单调减区间．解法二：求出函数f（x）的周期T=π，判定选项D区间长度是3T，f（x）不是单调减函数，由此得出结论．【解答】解：（法一）根据题意，设函数f（x）=Acos（ωx+φ）的周期为T，则T=﹣=，解得T=π，∴ω=2；又x=，∴2×+φ=π+kπ，k∈Z；解得φ=﹣+kπ，k∈Z；，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=Acos（2x﹣）；令2kπ≤2x﹣≤π+2kπ，k∈Z，∴+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，当k=0时，x∈[，]，f（x）是单调减函数，A满足题意；当k=﹣1时，x∈[﹣，﹣]，f（x）是单调减函数，B满足题意；当k=2时，x∈[，]，f（x）是单调减函数，又[，]?[，]，∴C满足题意；当k=1时，x∈[，]，f（x）是单调减函数，又[，]?[，]，∴D不满足题意．（法二）根据题意，设函数f（x）=Acos（ωx+φ）的周期为T，则T=﹣=，解得T=π；又选项D中，区间长度为﹣=3π，∴f（x）在区间[，]上不是单调减函数．故选：D．9.某校开设10门课程传供学生选修，其中A，B，C三门课程由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每们同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是

A．120

B．98

C．63

D．56

参考答案：答案:B10.已知集合=

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程=k（x﹣2）+3有且只有一个实根，则k的取值范围是

．参考答案：k=或k＞考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；直线与圆．分析：作函数y=﹣3与函数y=k（x﹣2）的图象，由图象求出斜率的临界值，从而写出k的取值范围即可．解答： 解：作函数y=﹣3与函数y=k（x﹣2）的图象如下，圆心（0，﹣3）；①当直线与半圆相切时，即直线为l1时，=2；解得，k=；②当直线为l2时，k==，③当直线为l3时，k不存在；结合图象可知，k=或k＞；故答案为：k=或k＞．点评：本题考查了数形结合的思想应用及直线的斜率的求法应用，属于中档题．12.在区间上任取两个实数a、b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间上有且仅有一个零点的概率为________．参考答案：∵a∈，∴f′(x)＝1.5x2＋a≥0，∴f(x)是增函数．若在有且仅有一个零点，则f(－1)·f(1)≤0，∴(－0.5－a－b)(0.5＋a－b)≤0，即(0.5＋a＋b)(0.5＋a－b)≥0；如图，点P(a，b)所在平面区域为正方形OABC，f(x)在上有且仅有一个零点?点P落在阴影区域，阴影部分的面积，∴所求概率P＝.13.若函数f（x）=2sin（x+）（2<x<10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）·=_____________．参考答案：32略14.经过点A（1,2）且到原点的距离等于1的直线方程为

.参考答案：略15.设关于x的不等式的解集中整数的个数为,数列的前n项和为,则的值为_____▲______.参考答案：略16.若框图（右图）所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是__________．参考答案：k<9或者k<=8略17.函数的定义域为_____▲____．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校从高二年级3个班中选出12名学生参加全国高中数学联赛，学生来源人数如下表：班级高二（1）班高二（2）班高二（3）班人数453（1）从这12名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班的概率；（2）若要求从12名学生中选出两名介绍学习经验，设其中来自高二（1）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望。

参考答案：略19.已知椭圆：经过点（，），且两个焦点，的坐标依次为（－1，0）和（1，0）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，若，证明：直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．参考答案：(Ⅰ)由椭圆定义得，即，又，所以，得椭圆C的标准方程为……4分(Ⅱ）设直线的方程为，，直线的方程与椭圆方程联立，消去得，

当判别式时，得，……6分

由已知，即，因为点在直线上，

所以，整理得，即，化简得……8分

原点O到直线的距离，……10分所以直线与一个定圆相切，定圆的标准方程为……12分20.（14分）已知数列的前项和和通项满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；(Ⅱ)求证：；（Ⅲ）设函数，，求.参考答案：解析：（Ⅰ）当时，∴，---------------------------------------------------------------------------3分由

得∴数列是首项、公比为的等比数列，∴------5分(Ⅱ)证法1：

由得---------------------------------7分，∴∴---------------------------------------------------------9分〔证法2：由（Ⅰ）知，∴

--------------------------------7分，∴---------------------------------8分即

-------------------------------------------------9分(Ⅲ)

＝

-----------10分＝

-------------------12分∵

∴＝--------14分21.（12分）（2015?济宁一模）现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．（Ⅰ）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；（Ⅱ）若t=，求三人中恰有两人应聘成功的概率；（Ⅲ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ=2时对应的概率最大，求E（ξ）的取值范围．参考答案：【考点】：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）由题意得，由此能求出t的值．（Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，由此利用相互独立事件乘法公式能求出三人中恰有两人应聘成功的概率．（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）的取值范围．解：（Ⅰ）∵甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，∴由题意得，解得t=1．（Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，∴三人中恰有两人应聘成功的概率：P=+=．（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=++（1﹣）×=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ

0

1

2

3PEξ=+=t+，由题意知P（ξ=2）﹣P（ξ=1）=＞0，P（ξ=2）﹣P（ξ=0）=＞0，P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=，又0＜t＜2，∴1＜t＜2，∴（ξ）＜．【点评】：本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）求的最小值．参考