2022年湖南省长沙市宁乡县第五中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022年湖南省长沙市宁乡县第五中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在（0，）单调递减 B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增 D．f（x）在（，）单调递增参考答案：C【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用辅助角公式化积，由周期求得ω，再由函数为偶函数求得φ，求出函数解析式得答案．【解答】解：f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）．由T=，得ω=2．∴f（x）=2sin（2x+φ﹣）．又f（﹣x）=f（x），∴sin（﹣2x+φ）=2sin（2x+φ﹣）．得﹣2x+φ=2x+φ﹣+2kπ或﹣2x+φ+2x+φ﹣=π+2kπ，k∈Z．解得φ=，k∈Z．∵|φ|＜，∴φ=．∴f（x）=2sin（2x﹣）=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x．则f（x）在（0，）单调递增．故选：C．2.如图，过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、，若，那么等于A．8

B．7C．6

D．4参考答案：A3.已知(sin，则的值为A、－B、－C、D、－参考答案：B4.如图,设向量,,若＝λ＋μ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是(

)参考答案：D5.“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：A6.在一次实验中，测得的四组值为，则与之间的回归直线方程为

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：Ａ7.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．【点评】本题考查两个几何体的体积之比的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8.已知倾斜角为θ的直线，与直线x-3y+l=0垂直，则=(

)

A．

B．一

C．

D．一参考答案：C9.若关于x的方程在区间[－2,2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（

）A.[－4,0] B.(1,28] C.[－4,0)∪(1,28] D.[－4,0)∪(1,28)参考答案：C【分析】设=，可得函数递增递减区间，由函数在区间上仅有一个零点，列出方程可得的取值范围.【详解】解：设，可得，令，可得，令，可得，可得函数递增区间为，递减区间为，由函数在区间上仅有一个零点，，，若，则，显然不符合题意，故，或，可得或，故选C.【点睛】本题主要考察方程的根与函数的零点的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.10.若执行如图的程序框图，则输出的k值是(

) A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：A考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=8，k=4时，满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．解答： 解：执行程序框图，有n=3，k=0不满足条件n为偶数，n=10，k=1不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=5，k=2不满足条件n=8，不满足条件n为偶数，n=16，k=3不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=8，k=4满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，则__________．参考答案：因为，，所以，因此

12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________。

参考答案：75°由题意：，即，结合可得，则

13.已知偶函数的图象关于直线对称，，则______．参考答案：【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【详解】由题，则函数的周期T=4,则=故答案为【点睛】本题考查函数的奇偶性对称性的应用，熟记性质的相互转化求得周期是关键，是基础题14.（几何证明选讲选做题）已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，，那么⊙O2的半径为

.

参考答案：略15.若P（1，4）为抛物线C：y2=mx上一点，则P点到该抛物线的焦点F的距离为|PF|=．参考答案：5【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】代入P的坐标，求得m=16，求出抛物线的焦点坐标，由两点的距离公式计算即可得到．【解答】解：P（1，4）为抛物线C：y2=mx上一点，即有42=m，即m=16，抛物线的方程为y2=16x，焦点为（4，0），即有|PF|==5．故答案为：5．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．16.定义一：对于一个函数（），若存在两条距离为的直线和，使得在时，

恒成立，则称函数在内有一个宽度为的通道。定义二：若一个函数，对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，则称在正无穷处有永恒通道。下列函数①，②，③，④，⑤，其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是_______________参考答案：23517.（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形中，,的面积为6,则的面积为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；（Ⅱ）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望。参考答案：解：（Ⅰ）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为．频率直方图如下：第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，所以．由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以．第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．，，，．所以随机变量X的分布列为X0123P∴数学期望．略19.本小题满分12分）如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且（1）以向量方向为侧视方向，在方格网内画出侧视图（注：各小方格的边长为）。（2）求证：平面；（3）求该几何体的体积.参考答案：（1）侧视图是正方形及其两条对角线；………………4分（2）是正方形，平面；又平面，平面，平面，所以平面平面，故平面；……………8分（3）连接AC、BD，交于O点，是正方形，，又平面，，平面，……………10分因为矩形的面积，所以四棱锥的体积同理四棱锥的体积为，故该几何体的体积为……………12分略20.已知A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B?A，求m的取值范围．参考答案：解：当m+1＞2m﹣1，即m＜2时，B=?，满足B?A，即m＜2；当m+1=2m﹣1，即m=2时，B=3，满足B?A，即m=2；当m+1＜2m﹣1，即m＞2时，由B?A，得即2＜m≤3；综上所述：m的取值范围为m≤3．略21.（14分）设函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a，b的值；（Ⅱ）若b=1，求函数f（x）的最大值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】常规题型；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数f'（x），写出切点（1，﹣b），求出斜率f'（1），由切线方程得：f‘（1）=0且f（1）=﹣，得到a，b的方程组，解出a，b．（2）求出f’（x），再对a分a≤0，a＞0来讨论．a≤0时f'（x）＜0，得f（x）在x＞0上是减函数，无最大值；当a＞0时，分别求出增区间和减区间，判断极值点，根据在开区间内，极值也是最值，从而得出结论．【解答】解：（1）函数f（x）=alnx﹣bx2的导数f'（x）=，又f（1）=﹣b，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣，所以f'（1）=0，f（1）=﹣即a﹣2b=0，b=?a=1，b=，故实数a，b的值为a=1，b=．（2）因为b=1，所以f（x）=alnx﹣x2（x＞0），f'（x）=，①当a≤0时，因为x＞0，所以f'（x）＜0即f（x）在x＞0是减函数，所以函数无最大值；②当a＞0时，f'（x）＞0得?﹣，但x＞0，所以增区间为（0，），f'（